高中数学人教新课标A版选修2-2 第二章推理与证明

试卷更新日期：2020-10-15 类型：单元试卷

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一、单选题

1. “余弦函数是偶函数， $f (x) = \cos (3 x^{2} + 2)$ 是余弦函数，因此 $f (x) = \cos (3 x^{2} + 2)$ 是偶函数”，以上推理（）

A、结论正确 B、小前提不正确 C、大前提不正确 D、全部正确

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2. 有一段“三段论”推理是这样的：对于可导函数 $f (x)$ ，如果 $f^{'} (x_{0}) = 0$ ，那么 $x = x_{0}$ 是函数 $f (x)$ 的极值点．因为函数 $f (x) = x^{3}$ 在 $x = 0$ 处的导数值 $f^{'} (0) = 0$ ，所以 $x = 0$ 是函数 $f (x) = x^{3}$ 的极值点．以上推理中（）

A、小前提错误 B、大前提错误 C、推理形式错误 D、结论正确

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3. 用数学归纳法证明等式， $1 + 2 + 3 + ... + 2 n = n (2 n + 1)$ 时，由 $n = k$ 到 $n = k + 1$ 时，等式左边应添加的项是（）

A、 $2 k + 1$ B、 $2 k + 2$ C、 $(2 k + 1) + (2 k + 2)$ D、 $(k + 1) + (k + 2) + ... + 2 k$

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4. 某校甲、乙、丙、丁四位同学参加了第34届全国青少年科技创新大赛，老师告知只有一位同学获奖，四人据此做出猜测：甲说：“丙获奖”；乙说：“我没获奖”；丙说：“我没获奖”；丁说：“我获奖了”，若四人中只有一人判断正确，则判断正确的是（）

A、甲 B、乙 C、丙 D、丁

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5. 甲、乙、丙三人中，一人是律师，一人是医生，一人是记者．已知丙的年龄比医生大；甲的年龄和记者不同；记者的年龄比乙小，根据以上情况，下列判断正确的是（）

A、甲是律师，乙是医生，丙是记者 B、甲是医生，乙是记者，丙是律师 C、甲是医生，乙是律师，丙是记者 D、甲是记者，乙是医生，丙是律师

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6. 用数学归纳法证明等式 $1 + 2 + 3 + \dots + (n + 3) = \frac{(n + 3) (n + 4)}{2} (n \in N^{*})$ 时，第一步验证 $n = 1$ 时，左边应取的项是（）

A、1 B、1+2 C、1+2+3 D、1+2+3+4

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7. 用反证法证明命题“如果 $a, b \in N, a b$ 可被5整除，那么a，b中至少有一个能被5整除”时，假设的内容应为（）

A、a，b都不能被5整除 B、a，b都能被5整除 C、a，b不都能被5整除 D、a不能被5整除

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8. 用数学归纳法证明： $1 + 2 + 3 + \cdot \cdot \cdot + 2 n = n (2 n + 1)$ 时，从n=k推证 $n = k + 1$ 时，左边增加的代数式是（）

A、 $4 k + 3$ B、 $4 k + 2$ C、 $2 k + 2$ D、 $2 k + 1$

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9. 0-1周期序列在通信技术中有着重要应用.若序列 $a_{1} a_{2} \dots a_{n} \dots$ 满足 $a_{i} \in {0 ， 1} (i = 1 ， 2 ， \dots)$ ，且存在正整数m，使得 $a_{i + m} = a_{i} (i = 1 ， 2 ， \dots)$ 成立，则称其为0-1周期序列，并称满足 $a_{i + m} = a_{i} (i = 1 ， 2 ， \dots)$ 的最小正整数m为这个序列的周期.对于周期为m的0-1序列 $a_{1} a_{2} \dots a_{n} \dots$ ， $C (k) = \frac{1}{m} \sum_{i = 1}^{m} a_{i} a_{i + k} (k = 1 ， 2 ， \dots ， m - 1)$ 是描述其性质的重要指标，下列周期为5的0-1序列中，满足 $C (k) \leq \frac{1}{5} (k = 1 ， 2 ， 3 ， 4)$ 的序列是（）

