高中数学人教新课标A版选修2-2 2.2直接证明与间接证明

试卷更新日期：2020-10-15 类型：同步测试

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一、单选题

1. 在用反证法证明 $a + b = 2$ 时的反设为（）

A、 $a + b > 2$ 且 $a + b < 2$ B、 $a + b > 2$ 或 $a + b < 2$ C、 $a + b > 2$ D、 $a + b < 2$

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2. 用反证法证明命题“如果 $a, b \in N, a b$ 可被5整除，那么a，b中至少有一个能被5整除”时，假设的内容应为（）

A、a，b都不能被5整除 B、a，b都能被5整除 C、a，b不都能被5整除 D、a不能被5整除

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3. 用反证法证明命题“如果 $a > b ，$ 那么 $\sqrt[3]{a} > \sqrt[3]{b}$ ”时，假设的内容是（）

A、 $\sqrt[3]{a} = \sqrt[3]{b}$ B、 $\sqrt[3]{a} < \sqrt[3]{b}$ C、 $\sqrt[3]{a} = \sqrt[3]{b}$ 且 $\sqrt[3]{a} > \sqrt[3]{b}$ D、 $\sqrt[3]{a} = \sqrt[3]{b}$ 或 $\sqrt[3]{a} < \sqrt[3]{b}$

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4. 用反证法证明"三角形的内角中最多有一个内角是钝角"时，下列假设正确的是（）

A、没有一个内角是钝角 B、至少有一个内角是钝角 C、至少有两个内角是锐角 D、至少有两个内角是钝角

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5. 用反证法证明命题：“ $a ， b ， c ， d \in R$ ， $a + b = 1$ ， $c + d = 1$ ，且 $a c + b d > 1$ ，则 $a ， b ， c ， d$ 中至少有一个负数”时的假设为（）

A、 $a ， b ， c ， d$ 全都大于等于0 B、 $a ， b ， c ， d$ 全为正数 C、 $a ， b ， c ， d$ 中至少有一个正数 D、 $a ， b ， c ， d$ 中至多有一个负数

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6. 利用反证法证明：若 $\sqrt{x} + \sqrt{y} = 0$ ，则 $x = y = 0$ ，假设为（）

A、 $x ， y$ 都不为0 B、 $x ， y$ 不都为0 C、 $x ， y$ 都不为0，且 $x \neq y$ D、 $x ， y$ 至少有一个为0

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7. 用反证法证明命题“三角形的内角中至少有一个角不大于 $60 °$ ”时，应假设（）

A、三角形的三个内角都不大于 $60 °$ B、三角形的三个内角都大于 $60 °$ C、三角形的三个内角至多有一个大于 $60 °$ D、三角形的三个内角至少有两个大于 $60 °$

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8. 用反证法证明“若 $a ， b \in R$ ， $a^{2} + b^{2} = 0$ ，则 $a$ ， $b$ 至少有一个为0”时，假设正确的（）.

A、 $a$ ， $b$ 中只有一个为0 B、 $a$ ， $b$ 全为0 C、 $a$ ， $b$ 至少有一个不为0 D、 $a$ ， $b$ 全不为0

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9. 用反证法证明“至少存在一个实数 $x_{0}$ ，使 $3^{x_{0}} > 0$ 成立”时，假设正确的是（）

A、至少存在两个实数 $x_{0}$ ，使 $3^{x_{0}} > 0$ 成立 B、至多存在一个实数 $x_{0}$ ，使 $3^{x_{0}} > 0$ 成立 C、不存在实数 $x_{0}$ ，使 $3^{x_{0}} > 0$ 成立 D、任意实数 $x$ ， $3^{x} > 0$ 恒成立

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10. 要证 $\sqrt[3]{a} - \sqrt[3]{b} < \sqrt[3]{a - b}$ 成立，a,b应满足的条件是（）

A、 $a b < 0$ 且 $a > b$ B、 $a b < 0$ 且 $a < b$ C、 $a b > 0$ 且 $a < b$ D、 $a b > 0$ ， $a > b$ 或 $a b < 0$ ， $a < b$

