湖北省孝感市三校2021届九年级上学期数学第一次月考试卷

试卷更新日期：2020-10-13 类型：月考试卷

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一、选择题

1. 将一元二次方程 $x^{2} - 8 x - 5 = 0$ 化成 ${(x + a)}^{2} = b$ （a，b为常数）的形式，则a，b的值分别是（）

A、 $- 4$ ，21 B、 $- 4$ ，11 C、4，21 D、 $- 8$ ，69

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2. 定义运算： $m # n = {mn}^{2} - mn - 1$ .例如 $： 4 # 2 = 4 \times 2^{2} - 4 \times 2 - 1 = 7$ .则方程 $1 # x = 0$ 的根的情况为（）

A、有两个不相等的实数根 B、有两个相等的实数根 C、无实数根 D、只有一个实数根

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3. 已知m、n、4分别是等腰三角形(非等边三角形)三边的长，且m、n是关于x的一元二次方程 $x^{2}$ ﹣6x+k+2=0的两个根，则k的值等于(　　)

A、7 B、7或6 C、6或﹣7 D、6

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4. 将抛物线 $y = 2 {(x - 3)}^{2} + 2$ 向左平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到抛物线的解析式是（）

A、 $y = 2 {(x - 6)}^{2}$ B、 $y = 2 {(x - 6)}^{2} + 4$ C、 $y = 2 x^{2}$ D、 $y = 2 x^{2} + 4$

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5. 已知(-3，y₁)，(-2，y₂)，(1，y₃)是抛物线y=-3x²-12x+m上的点，则（）

A、y₃<y₂<y₁ B、y₃<y₁<y₂ C、y₂<y₃<y₁ D、y₁<y₃<y₂

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6. 已知函数 $y_{1} = a x + a$ 和 $y_{2} = - a x^{2} + 2 x + 2$ （a是常数，且a≠0），函数y₁和y₂的图象可能是（）

A、 B、 C、 D、

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7. 某医院内科病房有护士x人，每2人一班，轮流值班，每8小时换班一次，某两人同值一班后，到下次两人再同班，最长需要的天数是70天，则 $x =$ （）

A、 $15$ B、 $18$ C、 $21$ D、 $35$

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8. 某市从2017年开始大力发展“竹文化”旅游产业．据统计，该市2017年“竹文化”旅游收入约为2亿元．预计2019“竹文化”旅游收入达到2.88亿元，据此估计该市2018年、2019年“竹文化”旅游收入的年平均增长率约为（）

A、2% B、4.4% C、20% D、44%

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9. 点P(m，n)在以y轴为对称轴的二次函数y＝x²+ax+4的图象上.则m﹣n的最大值等于（）

A、 $\frac{15}{4}$ B、4 C、﹣ $\frac{15}{4}$ D、﹣ $\frac{17}{4}$

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10. 如图，已知抛物线 $y = a x^{2} + b x + c$ 的对称轴为直线 $x = 1$ ．给出下列结论：

① $a c < 0$ ； ② $b^{2} - 4 a c > 0$ ； ③ $2 a - b = 0$ ； ④ $a - b + c = 0$ ．

其中，正确的结论有（）

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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二、填空题

11. 抛物线 $y = 3 {(x - 1)}^{2} + 8$ 的顶点坐标为．

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12. 若 ${(x^{2} + y^{2})}^{2} - 5 (x^{2} + y^{2}) - 6 = 0$ ，则 $x^{2} + y^{2} =$ ．

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13. 若x₁ ， x₂是方程x²﹣4x﹣2020＝0的两个实数根，则代数式x₁²﹣2x₁+2x₂的值等于.

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14. 下表中 $y$ 与 $x$ 的数据满足我们初中学过的某种函数关系，其函数表达式为.

$x$

……

$- 1$

$0$

$1$

$3$

……

$y$

……

$0$

$3$

$4$

$0$

……

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15. 若x＝4是二次方程x²+ax﹣4b＝0的解，则代数式a﹣b的值为.

