湖北省重点高中联考协作体2019-2020学年高二上学期数学期中考试试卷(A卷)

试卷更新日期：2020-10-13 类型：期中考试

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一、单选题

1. 已知集合 $M = {x | - 2 < x < 3}$ ， $N = {x | 2^{x} > 1}$ ，则 $M \cap N =$ （）

A、 ${x | 0 ⩽ x < 3}$ B、 ${x | 0 < x < 3}$ C、 ${x | - 2 < x < 3}$ D、 ${x | - 2 < x < 2}$

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2. 命题“ $\exists x_{0} \in R$ ， $x^{2} + 4 x + 5 > 0$ ”的否定是（）

A、 $\exists x_{0} \in R$ ， $x^{2} + 4 x + 5 > 0$ B、 $\exists x_{0} \in R$ ， $x^{2} + 4 x + 5 \leq 0$ C、 $\forall x \in R$ ， $x^{2} + 4 x + 5 > 0$ D、 $\forall x \in R$ ， $x^{2} + 4 x + 5 \leq 0$

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3. 已知双曲线的方程为 $\frac{y^{2}}{4} - \frac{x^{2}}{5} = 1$ ，则下列说法正确的是（）

A、焦点在 $x$ 轴上 B、渐近线方程为 $2 x \pm \sqrt{5} y = 0$ C、虚轴长为4 D、离心率为 $\frac{3}{5}$

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4. 设 $a$ ， $b$ 是实数，则“ $a + b > 0$ ”是“ $a b > 0$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件

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5. 已知 $a = \ln 2$ ， $b = \log_{0.2} 2$ ， $c = 2^{0.1}$ ，则（）

A、 $a < b < c$ B、 $b < c < a$ C、 $b < a < c$ D、 $a < c < b$

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6. 已知数列 ${a_{n}}$ 中 $a_{1} = - 1, a_{n + 1} a_{n} = a_{n + 1} - a_{n}$ ，则 $a_{100} =$ （）

A、 $\frac{1}{100}$ B、 $- \frac{1}{100}$ C、100 D、-100

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7. 记 $S_{n}$ 为等差数列 ${a_{n}}$ 的前n项和．已知 $S_{4} = 0 ， a_{5} = 5$ ，则（）

A、 $a_{n} = 2 n - 5$ B、 $a_{n} = 3 n - 10$ C、 $S_{n} = 2 n^{2} - 8 n$ D、 $S_{n} = \frac{1}{2} n^{2} - 2 n$

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8. 已知向量 $\overset{⇀}{a}$ ， $\overset{⇀}{b}$ 满足 $| \vec{a} | = 1$ ， $| \overset{⇀}{b} | = 2$ ， $\overset{⇀}{a}$ ， $\overset{⇀}{b}$ 的夹角是 $120 °$ ，则 $| 3 \vec{a} - \vec{b} | =$ （）

A、 $2 \sqrt{3}$ B、 $\sqrt{19}$ C、2 D、1

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9. 若 $m n \neq 0$ ，则方程 $m x - y + n = 0$ 与 $n x^{2} + m y^{2} = m n$ 所表示的曲线可能是图中的（）

A、 B、 C、 D、

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10. 已知函数 $f (x) = 2 \sin x \sin (x + 3 φ)$ 是奇函数，其中 $φ \in (0, \frac{π}{2})$ ，则函数 $g (x) = \cos (2 x - φ)$ 的图象（）

A、关于轴 $x = \frac{π}{12}$ 对称 B、关于点 $(- \frac{5}{12} π, 0)$ 对称 C、可由函数 $f (x)$ 的图象向右平移 $\frac{π}{6}$ 个单位得到 D、可由函数 $f (x)$ 的图象向左平移 $\frac{π}{3}$ 个单位得到

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11. 已知 $F_{1}, F_{2}$ 是两个定点，点 $P$ 是以 $F_{1}$ 和 $F_{2}$ 为公共焦点的椭圆和双曲线的一个交点，且 $P F_{1} ⊥ P F_{2}$ ，记 $e_{1}$ 和 $e_{2}$ 分别是上述椭圆和双曲线的离心率，则有（）

