高中数学人教新课标A版选修2-2 2.1合情推理与演绎推理

试卷更新日期：2020-10-13 类型：同步测试

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一、单选题

1. “余弦函数是偶函数， $f (x) = \cos (3 x^{2} + 2)$ 是余弦函数，因此 $f (x) = \cos (3 x^{2} + 2)$ 是偶函数”，以上推理（）

A、结论正确 B、小前提不正确 C、大前提不正确 D、全部正确

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2. 有一段“三段论”推理是这样的：对于可导函数 $f (x)$ ，如果 $f^{'} (x_{0}) = 0$ ，那么 $x = x_{0}$ 是函数 $f (x)$ 的极值点．因为函数 $f (x) = x^{3}$ 在 $x = 0$ 处的导数值 $f^{'} (0) = 0$ ，所以 $x = 0$ 是函数 $f (x) = x^{3}$ 的极值点．以上推理中（）

A、小前提错误 B、大前提错误 C、推理形式错误 D、结论正确

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3. 某校甲、乙、丙、丁四位同学参加了第34届全国青少年科技创新大赛，老师告知只有一位同学获奖，四人据此做出猜测：甲说：“丙获奖”；乙说：“我没获奖”；丙说：“我没获奖”；丁说：“我获奖了”，若四人中只有一人判断正确，则判断正确的是（）

A、甲 B、乙 C、丙 D、丁

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4. 甲、乙、丙三人中，一人是律师，一人是医生，一人是记者．已知丙的年龄比医生大；甲的年龄和记者不同；记者的年龄比乙小，根据以上情况，下列判断正确的是（）

A、甲是律师，乙是医生，丙是记者 B、甲是医生，乙是记者，丙是律师 C、甲是医生，乙是律师，丙是记者 D、甲是记者，乙是医生，丙是律师

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5. 观察九宫格中的图形规律，在空格内画上合适的图形应为（）

A、 B、 C、 D、

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6. 有一段演绎推理是这样的：“若一条直线平行于一个平面，则此直线平行于这个平面内的所有直线”.已知直线 $b / /$ 平面 $α$ ，直线 $a \subset$ 平面 $α$ ，则直线 $b / /$ 直线a”．你认为这个推理（）

A、结论正确 B、大前提错误 C、小前提错误 D、推理形式错误

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7. 下列说法中正确的是（）

A、合情推理就是正确的推理 B、归纳推理就是从一般到特殊的推理过程 C、类比推理就是从特殊到一般的推理过程 D、类比推理就是从特殊到特殊的推理过程

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8. 某西方国家流传这样的一个政治笑话：“鹅吃白菜，参议员先生也吃白菜，所以参议员先生是鹅”结论显然是错误的，是因为（）

A、大前提错误 B、推理形式错误 C、小前提错误 D、非以上错误

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9. 《论语·子路》篇中说“名不正则言不顺；言不顺则事不成；事不成则礼乐不兴；礼乐不兴则刑罚不中；刑罚不中则民无所措手足”所以名不正则民无所措手足，以上过程用的是（）

A、类比推理 B、归纳推理 C、演绎推理 D、数学证明

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10. 观察数列1， $\ln 2$ ， $\sin 3$ ，4， $\ln 5$ ， $\sin 6$ ，7， $\ln 8$ ， $\sin 9$ ……，则该数列的第11项等于（）

A、1111 B、11 C、 $\ln 11$ D、 $\sin 11$

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11. 0-1周期序列在通信技术中有着重要应用.若序列 $a_{1} a_{2} \dots a_{n} \dots$ 满足 $a_{i} \in {0 ， 1} (i = 1 ， 2 ， \dots)$ ，且存在正整数m，使得 $a_{i + m} = a_{i} (i = 1 ， 2 ， \dots)$ 成立，则称其为0-1周期序列，并称满足 $a_{i + m} = a_{i} (i = 1 ， 2 ， \dots)$ 的最小正整数m为这个序列的周期.对于周期为m的0-1序列 $a_{1} a_{2} \dots a_{n} \dots$ ， $C (k) = \frac{1}{m} \sum_{i = 1}^{m} a_{i} a_{i + k} (k = 1 ， 2 ， \dots ， m - 1)$ 是描述其性质的重要指标，下列周期为5的0-1序列中，满足 $C (k) \leq \frac{1}{5} (k = 1 ， 2 ， 3 ， 4)$ 的序列是（）

