人教A版（2019）必修一2.2 基本不等式

试卷更新日期：2020-10-14 类型：同步测试

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一、单选题

1. 已知实数 $x, y$ 满足 $x > y > 0$ ，且 $x + y = 1$ ，则 $\frac{2}{x + 3 y} + \frac{1}{x - y}$ 的最小值为（）

A、 $\frac{10}{3}$ B、 $\frac{3}{2} + \sqrt{2}$ C、 $3 + 2 \sqrt{2}$ D、 $2 \sqrt{2}$

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2. 若正数 $a, b$ 满足 $a + b = 6$ ，则 $a b$ 的最大值为（）

A、5 B、6 C、7 D、9

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3. 设 $x$ 、 $y$ 、 $z > 0$ ， $a = x + \frac{1}{y}$ ， $b = y + \frac{1}{z}$ ， $c = z + \frac{1}{x}$ ，则 $a$ 、 $b$ 、 $c$ 三数（）

A、都小于 $2$ B、至少有一个不大于 $2$ C、都大于 $2$ D、至少有一个不小于 $2$

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4. 已知 $x > 0, y > 0$ ， $2 x + 3 y = 1$ ，则 $4^{x} + 8^{y}$ 的最小值为（）

A、8 B、6 C、 $2 \sqrt{2}$ D、 $3 \sqrt{3}$

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5. 若两个正实数 $x ， y$ 满足 $\frac{1}{x} + \frac{4}{y} = 1$ ，且不等式 $x + \frac{y}{4} < m^{2} - 3 m$ 有解，则实数m的取值范围 $($ $)$

A、 $(- 1 ， 4)$ B、 $(- \infty ， - 1) \cup (4 ， + \infty)$ C、 $(- 4 ， 1)$ D、 $(- \infty ， 0) \cup (3 ， + \infty)$

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6. 已知不等式 $(x + y) (\frac{1}{x} + \frac{a}{y}) \geq 9$ 对任意实数x、y恒成立，则实数a的最小值为（）

A、8 B、6 C、4 D、2

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7. 如果正数 $a ， b ， c ， d$ 满足 $a + b = c d = 4$ ，那么（）

A、 $a b \leq c + d$ ，且等号成立时 $a ， b ， c ， d$ 的取值唯一 B、 $a b \geq c + d$ ，且等号成立时 $a ， b ， c ， d$ 的取值唯一 C、 $a b \leq c + d$ ，且等号成立时 $a ， b ， c ， d$ 的取值不唯一 D、 $a b \geq c + d$ ，且等号成立时 $a ， b ， c ， d$ 的取值不唯一

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8. 已知实数 $a > 0, b > 1$ 满足 $a + b ＝ 5$ ，则 $\frac{2}{a} + \frac{1}{b - 1}$ 的最小值为（）

A、 $\frac{3 + 2 \sqrt{2}}{4}$ B、 $\frac{3 + 4 \sqrt{2}}{4}$ C、 $\frac{3 + 2 \sqrt{2}}{6}$ D、 $\frac{3 + 4 \sqrt{2}}{6}$

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二、多选题

9. 若 $a > 0, b > 0, a + b = 2$ ，则下列不等式,其中正确的有（）

A、 $a b \leq 1$ B、 $\sqrt{a} + \sqrt{b} \leq \sqrt{2}$ C、 $a^{2} + b^{2} \geq 2$ D、 $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} \geq 2$

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10. 下列说法正确的是（）.