A、 $11010 \dots$ B、 $11011 \dots$ C、 $10001 \dots$ D、 $11001 \dots$

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10. 基本再生数R₀与世代间隔T是新冠肺炎的流行病学基本参数.基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型： $I (t) = e^{r t}$ 描述累计感染病例数I(t)随时间t(单位:天)的变化规律，指数增长率r与R₀ ， T近似满足R₀ =1+rT.有学者基于已有数据估计出R₀=3.28，T=6.据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为(ln2≈0.69) （）

A、1.2天 B、1.8天 C、2.5天 D、3.5天

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11. 2020年3月14日是全球首个国际圆周率日（ $π$ Day）．历史上，求圆周率 $π$ 的方法有多种，与中国传统数学中的“割圆术”相似．数学家阿尔·卡西的方法是：当正整数n充分大时，计算单位圆的内接正6n边形的周长和外切正6n边形（各边均与圆相切的正6n边形）的周长，将它们的算术平均数作为 $2 π$ 的近似值．按照阿尔·卡西的方法， $π$ 的近似值的表达式是（）．

A、 $3 n (\sin \frac{30^{°}}{n} + \tan \frac{30^{°}}{n})$ B、 $6 n (\sin \frac{30^{°}}{n} + \tan \frac{30^{°}}{n})$ C、 $3 n (\sin \frac{60^{°}}{n} + \tan \frac{60^{°}}{n})$ D、 $6 n (\sin \frac{60^{°}}{n} + \tan \frac{60^{°}}{n})$

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12. 三角形的面积为 $S = \frac{1}{2} (a + b + c) \cdot r$ ，其中 $a, b, c$ 为三角形的边长，r为三角形内切圆的半径，则利用类比推理，可得出四面体的体积为（）

A、 $V = \frac{1}{3} a b c$ B、 $V = \frac{1}{3} S h$ C、 $V = \frac{1}{3} (a b + b c + c a) h$ ，（ $h$ 为四面体的高） D、 $V = \frac{1}{3} (S_{1} + S_{2} + S_{3} + S_{4}) r$ ，（ $S_{1}, S_{2}, S_{3}, S_{4}$ 分别为四面体的四个面的面积，r为四面体内切球的半径）

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二、多选题

13. 为弘扬中华传统文化，某校组织高一年级学生到古都西安游学．在某景区，由于时间关系，每个班只能在甲、乙、丙三个景点中选择一个游览，高一1班的27名同学决定投票来选定游览的景点，约定每人只能选择一个景点，得票数高于其它景点的入选．据了解，若只游览甲、乙两个景点，有18人会选择甲，若只游览乙、丙两个景点，有19人会选择乙，那么关于这轮投票结果，下列说法正确的是（）

A、该班选择去甲景点游览 B、乙景点的得票数可能会超过9 C、丙景点的得票数不会比甲景点高 D、三个景点的得票数可能会相等

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14. 华为5G通信编码的极化码技术方案基于矩阵的乘法，如： $(\begin{matrix} c_{1} & c_{2} \end{matrix}) = (\begin{matrix} a_{1} & a_{2} \end{matrix}) \times (\begin{matrix} b_{11} & b_{12} \\ b_{21} & b_{22} \end{matrix})$ ，其中 $c_{1} = a_{1} b_{11} + a_{2} b_{21}$ ， $c_{2} = a_{1} b_{12} + a_{2} b_{22}$ .已知定义在R上不恒为0的函数 $f (x)$ ，对任意 $a, b \in R$ 有： $(\begin{matrix} y_{1} & y_{2} \end{matrix}) = (\begin{matrix} f (a) & f (b) \end{matrix}) \times (\begin{matrix} - 1 & b + 1 \\ a - 1 & 1 \end{matrix})$ 且满足 $f (a b) = y_{1} + y_{2}$ ，则（）

