四川省资阳市2019-2020学年高三上学期理数11月第一次诊断性考试试卷

试卷更新日期：2020-10-15 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 已知集合 $M = {- 1 ， 0 ， 1 ， 2 ， 3}$ ， $N = {x | 0 \leq x \leq 2}$ ，则 $M \cap N =$ （）

A、 ${- 1 ， 0 ， 1 ， 2}$ B、 ${- 1 ， 0 ， 1}$ C、 ${0 ， 1 ， 2}$ D、 ${0 ， 1}$

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2. 复数 $\frac{2 + i}{1 - 2 i} =$ （）

A、i B、-i C、 $\frac{4}{5} + i$ D、 $\frac{4}{5} - i$

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3. 已知向量 $\vec{a} = (- 1 ， 2) ， \vec{b} = (m ， - 1)$ ，若 $\vec{a} = λ \vec{b}$ （λ∈R），则m＝（）

A、-2 B、 $- \frac{1}{2}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、2

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4. 已知等差数列 ${a_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，若 $a_{2} + a_{4} + a_{6} = 6$ ，则 $S_{7} =$ （）

A、7 B、14 C、21 D、42

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5. 已知 $a, b \in R$ ，则“ $a < b < 0$ ”是“ $\frac{1}{a} > \frac{1}{b}$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要比充分条件 C、充要条件 D、既不充分又不必要条件

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6. 执行下图所示的程序框图，则输出的 $n =$ （）

A、3 B、4 C、5 D、6

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7. 已知 $a = 2^{1.2}$ ， $b = 3^{0.4}$ ， $c = \ln \frac{8}{3}$ ，则（）

A、 $b > a > c$ B、 $a > b > c$ C、 $b > c > a$ D、 $a > c > b$

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8. 函数 $f (x) = \frac{x^{3}}{e^{x} + 1}$ 的图象大致是（）

A、 B、 C、 D、

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9. 已知角 $α$ 的顶点在坐标原点O，始边与x轴的非负半轴重合，将 $α$ 的终边按顺时针方向旋转 $\frac{π}{4}$ 后经过点（3，4），则 $\sin 2 α =$ （）

A、 $- \frac{12}{25}$ B、 $- \frac{7}{25}$ C、 $\frac{7}{25}$ D、 $\frac{24}{25}$

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10. 若函数 $f (x) = \sin (2 x + φ) (φ > 0)$ 的图象关于点 $(\frac{π}{3}, 0)$ 对称，则 $φ$ 的最小值为（）

A、 $\frac{π}{12}$ B、 $\frac{π}{6}$ C、 $\frac{π}{3}$ D、 $\frac{5 π}{12}$

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11. 已知 $| \overset{⇀}{a} | = | \overset{⇀}{b} | = 2$ ， $\overset{⇀}{a} \cdot \overset{⇀}{b} = - 2$ ．若 $| \overset{⇀}{c} - \overset{⇀}{a} - \overset{⇀}{b} | = 1$ ，则 $| \overset{⇀}{c} |$ 的取值范围是（）

A、 $[\frac{1}{2} ， \frac{3}{2}]$ B、 $[\frac{1}{2} ， \frac{5}{2}]$ C、 $[2 ， 3]$ D、 $[1 ， 3]$

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12. 定义在R上的可导函数 $f (x)$ 满足 $f (2 - x) = f (x) - 2 x + 2$ ，记 $f (x)$ 的导函数为 $f^{'} (x)$ ，当 $x ⩽ 1$ 时恒有 $f^{'} (x) < 1$ .若 $f (m) - f (1 - 2 m) ⩾ 3 m - 1$ ，则m的取值范围是（）

A、 $(- \infty ， - 1]$ B、 $(- \frac{1}{3} ， 1]$ C、 $[- 1 ， + \infty)$ D、 $[- 1 ， \frac{1}{3}]$

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二、填空题

13. 求值： $\log_{3} 15 - \frac{1}{2} \log_{3} 25 =$ ．

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14. 已知x，y满足 ${\begin{array}{l} x ⩾ 0 \\ x + y ⩾ 4 \\ x - 2 y ⩽ 1 \end{array}$ ，若 $x + 2 y$ 的最小值为.

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15. 若等比数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ,且 $S_{3} = 7$ ， $S_{6} = 63$ ，则 $S_{9} =$ ．

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16. 已知当 $x = θ$ 且 $\tan θ = 2$ 时，函数 $f (x) = \sin x (a \cos x + \sin x)$ 取得最大值，则a的值为.

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三、解答题

17. 已知函数 $f (x) = \sin (2 x + \frac{π}{6}) + \cos (2 x - \frac{π}{3})$

(1)、求 $f (x)$ 在 $[0 ， π]$ 上的零点；

(2)、求 $f (x)$ 在 $[- \frac{π}{4} ， \frac{π}{4}]$ 上的取值范围．

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18. 已知等差数列 ${a_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ， $a_{1} = 1$ ，且 $S_{n} = a_{n} + {(n - 1)}^{2}$ .

(1)、求 $a_{n}$ ；

(2)、求数列 ${\frac{a_{n}}{2^{n}}}$ 的前n项和 $T_{n}$ ；

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19. 在锐角 $Δ A B C$ 中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知 $b \sin A = a \sin (B + \frac{π}{3})$ ．

(1)、求角B的大小；

(2)、求 $\frac{c}{a}$ 的取值范围

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20. 已知函数 $f (x) = 2 a x^{2} - 2 x + 1$ ，且函数 $f (x + 1)$ 为偶函数．

(1)、求 $f (x)$ 的解析式；

(2)、若方程 $f (x) = \frac{m}{e^{x}}$ 有三个不同的实数根，求实数m的取值范围．

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21. 已知函数 $f (x) = a \ln x + (1 - a) x^{2} - b x + 1$ 在点 $(1 ， f (1))$ 处的切线与y轴垂直.

(1)、若 $a = 1$ ，求 $f (x)$ 的单调区间；

(2)、若 $0 < x < e$ ， $f (x) ⩽ 0$ 成立，求a的取值范围

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22. 在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为 ${\begin{array}{l} x = \frac{\sqrt{2}}{2} t \\ y = - 1 + \frac{\sqrt{2}}{2} t \end{array}$ （t为参数），以原点O为极点，x正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为 $ρ^{2} = \frac{4}{1 + \sin^{2} θ}$ .

(1)、求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；

(2)、设P（0，-1），直线l与C的交点为M，N，线段MN的中点为Q，求 $| \overset{⇀}{O P} - \overset{⇀}{O Q} |$ .

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23. 已知 $a, b, c \in R_{+}$ ，且 $a + b + c = 1$ .

(1)、求 $\sqrt{a} + \sqrt{b} + \sqrt{c}$ 的最大值；

(2)、证明： $(\frac{1}{a} - 1) (\frac{1}{b} - 1) (\frac{1}{c} - 1) ⩾ 8$ .

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