A、 $11010 \dots$ B、 $11011 \dots$ C、 $10001 \dots$ D、 $11001 \dots$

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12. 三角形的面积为 $S = \frac{1}{2} (a + b + c) \cdot r$ ，其中 $a, b, c$ 为三角形的边长，r为三角形内切圆的半径，则利用类比推理，可得出四面体的体积为（）

A、 $V = \frac{1}{3} a b c$ B、 $V = \frac{1}{3} S h$ C、 $V = \frac{1}{3} (a b + b c + c a) h$ ，（ $h$ 为四面体的高） D、 $V = \frac{1}{3} (S_{1} + S_{2} + S_{3} + S_{4}) r$ ，（ $S_{1}, S_{2}, S_{3}, S_{4}$ 分别为四面体的四个面的面积，r为四面体内切球的半径）

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13. 我国古代数学名著《九章算术》中割圆术有：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣，”其体现的是一种无限与有限的转化过程，比如在 $\sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{2 + \cdot \cdot \cdot}}}$ 中“…”.即代表无限次重复，但原式却是个定值x，这可以通过方程 $\sqrt{2 + x} = x$ 确定出来 $x = 2$ ，类似地不难得到 $2 + \frac{1}{2 + \frac{1}{2 + \cdot \cdot \cdot}} =$ （）

A、 $\frac{1 + \sqrt{2}}{2}$ B、 $\frac{1 - \sqrt{2}}{2}$ C、 $\sqrt{2} + 1$ D、 $- \sqrt{2} + 1$

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14. 下列使用类比推理正确的是（）

A、“平面内平行于同一直线的两直线平行”类比推出“空间中平行于同一平面的两直线平行” B、“若 $x + \frac{1}{x} = 2$ ，则 $x^{2} + \frac{1}{x^{2}} = 2$ ”类比推出“若，则 $x^{2} - \frac{1}{x^{2}} = 2$ ” C、“实数a，b，c满足运算 $(a b) c = a (b c)$ ”类比推出“平面向量 $\vec{a} ， \vec{b} ， \vec{c}$ 满足运算 $(\vec{a} \cdot \vec{b}) \vec{c} = \vec{a} (\vec{b} \cdot \vec{c})$ ” D、“正方形的内切圆切于各边的中点”类比推出“正方体的内切球切于各面的中心”

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二、多选题

15. 为弘扬中华传统文化，某校组织高一年级学生到古都西安游学．在某景区，由于时间关系，每个班只能在甲、乙、丙三个景点中选择一个游览，高一1班的27名同学决定投票来选定游览的景点，约定每人只能选择一个景点，得票数高于其它景点的入选．据了解，若只游览甲、乙两个景点，有18人会选择甲，若只游览乙、丙两个景点，有19人会选择乙，那么关于这轮投票结果，下列说法正确的是（）

A、该班选择去甲景点游览 B、乙景点的得票数可能会超过9 C、丙景点的得票数不会比甲景点高 D、三个景点的得票数可能会相等

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16. 华为5G通信编码的极化码技术方案基于矩阵的乘法，如： $(\begin{matrix} c_{1} & c_{2} \end{matrix}) = (\begin{matrix} a_{1} & a_{2} \end{matrix}) \times (\begin{matrix} b_{11} & b_{12} \\ b_{21} & b_{22} \end{matrix})$ ，其中 $c_{1} = a_{1} b_{11} + a_{2} b_{21}$ ， $c_{2} = a_{1} b_{12} + a_{2} b_{22}$ .已知定义在R上不恒为0的函数 $f (x)$ ，对任意 $a, b \in R$ 有： $(\begin{matrix} y_{1} & y_{2} \end{matrix}) = (\begin{matrix} f (a) & f (b) \end{matrix}) \times (\begin{matrix} - 1 & b + 1 \\ a - 1 & 1 \end{matrix})$ 且满足 $f (a b) = y_{1} + y_{2}$ ，则（）

