高中数学人教新课标A版选修2-2 2.3数学归纳法

试卷更新日期：2020-10-15 类型：同步测试

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一、单选题

1. 用数学归纳法证明等式， $1 + 2 + 3 + ... + 2 n = n (2 n + 1)$ 时，由 $n = k$ 到 $n = k + 1$ 时，等式左边应添加的项是（）

A、 $2 k + 1$ B、 $2 k + 2$ C、 $(2 k + 1) + (2 k + 2)$ D、 $(k + 1) + (k + 2) + ... + 2 k$

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2. 用数学归纳法证明等式 $1 + 2 + 3 + \dots + (n + 3) = \frac{(n + 3) (n + 4)}{2} (n \in N^{*})$ 时，第一步验证 $n = 1$ 时，左边应取的项是（）

A、1 B、1+2 C、1+2+3 D、1+2+3+4

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3. 用数学归纳法证明 $(n + 2) (n + 3) \cdot \cdot \cdot (2 n + 2) = 2^{n + 1} \cdot 1 \cdot 3 \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot (2 n + 1) (n \in N)$ 时，从“ $k$ ”到“ $k + 1$ ”的证明等式左边需增添的代数式是（）

A、 $2 k + 4$ B、 $(2 k + 3) (2 k + 4)$ C、 $\frac{2 k + 4}{k + 2}$ D、 $\frac{(2 k + 3) (2 k + 4)}{k + 2}$

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4. 用数学归纳法证明： $1 + a + a^{2} + \dots \dots + a^{n + 1} = \frac{1 - a^{n + 2}}{1 - a} (a \neq 1)$ ，在验证 $n = 1$ 时，左边为（）

A、1 B、 $1 + a$ C、 $1 + a + a^{2}$ D、都不正确

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5. 用数学归纳法证明： $1 + 2 + 3 + \cdot \cdot \cdot + 2 n = n (2 n + 1)$ 时，从n=k推证 $n = k + 1$ 时，左边增加的代数式是（）

A、 $4 k + 3$ B、 $4 k + 2$ C、 $2 k + 2$ D、 $2 k + 1$

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6. 用数学归纳法证明：“ $(n + 1) (n + 2) \dots (n + n) = 2^{n} \times 1 \times 3 \times 5 \times \dots \times (2 n - 1) (n \in N^{*})$ ”时，从 $n = k$ 到 $n = k + 1$ ，等式的左边需要增乘的代数式是（）

A、 $2 k + 1$ B、 $\frac{2 k + 1}{k + 1}$ C、 $\frac{2 k + 3}{k + 1}$ D、 $2 (2 k + 1)$

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7. 证明： $\frac{n + 2}{2} < 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \dots + \frac{1}{2 n} < n + 1 (n > 1)$ ，当 $n = 2$ 时，中间式子等于（）

A、1 B、 $1 + \frac{1}{2}$ C、 $1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3}$ D、 $1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4}$

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8. 用数学归纳法证明“ $\frac{1}{n + 1} + \frac{1}{n + 2} + \frac{1}{n + 3} + \cdot \cdot \cdot + \frac{1}{2 n} \geq \frac{1}{2} (n \in$ $N^{*})$ ”，由 $n = k$ 到 $n = k + 1$ 时，不等式左边应添加的项是（）

A、 $\frac{1}{2 k + 1}$ B、 $\frac{1}{2 k + 2}$ C、 $\frac{1}{2 k + 1} + \frac{1}{2 k + 2}$ D、 $\frac{1}{2 k + 1} + \frac{1}{2 k + 2} - \frac{1}{k + 1}$

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9. 用数学归纳法证明等式 $1^{2} + 2^{2} \dots + {(n - 1)}^{2} + n^{2} + {(n - 1)}^{2} + \dots + 2^{2} + 1^{2} = \frac{n (2 n^{2} + 1)}{3}$ ，当 $n = k + 1$ 时，等式左端应在 $n = k$ 的基础上加上（）

A、 ${(k + 1)}^{2} + 2 k^{2}$ B、 ${(k + 1)}^{2} + k^{2}$ C、 ${(k + 1)}^{2}$ D、 $\frac{1}{3} (k + 1) [2 {(k + 1)}^{2} + 1]$

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10. 在用数学归纳法证明等式 $1 + 2 + 3 + \dots + 2 n = 2 n^{2} + n (n \in N^{*})$ 的第(ii)步中，假设 $n = k$ 时原等式成立，那么在 $n = k + 1$ 时，需要证明的等式为（）

A、 $1 + 2 + 3 + \dots + 2 k + 2 (k + 1) = 2 k^{2} + k + 2 {(k + 1)}^{2} + (k + 1)$ B、 $1 + 2 + 3 + \dots + 2 k + 2 (k + 1) = 2 {(k + 1)}^{2} + (k + 1)$ C、 $1 + 2 + 3 + \dots + 2 k + (2 k + 1) + 2 (k + 1) = 2 k^{2} + k + 2 {(k + 1)}^{2} + (k + 1)$ D、 $1 + 2 + 3 + \dots + 2 k + (2 k + 1) + 2 (k + 1) = 2 {(k + 1)}^{2} + (k + 1)$

