高中数学人教新课标A版选修2-2 3.2复数代数形式的四则运算

试卷更新日期：2020-10-15 类型：同步测试

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一、单选题

1. 复数 $\frac{1}{1 - 3 i}$ 的虚部是（）

A、 $- \frac{3}{10}$ B、 $- \frac{1}{10}$ C、 $\frac{1}{10}$ D、 $\frac{3}{10}$

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2. （1–i）⁴=（）

A、–4 B、4 C、–4i D、4i

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3. 若 $z = 1 + 2 i + i^{3}$ ，则 $| z | =$ （）

A、0 B、1 C、 $\sqrt{2}$ D、2

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4. 若z=1+i，则|z²–2z|=（）

A、0 B、1 C、 $\sqrt{2}$ D、2

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5. $\frac{2 - i}{1 + 2 i} =$ （）

A、1 B、−1 C、i D、−i

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6. 已知复数 $z = | 1 + i | + 2 i$ （i为虚数单位），则 $\bar{z} =$ （）

A、 $- 1 + 2 i$ B、 $1 - 2 i$ C、 $- \sqrt{2} + 2 i$ D、 $\sqrt{2} - 2 i$

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7. 复数z满足 $z (1 - i) = 2 i$ ，则 $z =$ （）

A、 $1 - i$ B、 $- 1 + i$ C、 $- 1 - i$ D、 $1 + i$

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8. 复数 $z = \frac{3 + i}{1 - i}$ （其中i为虚数单位）的虚部为（）

A、-1 B、4 C、2 D、 $2 i$

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9. 若复数z满足 $z (2 - i) = 18 + 11 i$ ，则 $| \bar{z} - 4 i | =$ （）

A、 $\sqrt{13}$ B、 $\sqrt{15}$ C、 $13$ D、 $15$

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10. 已知复数 $z = \frac{1}{1 + i} + i$ ，则 $| z | =$ （）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ D、2

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11. 已知a是实数， $\frac{a + i}{1 - i}$ 是实数，则 $\cos \frac{a π}{3}$ 的值为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $- \frac{1}{2}$ C、0 D、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$

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12. 设复数z满足 $| z - i | = 1$ ，则 $| z |$ 最大值为（）

A、1 B、 $\sqrt{2}$ C、2 D、4

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二、多选题

13. 已知复数 $z$ 满足 $\bar{z} \cdot z + 2 i \bar{z} = 3 + a i$ ， $a \in R$ ，则实数 $a$ 的值可能是（）

A、1 B、-4 C、0 D、5

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14. 已知集合 $M = {m | m = i^{n}, n \in N}$ ，其中i为虚数单位，则下列元素属于集合M的是（）

A、 $(1 - i) (1 + i)$ B、 $\frac{1 - i}{1 + i}$ C、 $\frac{1 + i}{1 - i}$ D、 ${(1 - i)}^{2}$

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三、填空题

15. 已知复数 $z = \frac{4 - 2 i}{i}$ ，则 $| z | =$ .

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16. 计算 $(1 - 2 i) \cdot i^{102} + {(\frac{1 + i}{1 - i})}^{5} =$ .

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17. 设 $z = 2021 + b i$ （ $i$ 为虚数单位），若 $z \cdot \bar{z} = 2029^{2}$ ，则实数 $b =$

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18. 欧拉公式 $e^{i x} = \cos x + i \sin x$ （其中i为虚数单位）是由著名数学家欧拉发现的，当 $x = π$ 时， $e^{π i} + 1 = 0$ ，这是数学里最令人着迷的一个公式，数学家们评价它是“上帝创造的公式”，根据欧拉公式，若将 $e^{\frac{π}{3} i}$ 所表示的复数记为 $z$ ，那么 $| z | =$ .

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四、解答题

19. 已知复数 $z$ 满足 $(1 + 2 i) z = 4 + 3 i$ （ $i$ 是虚数单位）.
求：

(1)、 $z$

(2)、 $| z^{2} - \bar{z} |$ .

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20. 计算:

(1)、 $(- \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} i) (\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2} i) (1 + i)$ ;

(2)、 $\frac{(1 - 4 i) (1 + i) + 2 + 4 i}{3 + 4 i}$ .

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21. 若复数 $z_{1}$ 满足 $(z_{1} - 2 + i) (1 + i) = 1 - i$ （ $i$ 为虚数单位），复数 $z_{2}$ 的虚部为2，且 $z_{1} z_{2}$ 是实数，求 $z_{2}$ ．

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22. 已知复数 $z = 1 - i (i$ 是虚数单位）.

(1)、求 $z^{2} - z$ ；

(2)、如图，复数 $z_{1}$ ， $z_{2}$ 在复平面上的对应点分别是A，B，求 $\frac{z_{1} + z_{2}}{z}$ .

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23. 设复数 $z_{1} = 2 + a i (a \in R)$ ，复数 $z_{2} = 3 - i$ ．
（Ⅰ）若 ${(z_{1} + z_{2})}^{2} \in R$ ，求实数 $a$ 的值.

（Ⅱ）若 $\frac{z_{1}}{z_{2}} = b + \frac{1}{2} i$ ，求实数 $a ， b$ 的值.

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24. 已知复数 $z = 1 + 2 i$ （ $i$ 为虚数单位）

(1)、若 $z \cdot z_{0} = 2 z + z_{0}$ ，求复数 $z_{0}$ 的共轭复数；

(2)、若 $z$ 是关于 $x$ 的方程 $x^{2} - m x + 5 = 0$ 一个虚根，求实数 $m$ 的值．

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一、单选题

二、多选题

三、填空题

四、解答题

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