A、 $f (0) = 0$ B、 $f (- 1) = 1$ C、 $f (x)$ 是偶函数 D、 $f (x)$ 是奇函数

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三、填空题

15. 甲、乙两支足球队进行一场比赛， $A, B, C$ 三位球迷赛前在一起聊天. $A$ 说：“甲队一定获胜.”B说：“甲队不可能输.”C说：“乙队一定获胜.”比赛结束后，发现三人中只有一人的判断是正确的，则比赛的结果不可能是.（填“甲胜”“乙胜”“平局”中的一个）

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16. 用数学归纳法证明等式 $1 + 2 + 3 + \dots + (n + 3) = \frac{(n + 3) (n + 4)}{2} (n \in N^{*})$ 时，第一步验证 $n = 1$ 时，左边应取的项是．

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17. 刘徽是中国古代最杰出的数学家之一，他在中国算术史上最重要的贡献就是注释《九章算术》，刘徽在割圆术中提出的“割之弥细所失弥少，割之又割以至于不可割，则与圆合体而无所失矣”，体现了无限与有限之间转化的思想方法，这种思想方法应用广泛.如数式 $2 + \frac{1}{2 + \frac{1}{2 + \dots}}$ 是一个确定值（数式中的省略号表示按此规律无限重复），该数式的值可以用如下方法求得：令原式 $= x$ ，则 $2 + \frac{1}{x} = x$ ，即 $x^{2} - 2 x - 1 = 0$ ，解得 $x = 1 \pm \sqrt{2}$ ，取正数得 $x = \sqrt{2} + 1$ .用类似的方法可得 $\sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{2 + \dots}}} =$ .

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18. 现有灰色与白色的卡片各八张，分别写有数字1到8．甲、乙、丙、丁四个人每人面前摆放四张，并按从小到大的顺序自左向右排列（当灰色卡片和白色卡片数字相同时，白色卡片摆在灰色卡片的右侧）．如图，甲面前的四张卡片已经翻开，则写有数字4的灰色卡片是．（填写字母）

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四、解答题

19. 已知为a ， b非负实数，求证： $a^{3} + b^{3} \geq \sqrt{a b} (a^{2} + b^{2})$ ．

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20. 用数学归纳法证明 $1^{2} + 2^{2} + 3^{2} + \cdot \cdot \cdot + n^{2} = \frac{n (n + 1) (2 n + 1)}{6} (n \in N^{*})$ .

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21. 已知数列 ${x_{n}}$ 满足 $x_{1} = 0$ ， $x_{n + 1} = - x_{n}^{2} + x_{n} + c$ $(n \in N^{*})$ ， $0 < c \leq \frac{1}{4}$ ，求证：数列 ${x_{n}}$ 是递增数列.

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22. 已知实数a、b、c、d满足 $a + b = c + d = 1, a c + b d > 1$ ,求证a、b、c、d中至少有一个是负数.

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23. 是否存在等差数列 ${a_{n}}$ ，使 $a_{1} C_{n}^{0} + a_{2} C_{n}^{1} + a_{3} C_{n}^{2} + \cdot \cdot \cdot + a_{n + 1} C_{n}^{n} = n \cdot 2^{n + 1}$ 对任意 $n \in N^{*}$ 都成立？若存在，求出数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；若不存在，请说明理由.

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24. 对于命题 $P$ ：存在一个常数 $M$ ，使得不等式 $\frac{a}{2 a + b} + \frac{b}{2 b + a} \leq M \leq \frac{a}{a + 2 b} + \frac{b}{b + 2 a}$ 对任意正数 $a$ ， $b$ 恒成立.

(1)、试给出这个常数 $M$ 的值（不需要证明）；

(2)、在（1）所得结论的条件下证明命题 $P$ .

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一、单选题

二、多选题

三、填空题

四、解答题

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