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11. 对于不等式 $\sqrt{n^{2} + 2 n} < n + 2 (n \in N^{*})$ ，某同学用数学归纳法证明的过程如下：
①当 $n = 1$ 时， $\sqrt{1^{2} + 2} < 1 + 2$ ，不等式成立；②假设当 $n = k$ $(n \in N^{*})$ 时，不等式成立，即 $\sqrt{k^{2} + 2 k} < k + 2$ ，则当 $n = k + 1$ 时， $\sqrt{{(k + 1)}^{2} + 2 (k + 1)} = \sqrt{k^{2} + 4 k + 3}$ $< \sqrt{(k^{2} + 4 k + 3) + (2 k + 6)} = \sqrt{{(k + 3)}^{2}} = (k + 1) + 2$ .故当 $n = k + 1$ 时，不等式成立.

则上述证法（）

A、过程全部正确 B、 $n = 1$ 的验证不正确 C、 $n = k$ 的归纳假设不正确 D、从 $n = k$ 到 $n = k + 1$ 的推理不正确

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12. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{n + 1} + \frac{1}{a_{n + 1}} = 2 a_{n} + \frac{1}{a_{n}} (n \in N^{*})$ ，则（）

A、当 $0 < a_{n} < 1 (n \in N^{*})$ 时，则 $a_{n + 1} > a_{n}$ B、当 $a_{n} > 1 (n \in N^{*})$ 时，则 $a_{n + 1} < a_{n}$ C、当 $a_{1} = \frac{1}{2}$ 时，则 $a_{n + 1} + \frac{1}{a_{n + 1}} > \sqrt{2 n + 4}$ D、当 $a_{1} = 2$ 时，则 $a_{n + 1} + \frac{1}{a_{n + 1}} > \sqrt{3 n + 20}$

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二、填空题

13. 用数学归纳法证明等式 $1 + 2 + 3 + \dots + (n + 3) = \frac{(n + 3) (n + 4)}{2} (n \in N^{*})$ 时，第一步验证 $n = 1$ 时，左边应取的项是．

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14. 用数学归纳法证明“ $1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \dots + \frac{1}{2^{n} - 1} < n (n \in N^{*}, n > 1)$ ”时，由 $n = k (k > 1)$ 不等式成立，推证 $n = k + 1$ 时，则不等式左边增加的项数共项

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15. 用数学归纳法证明“ $n^{3} + 5 n (n \in N^{*})$ 能被 $6$ 整除”的过程中，当 $n = k + 1$ 时， ${(k + 1)}^{3} + 5 (k + 1)$ 式子应变形为

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16. 已知 $n \in N$ ，用数学归纳法证明： $(n + 1) (n + 2) \dots (n + n) = 2^{n} \times 1 \times 3 \times \dots \times (2 n - 1)$ 时，从“ $k$ 到 $k + 1$ ”左边需增加的代数式是.

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三、解答题

17. 用数学归纳法证明 $1^{2} + 2^{2} + 3^{2} + \cdot \cdot \cdot + n^{2} = \frac{n (n + 1) (2 n + 1)}{6} (n \in N^{*})$ .

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18. 已知数列 ${x_{n}}$ 满足 $x_{1} = 0$ ， $x_{n + 1} = - x_{n}^{2} + x_{n} + c$ $(n \in N^{*})$ ， $0 < c \leq \frac{1}{4}$ ，求证：数列 ${x_{n}}$ 是递增数列.

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19. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} = 1$ ，对任意 $n \in N^{*}$ ，都有 $a_{n + 1} = n^{2} + \frac{2 a_{n}}{n} + 1$ 成立.

(1)、求出 $a_{2} a_{3} a_{4}$ 的值.

(2)、推测出数列 ${a_{n}}$ 通项公式并用数学归纳法证明.

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20. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，满足 $a_{n} \geq 1$ ，且 $4 S_{n} = {(a_{n} + 1)}^{2}$ ， $n \in N^{+}$ .

(1)、求 $a_{1}$ ， $a_{2}$ ， $a_{3}$ 的值；

(2)、猜想数列 ${a_{n}}$ 的通项公式，并用数学归纳法予以证明.

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21. 已知数列（a.）满足a₁=a，a_n+1= $\frac{1}{2 - a_{n}}$ ，

(1)、求a₂ ， a₃ ， a₄；

(2)、猜想数列{a_n}的通项公式，并用数学归纳法证明.

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22. 某班级共派出 $n + 1$ 个男生和个女生参加学校运动会的入场仪式，其中男生倪某为领队.入场时，领队男生倪某必须排第一个，然后女生整体在男生的前面，排成一路纵队入场，共有 $E_{n}$ 种排法；入场后，又需从男生（含男生倪某）和女生中各选一名代表到主席台服务，共有 $F_{n}$ 种选法.

(1)、试求 $E_{n}$ 和F_n；

(2)、判断 $ln E_{n}$ 和 $F_{n}$ 的大小（ $n \in N_{+}$ ），并用数学归纳法证明.

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二、填空题

三、解答题

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