A、若 $x ， y > 0$ ， $x + y = 2$ ，则 $2^{x} + 2^{y}$ 的最大值为4 B、若 $x < \frac{1}{2}$ ，则函数 $y = 2 x + \frac{1}{2 x - 1}$ 的最大值为-1 C、若 $x ， y > 0$ ， $x + y + x y = 3$ ，则 $x y$ 的最小值为1 D、函数 $y = \frac{1}{\sin^{2} x} + \frac{4}{\cos^{2} x}$ 的最小值为9

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11. 设 $a ， b \in R$ ，则下列不等式一定成立的是（）

A、 $a^{2} + b^{2} \geq 2 a b$ B、 $a + \frac{1}{a} \geq 2$ C、 $b^{2} + 1 \geq 2 b$ D、 $| \frac{b}{a} | + | \frac{a}{b} | \geq 2$

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12. 已知正数a，b满足 $a + b = 4$ ，ab的最大值为t，不等式 $x^{2} + 3 x - t < 0$ 的解集为M，则（）

A、 $t = 2$ B、 $t = 4$ C、 $M = {x | - 4 < x < 1}$ D、 $M = {x | - 1 < x < 4}$

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三、填空题

13. 已知 $a > 0, b > 0$ ，且 $a b = 1$ ，则 $\frac{1}{2 a} + \frac{1}{2 b} + \frac{8}{a + b}$ 的最小值为．

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14. 已知 $5 x^{2} y^{2} + y^{4} = 1 (x, y \in R)$ ，则 $x^{2} + y^{2}$ 的最小值是．

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15. 若正数 $a, b$ 满足 $a + b = 1$ ，则 $\frac{9}{a} + \frac{1}{b}$ 的最小值为.

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16. 已知 $x > 0$ ， $y > 0$ ，且 $\frac{2}{x} + \frac{1}{y} = 2$ ，若 $2 x + y \geq m^{2} - \frac{3}{2} m$ 恒成立，则实数m的取值范围．

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17. 若正数a，b满足 $a b = 2 a + 2 b + 5$ ，则ab的最小值是．

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18. 已知 $x > 0$ ， $y > 0$ ， $x + 3 y + 2 x y = 36$ ，则 $x + 3 y$ 的最小值为．

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19. 已知 $a > 0, b > 0, c > 0$ ，若点 $P (a, b)$ 在直线 $x + y + c = 2$ 上，则 $\frac{4}{a + b} + \frac{a + b}{c}$ 的最小值为.

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20. 已知 $x > 0$ ， $y > 0$ ，且 $2 x + 8 y - x y = 0$ ，若不等式 $a \leq x + y$ 恒成立，则实数 $a$ 的范围是.

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四、解答题

21. 已知 $x > 1$ ， $y > 1$ ，且 $x + y = 4$ ，
求证： $\frac{y^{2}}{x - 1} + \frac{x^{2}}{y - 1} \geq 8$ ．

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22. 已知 $x > 0$ ， $y > 0$ ， $x + y = 1$ ，

(1)、求 $\sqrt{x} + \sqrt{y}$ 的最大值.

(2)、求 $\frac{1}{x} + \frac{9}{y}$ 的最小值.

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23. 已知 $a, b, c$ 都是正数，求证：

(1)、 $\frac{a^{2}}{b} + \frac{b^{2}}{c} + \frac{c^{2}}{a} ⩾ a + b + c$ ；

(2)、 $\frac{1}{2 a} + \frac{1}{2 b} + \frac{1}{2 c} ⩾ \frac{1}{a + c} + \frac{1}{c + a} + \frac{1}{a + b}$ .

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24. 已知正实数 $a ， b$ 满足 $a + b = 4$ .

(1)、求 $\frac{1}{a} + \frac{4}{b}$ 的最小值.

(2)、证明： ${(a + \frac{1}{a})}^{2} + {(b + \frac{1}{b})}^{2} ⩾ \frac{25}{2}$

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25.

(1)、已知 $x < \frac{5}{4}$ ，求函数 $y = 4 x - 1 + \frac{1}{4 x - 5}$ 的最大值；

(2)、已知 $x ， y \in R^{＊}$ (正实数集)，且 $\frac{1}{x} + \frac{9}{y} = 1$ ，求 $x + y$ 的最小值；

(3)、已知 $a > 0$ ， $b > 0$ ，且 $a^{2} + \frac{b^{2}}{2} = 1$ ，求 $a \sqrt{1 + b^{2}}$ 的最大值．

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一、单选题

二、多选题

三、填空题

四、解答题

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