A、 $f (0) = 0$ B、 $f (- 1) = 1$ C、 $f (x)$ 是偶函数 D、 $f (x)$ 是奇函数

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三、填空题

17. 甲、乙两支足球队进行一场比赛， $A, B, C$ 三位球迷赛前在一起聊天. $A$ 说：“甲队一定获胜.”B说：“甲队不可能输.”C说：“乙队一定获胜.”比赛结束后，发现三人中只有一人的判断是正确的，则比赛的结果不可能是.（填“甲胜”“乙胜”“平局”中的一个）

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18. 给出下列演绎推理：“自然数是整数， ▲ ，所以2是整数”，如果这是推理是正确的，则其中横线部分应填写．

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19. 函数f（x）＝sinωx（ω＞0）的图象与其对称轴在y轴右侧的交点从左到右依次记为A₁ ， A₂ ， A₃ ， …，A_n ， …，在点列{A_n}中存在三个不同的点A_k、A_l、A_p ，使得△A_kA_lA_p是等腰直角三角形，将满足上述条件的ω值从小到大组成的数记为ω_n ，则ω₆＝．

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20. 对于三次函数 $f (x) = a x^{3} + b x^{2} + c x + d (a \neq 0)$ ，现给出定义：设 $f^{'} (x)$ 是函数 $y = f (x)$ 的导数， $f^{″} (x)$ 是 $f^{'} (x)$ 的导数，若方程 $f^{″} (x)$ =0有实数解 $x_{0}$ ，则称点( $x_{0}$ ， $f (x_{0})$ )为函数 $f (x) = a x^{3} + b x^{2} + c x + d (a \neq 0)$ 的“拐点”．经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”，任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心．设函数 $g (x) = 2 x^{3} - 3 x^{2} + 1$ ，则 $g (\frac{1}{100}) + g (\frac{2}{100}) + \dots + g (\frac{99}{100}) =$ .

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四、解答题

21. 某同学在一次研究性学习中，发现以下五个式子的值都等于同一个常数.
⑴ ${sin}^{2} 10 ° + {sin}^{2} 70 ° - sin 10 ° sin 70 °$
⑵ ${sin}^{2} 20 ° + {sin}^{2} 80 ° - sin 20 ° sin 80 °$
⑶ ${sin}^{2} 30 ° + {sin}^{2} 90 ° - sin 30 ° sin 90 °$
⑷ ${sin}^{2} (- 13 °) + {sin}^{2} 47 ° - sin (- 13 °) sin 47 °$
⑸ ${sin}^{2} (- 78 °) + {sin}^{2} (- 18 °) - sin (- 78 °) sin (- 18 °)$
（Ⅰ）试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；
（Ⅱ）根据（Ⅰ）的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明该结论.

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22. 将下列演绎推理写成“三段论”的形式．

(1)、太阳系的大行星都以椭圆形轨道绕太阳运行，海王星是太阳系中的大行星，所以海王星以椭圆形轨道绕太阳运行；

(2)、菱形的对角线互相平分；

(3)、函数f（x）＝x²－cos x是偶函数．

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23. 如图所示，在△ABC中，a＝b·cos C＋c·cos B，其中a，b，c分别为角A，B，C的对边，在四面体PABC中，S₁ ， S₂ ， S₃ ， S分别表示△PAB，△PBC，△PCA，△ABC的面积，α，β，γ依次表示面PAB，面PBC，面PCA与底面ABC所成二面角的大小．写出对四面体性质的猜想，并证明你的结论

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24. 已知命题：平面上一矩形ABCD的对角线AC与边AB、AD所成的角分别为 $α$ 、 $β$ （如图1），则 ${cos}^{2} α + {cos}^{2} β = 1$ .用类比的方法，把它推广到空间长方体中，试写出相应的一个真命题并证明.

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一、单选题

二、多选题

三、填空题

四、解答题

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