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16. 如图，在平面直角坐标系中，点A是抛物线 $y=a {(x - 3)}^{2} +k$ 与y轴的交点，点B是这条抛物线上的另一点，且AB∥x轴，则以AB为边的等边三角形ABC的周长为.

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三、解答题

17. 解方程

(1)、x²-5x=0

(2)、(x-3)(x+3)=2x

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18. 已知二次函数的图象过点（0，3），顶点坐标为（﹣4，11）．

(1)、求这个二次函数的表达式；

(2)、求这个二次函数图象与x轴交点坐标．

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19. 在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=x²-2mx+m²-m+2的顶点为D.线段AB的两个端点分别为A(-3,m),B(1,m).

(1)、求点D的坐标(用含m的代数式表示);

(2)、若该抛物线经过点B(1,m),求m的值;

(3)、若线段AB与该抛物线只有一个公共点,结合函数的图象,求m的取值范围.

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20. 已知关于x的一元二次方程 $x^{2} + 2 x - k = 0$ 有两个不相等的实数根.

(1)、求k的取值范围；

(2)、若方程的两个不相等实数根是a，b，求 $\frac{a}{a + 1} - \frac{1}{b + 1}$ 的值.

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21. 已知关于 $x$ 的一元二次方程 $(a + c) x^{2} + 2 bx + c + (a - c) = 0$ ，其中 $a$ 、 $b$ 、 $c$ 分别为 $△ ABC$ 三边的长．

(1)、如果 $x = - 1$ 是方程的根，试判断 $△ ABC$ 的形状，并说明理由；

(2)、如果 $△ ABC$ 是等边三角形，试求这个一元二次方程的根．

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22. 某公司展销如图所示的长方形工艺品，该工艺品长60cm宽40cm，中间镶有宽度相同的三条丝绸花边.

(1)、若丝绸花边的面积(阴影面积)为650cm² ，求丝绸花边的宽度；

(2)、已知该工艺品的成本是40元/件，如果以单价100元/件销售，那么每天可售出200件，另每天还需支付各种费用2000元，根据销售经验，如果将销售单价降低1元，每天可多售出20件，同时，为了完成销售任务，该公司每天至少要销售800件.
（ⅰ）若想每天获利18000元，该公司应该把销售单价定为多少元？

（ⅱ）该公司应该把销售单价定为多少元，才能使每天所获销售利润最大?最大利润是多少?

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23. 定义：若关于x的一元二次方程ax²＋bx＋c＝0(a≠0)的两个实数根为x₁ ， x₂（x₁＜x₂），分别以x₁ ， x₂为横坐标和纵坐标得到点M（x₁ ， x₂），则称点M为该一元二次方程的衍生点.

(1)、若关于x的一元二次方程为x²－2(m－1)x＋m²－2m＝0.
①求证：不论m为何值，该方程总有两个不相等的实数根，并求出该方程的衍生点M的坐标；

②直线l₁：y＝x＋5与x轴交于点A，直线l₂过点B（1，0），且l₁与l₂相交于点C（－1，4），若由①得到的点M在△ABC的内部，求m的取值范围.

(2)、是否存在b，c，使得不论k（k≠0）为何值，关于x的方程x²＋bx＋c＝0的衍生点M始终在直线y＝kx＋3(2－k)的图象？若有，求出b＋c的值；若没有，说明理由.

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24. 如图，抛物线过点A（0，1）和C，顶点为D，直线AC与抛物线的对称轴BD的交点为B（ $\sqrt{3}$ ，0），平行于y轴的直线EF与抛物线交于点E，与直线AC交于点F，点F的横坐标为 $\frac{4 \sqrt{3}}{3}$ ，四边形BDEF为平行四边形．

(1)、求点F的坐标及抛物线的解析式；

(2)、若点P为抛物线上的动点，且在直线AC上方，当△PAB面积最大时，求点P的坐标及△PAB面积的最大值；

(3)、在抛物线的对称轴上取一点Q，同时在抛物线上取一点R，使以AC为一边且以A，C，Q，R为顶点的四边形为平行四边形，求点Q和点R的坐标．

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$x$	……	$- 1$	$0$	$1$	$3$	……
$y$	……	$0$	$3$	$4$	$0$	……