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11. ①已知 $p^{3} + q^{3} = 2$ ，求证 $p + q \leq 2$ ，用反证法证明时，可假设 $p + q > 2$ ；②设x， y， z都是正数，用反证法证明三个数 $x + \frac{1}{y}$ ， $y + \frac{1}{z}$ ， $z + \frac{1}{x}$ 至少有一个不小于2时，可假设 $x + \frac{1}{y}$ ， $y + \frac{1}{z}$ ， $z + \frac{1}{x}$ 都大于2，以下说法正确的是（）

A、①与②的假设都错误 B、①与②的假设都正确 C、①的假设正确，②的假设错误 D、①的假设错误，②的假设正确

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12. 新高考的改革方案开始实施后，某地学生需要从化学，生物，政治，地理四门学科中选课，每名同学都要选择其中的两门课程.已知甲同学选了化学，乙与甲没有相同的课程，丙与甲恰有一门课相同，丁与丙也没有相同课程.则以下说法正确的是（）

A、丙没有选化学 B、丁没有选化学 C、乙丁可以两门课都相同 D、这四个人里恰有2个人选化学

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二、填空题

13. 用反证法证明“设 $a^{3} + b^{3} = 2$ ，求证 $a + b \leq 2$ ”时，第一步的假设是．

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14. 应用反证法推出矛盾的推导过程中要把下列哪些作为条件使用：
①结论相反的判断，即假设②原命题的条件③公理、定理、定义等④原结论

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15. 用反证法证明命题：“一个三角形中不能有两个直角”的过程归纳为以下三个步骤：
①∠A+∠B+∠C=90°+90°+∠C>180°，这与三角形内角和为180°相矛盾，则∠A=∠B=90°不成立；

②所以一个三角形中不能有两个直角；

③假设∠A，∠B，∠C中有两个角是直角，不妨设∠A=∠B=90°.

正确顺序的序号排列为.

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16. 现有灰色与白色的卡片各八张，分别写有数字1到8．甲、乙、丙、丁四个人每人面前摆放四张，并按从小到大的顺序自左向右排列（当灰色卡片和白色卡片数字相同时，白色卡片摆在灰色卡片的右侧）．如图，甲面前的四张卡片已经翻开，则写有数字4的灰色卡片是．（填写字母）

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三、解答题

17. 已知为a ， b非负实数，求证： $a^{3} + b^{3} \geq \sqrt{a b} (a^{2} + b^{2})$ ．

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18. 用分析法证明 $\sqrt{6} + \sqrt{10} > 2 \sqrt{3} + 2$ .

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19. 设 $a \geq b > 0$ ，用综合法证明： $a^{3} + b^{3} \geq a^{2} b + a b^{2}$ ．

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20. 已知实数a、b、c、d满足 $a + b = c + d = 1, a c + b d > 1$ ,求证a、b、c、d中至少有一个是负数.

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21.

(1)、已知x，y为正实数，用分析法证明： $\frac{x}{2 x + y} + \frac{y}{x + 2 y} \leq \frac{2}{3}$ .

(2)、若 $a$ ， $b$ ， $c$ 均为实数，且 $a = x^{2} - 2 y + \frac{1}{3}$ ， $b = y^{2} - 2 z + 3$ ， $c = z^{2} - 2 x + \frac{1}{6}$ ，用反证法证明：中至少有一个大于0.

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22. 对于命题 $P$ ：存在一个常数 $M$ ，使得不等式 $\frac{a}{2 a + b} + \frac{b}{2 b + a} \leq M \leq \frac{a}{a + 2 b} + \frac{b}{b + 2 a}$ 对任意正数 $a$ ， $b$ 恒成立.

(1)、试给出这个常数 $M$ 的值（不需要证明）；

(2)、在（1）所得结论的条件下证明命题 $P$ .

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一、单选题

二、填空题

三、解答题

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