高中数学人教新课标A版选修2-2 3.1数系的扩充和复数的概念

试卷更新日期：2020-10-15 类型：同步测试

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一、单选题

1. 若 $z = 1 + 2 i + i^{3}$ ，则 $| z | =$ （）

A、0 B、1 C、 $\sqrt{2}$ D、2

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2. 已知a∈R，若a﹣1+（a﹣2）i（i为虚数单位）是实数，则a＝（）

A、1 B、﹣1 C、2 D、﹣2

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3. $i (2 + 3 i) =$

A、 $3 - 2 i$ B、 $3 + 2 i$ C、 $- 3 - 2 i$ D、 $- 3 + 2 i$

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4. 复数 $2 + i$ 的共轭复数是（）

A、 $2 - i$ B、 $- 2 - i$ C、 $i - 2$ D、 $i + 2$

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5. 已知复数 $z$ 满足 $(1 - i) z = a + i$ ，且 $z$ 为纯虚数，则实数a的值为（）

A、－1 B、1 C、－2 D、2

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6. 已知复数 $z = | 1 + i | + 2 i$ （i为虚数单位），则 $\bar{z} =$ （）

A、 $- 1 + 2 i$ B、 $1 - 2 i$ C、 $- \sqrt{2} + 2 i$ D、 $\sqrt{2} - 2 i$

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7. 已知复数 $z = 1 + 2 i (i$ 是虚数单位），那么z的虚部是（）

A、-2 B、-1 C、1 D、2

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8. 若复数 $z = 1 + i + i^{2} + i^{3} + \dots + i^{2021}$ ，则复数 $z$ 对应的点在第（）象限

A、一 B、二 C、三 D、四

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9. 已知 $a, b \in R$ ， $i$ 为虚数单位， $(2 + i) (2 - b i) = a$ ，则 $a + b =$ （）

A、6 B、4 C、2 D、1

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10. 已知复数 $(1 + i) z = 2 - 3 i$ （ $i$ 为虚数单位），则z在复平面内对应的点位于（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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11. 设复数z满足 $| z - i | = 1$ ，则 $| z |$ 最大值为（）

A、1 B、 $\sqrt{2}$ C、2 D、4

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12. 已知i为虚数单位，复数z满足 $(1 - i) z = 2 + 2 i$ ，则 $z \cdot \bar{z} =$ （）

A、4 B、2 C、-4 D、-2

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13. 设复数z满足 $| z - 3 + 4 i | = 2$ ，z在复平面内对应的点为 $(x, y)$ ，则（）

A、 ${(x - 3)}^{2} + {(y + 4)}^{2} = 4$ B、 ${(x + 3)}^{2} + {(y - 4)}^{2} = 4$ C、 ${(x - 3)}^{2} + {(y + 4)}^{2} = 2$ D、 ${(x + 3)}^{2} + {(y - 4)}^{2} = 2$

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14. 欧拉公式 $e^{i x} = \cos x + i \sin x$ （ $i$ 为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发明的，他将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”.根据欧拉公式可知， $m = \frac{f (x)}{x} = g (x)$ 表示的复数在复平面中位于（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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二、多选题

15. 已知复数 $z = \frac{i}{1 - 2 i}$ ，则以下说法正确的是（）

A、复数z的虚部为 $\frac{i}{5}$ B、z的共轭复数 $\bar{z} = \frac{2}{5} - \frac{i}{5}$ C、 $| z | = \frac{\sqrt{5}}{5}$ D、在复平面内与z对应的点在第二象限

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16. 设复数z满足 $z = - 1 - 2 i$ ，i为虚数单位，则下列命题正确的是（）

A、 $| z | = \sqrt{5}$ B、复数z在复平面内对应的点在第四象限 C、z的共轭复数为 $- 1 + 2 i$ D、复数z在复平面内对应的点在直线 $y = - 2 x$ 上

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17. 已知复数 $z = a + \sqrt{3} i$ 在复平面内对应的点位于第二象限，且 $| z | = 2$ 则下列结论正确的是（）．

A、 $z^{3} = 8$ B、z的虚部为 $\sqrt{3}$ C、z的共轭复数为 $1 + \sqrt{3} i$ D、 $z^{2} = 4$

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18. 已知复数 $z$ 满足 $\bar{z} \cdot z + 2 i \bar{z} = 3 + a i$ ， $a \in R$ ，则实数 $a$ 的值可能是（）

A、1 B、 $- 4$ C、0 D、5

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三、填空题

19. 化简： $z = i^{2019} + {(\frac{\sqrt{2} i}{1 + i})}^{2020} =$ .

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20. 设复数 $z_{1}$ ， $z_{2}$ 满足 $| z_{1} |=| z_{2} |= 2$ ， $z_{1} + z_{2} = \sqrt{3} + i$ ，则 $| z_{1} - z_{2} |$ =.

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21. 欧拉公式 $e^{i x} = \cos x + i \sin x$ （其中i为虚数单位）是由著名数学家欧拉发现的，当 $x = π$ 时， $e^{π i} + 1 = 0$ ，这是数学里最令人着迷的一个公式，数学家们评价它是“上帝创造的公式”，根据欧拉公式，若将 $e^{\frac{π}{3} i}$ 所表示的复数记为 $z$ ，那么 $| z | =$ .

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22. 已知复数z满足 $| z | = 1$ ，则 $| z + i | + | z - i |$ 的最大值是.

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四、解答题

23. 已知复数 $z = 3 + b i$ ，( $b$ 为实数)，且 $z - i$ 为实数.

(1)、求复数 $z$ ；

(2)、求复数 $z$ 的模 $| z |$ .

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24. 已知复数 $z = (1 + i) m^{2} - (2 + 4 i) m - 3 + 3 i$ ， $m \in R$ ．
（Ⅰ）若 $z$ 为纯虚数，求m的值；

（Ⅱ）若 $z$ 对应的点在直线 $y = x$ 上，求m的值．

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25. 已知i虚数单位， $z_{1} = \frac{3 - i}{1 + i}$ .
（Ⅰ）求 $| z_{1} |$ ；

（Ⅱ）若复数 $z_{2}$ 的虚部为2，且 $z_{1} z_{2}$ 的虚部为0，求 $z_{2}$ .

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26. 设实部为正数的复数 $z$ ，满足 $| z | = \sqrt{10}$ ，且复数 $(2 + i) z$ 在复平面上对应的点在第二、四象限的角平分线上.

(1)、求复数 $z$ ；

(2)、若 $\bar{z} + m^{2} (- 1 + i) + 4 m i (m \in R)$ 为纯虚数，求实数 $m$ 的值.

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27. 已知复数 z₁=a-2i ， $z_{2} = 3 + 4 i$ （ $a \in R$ ，i为虚数单位）.

(1)、若 $z_{1} \cdot z_{2}$ 是纯虚数，求实数a的值；

(2)、若复数 $z_{1} \cdot z_{2}$ 在复平面上对应的点在第四象限，求实数a的取值范围.

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28. 已知平行四边形OABC的三个顶点 $O ， A ， C$ 对应的复数为 $0 ， 3 + 2i ， -2 + 4i$ .

(1)、求点B所对应的复数 $z_{0}$ ；

(2)、若 $| z - z_{0} | = 1$ ，求复数 $z$ 所对应的点的轨迹.

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一、单选题

二、多选题

三、填空题

四、解答题

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