高中数学人教新课标A版选修2-2 第三章数系的扩充与复数的引入

试卷更新日期：2020-10-15 类型：单元试卷

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一、单选题

1. 若 $\bar{z} (1 + i) = 1 - i$ ，则z=（）

A、1–i B、1+i C、–i D、i

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2. （1–i）⁴=（）

A、–4 B、4 C、–4i D、4i

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3. 复数 $\frac{1}{1 - 3 i}$ 的虚部是（）

A、 $- \frac{3}{10}$ B、 $- \frac{1}{10}$ C、 $\frac{1}{10}$ D、 $\frac{3}{10}$

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4. $\frac{2 - i}{1 + 2 i} =$ （）

A、1 B、−1 C、i D、−i

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5. 若 $z = 1 + 2 i + i^{3}$ ，则 $| z | =$ （）

A、0 B、1 C、 $\sqrt{2}$ D、2

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6. 复数 $z = \frac{- 2 + i}{i}$ (其中i为虚数单位)在复平面内对应的点在（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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7. 若z=1+i，则|z²–2z|=（）

A、0 B、1 C、 $\sqrt{2}$ D、2

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8. 在复平面内，复数z对应的点的坐标是 $(1, 2)$ ，则 $i \cdot z =$ （）．

A、 $1 + 2 i$ B、 $- 2 + i$ C、 $1 - 2 i$ D、 $- 2 - i$

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9. 已知a∈R，若a﹣1+（a﹣2）i（i为虚数单位）是实数，则a＝（）

A、1 B、﹣1 C、2 D、﹣2

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10. 下列命题中,正确的命题是（）

A、若 $z {}_{1}、 z_{2} \in C, z_{1} - z_{2} > 0$ ，则 $z_{1} > z_{2}$ B、若 $z \in R$ ，则 $z \cdot \bar{z} = | z |^{2}$ 不成立 C、 $z_{1}, z_{2} \in C, z_{1} \cdot z_{2} = 0$ ，则 $z_{1} = 0$ 或 $z_{2} = 0$ D、 $z_{1} 、 z_{2} \in C, z_{1}^{2} + z_{2}^{2} = 0$ ，则 $z_{1} = 0$ 且 $z_{2} = 0$

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11. 若复数z满足 $z (2 - i) = 18 + 11 i$ ，则 $| \bar{z} - 4 i | =$ （）

A、 $\sqrt{13}$ B、 $\sqrt{15}$ C、 $13$ D、 $15$

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12. 已知a是实数， $\frac{a + i}{1 - i}$ 是实数，则 $\cos \frac{a π}{3}$ 的值为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $- \frac{1}{2}$ C、0 D、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$

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二、多选题

13. 设复数z满足 $z = - 1 - 2 i$ ，i为虚数单位，则下列命题正确的是（）

A、 $| z | = \sqrt{5}$ B、复数z在复平面内对应的点在第四象限 C、z的共轭复数为 $- 1 + 2 i$ D、复数z在复平面内对应的点在直线 $y = - 2 x$ 上

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14. 已知复数 $z$ 满足 $\bar{z} \cdot z + 2 i \bar{z} = 3 + a i$ ， $a \in R$ ，则实数 $a$ 的值可能是（）

A、1 B、-4 C、0 D、5

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15. 已知复数 $z = a + \sqrt{3} i$ 在复平面内对应的点位于第二象限，且 $| z | = 2$ 则下列结论正确的是（）．

A、 $z^{3} = 8$ B、z的虚部为 $\sqrt{3}$ C、z的共轭复数为 $1 + \sqrt{3} i$ D、 $z^{2} = 4$

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16. 已知复数 $z = \frac{i}{1 - 2 i}$ ，则以下说法正确的是（）

A、复数z的虚部为 $\frac{i}{5}$ B、z的共轭复数 $\bar{z} = \frac{2}{5} - \frac{i}{5}$ C、 $| z | = \frac{\sqrt{5}}{5}$ D、在复平面内与z对应的点在第二象限

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三、填空题

17. i是虚数单位，复数 $\frac{8 - i}{2 + i} =$ ．

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18. 已知i是虚数单位，则复数 $z = (1 + i) (2 - i)$ 的实部是.

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19. 设复数 $z_{1}$ ， $z_{2}$ 满足 $| z_{1} |=| z_{2} |= 2$ ， $z_{1} + z_{2} = \sqrt{3} + i$ ，则 $| z_{1} - z_{2} |$ =.

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20. 下列命题（ $i$ 为虚数单位）中：①已知 $a, b \in R$ 且 $a = b$ ，则 $(a - b) + (a + b) i$ 为纯虚数；②当 $z$ 是非零实数时， $| z + \frac{1}{z} | \geq 2$ 恒成立；③复数 $z = {(1 - i)}^{3}$ 的实部和虚部都是－2；④如果 $| a + 2 i | < | - 2 + i |$ ，则实数 $a$ 的取值范围是 $- 1 < a < 1$ ；⑤复数 $z = 1 - i$ ，则 $\frac{1}{z} + z = \frac{3}{2} + \frac{1}{2} i$ ；其中正确的命题的序号是.

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四、解答题

21. 已知i虚数单位， $z_{1} = \frac{3 - i}{1 + i}$ .
（Ⅰ）求 $| z_{1} |$ ；

（Ⅱ）若复数 $z_{2}$ 的虚部为2，且 $z_{1} z_{2}$ 的虚部为0，求 $z_{2}$ .

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22. 已知复数 $z$ 满足 $(1 + 2 i) z = 4 + 3 i$ （ $i$ 是虚数单位）.
求：

(1)、 $z$

(2)、 $| z^{2} - \bar{z} |$ .

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23. 已知复数 $z = 1 - i (i$ 是虚数单位）.

(1)、求 $z^{2} - z$ ；

(2)、如图，复数 $z_{1}$ ， $z_{2}$ 在复平面上的对应点分别是A，B，求 $\frac{z_{1} + z_{2}}{z}$ .

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24. 已知复数 $z = (m^{2} - 3 m + 2) + (m - 1) i$ (i为虚数单位).

(1)、若z是纯虚数，求实数 $m$ 的值；

(2)、在复平面内，若z所对应的点在直线 $y = 2 x + 1$ 的上方，求实数m的取值范围.

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25. 设实部为正数的复数 $z$ ，满足 $| z | = \sqrt{10}$ ，且复数 $(2 + i) z$ 在复平面上对应的点在第二、四象限的角平分线上.

(1)、求复数 $z$ ；

(2)、若 $\bar{z} + m^{2} (- 1 + i) + 4 m i (m \in R)$ 为纯虚数，求实数 $m$ 的值.

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26. 已知复数 $z = 3 a + (3 a - 2) i$ ，i为虚数单位， $a \in R$ .

(1)、若z是实数，求实数a的值；

(2)、若 $| z | = \sqrt{10}$ ，求实数a的值；

(3)、若z在复平面内对应的点位于第三象限，求实数a的取值范围.

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高中数学人教新课标A版 选修2-2 第三章 数系的扩充与复数的引入

一、单选题

二、多选题

三、填空题

四、解答题

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