A、 $e_{1}^{2} + e_{2}^{2} = 2$ B、 $e_{1}^{2} + e_{2}^{2} = 4$ C、 $\frac{1}{e_{1}^{2}} + \frac{1}{e_{2}^{2}} = 4$ D、 $\frac{1}{e_{1}^{2}} + \frac{1}{e_{2}^{2}} = 2$

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12. 已知球 $O$ 是三棱锥 $P - A B C$ 的外接球， $P A = A B = P B = 2$ ， $A C = 4$ ， $C P = 2 \sqrt{5}$ ，点 $D$ 是 $P B$ 的中点，且 $C D = \sqrt{19}$ ，则球 $O$ 的体积为（）

A、 $\frac{28 π}{3}$ B、 $\frac{28 \sqrt{21} π}{27}$ C、 $\frac{14 π}{3}$ D、 $\frac{256 \sqrt{3}}{27} π$

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二、填空题

13. 从2名男同学和1名女同学中任选2名同学参加社区服务，则选中的2人恰好是1名男同学和1名女同学的概率是．

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14. 若圆 $x^{2} + y^{2} = 4$ 上恰有3个点到直线 $l : x - y + b = 0$ 的距离为1，则 $b =$ ．

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15. 设双曲线 $\frac{x^{2}}{m} + \frac{y^{2}}{n} = 1$ 的离心率为2，且一个焦点与抛物线 $x^{2} = 16 y$ 的焦点相同，则此双曲线的方程是．

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16. 若点P在曲线C₁： $\frac{x^{2}}{16} - \frac{y^{2}}{9} = 1$ 上，点Q在曲线C₂：(x－5)²＋y²＝1上，点R在曲线C₃：(x＋5)²＋y²＝1上，则|PQ|－|PR| 的最大值是．

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三、解答题

17. 已知 $m \in R, m \neq 0$ 且 $m \neq 1$ ，命题 $p$ ：直线 $y = x + m$ 与抛物线 $y^{2} = 2 x$ 有交点，命题 $q$ ：曲线 $\frac{x^{2}}{m} + \frac{y^{2}}{m - 1} = 1$ 表示双曲线．

(1)、若命题 $p$ 为真命题，求 $m$ 的取值范围；

(2)、若命题 $p$ 和命题 $q$ 一真一假，求 $m$ 的取值范围．

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18. $△ A B C$ 的内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，设 ${(\sin B + \sin C)}^{2} = \sin^{2} A + \sin B \sin C$ .

(1)、求 $A$ ；

(2)、若 $\sqrt{3} b + \sqrt{3} c = 2 a$ ，求 $\sin C$ .

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19. 某单位共有10名员工，他们某年的收入如下表：

员工编号	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
年薪（万元）	4	4.5	6	5	6.5	7.5	8	8.5	9	51

附：线性回归方程 $\hat{y} = \hat{b} x + \hat{a}$ 中系数计算公式分别为： $\hat{b} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}}$ ， $\hat{a} = \bar{y} - \hat{b} \bar{x}$ ，其中 $\bar{x}$ 、 $\bar{y}$ 为样本均值.

(1)、求该单位员工当年年薪的平均值和中位数；

(2)、已知员工年薪收入与工作年限成正相关关系，某员工工作第一年至第四年的年薪分别为4万元、5.5万元、6万元、8.5万元，预测该员工第六年的年薪为多少？

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20. 已知数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{1} = 2$ ， $a_{2} = 3$ ，其前 $n$ 项和 $S_{n}$ 满足 $S_{n + 1} - 2 S_{n} + S_{n - 1} = 1 (n ⩾ 2, n \in N^{+})$ .

(1)、求证：数列 ${a_{n}}$ 为等差数列，并求 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、设 $b_{n} = 4^{n} \cdot a_{n}$ ，求数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ .

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21. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $P A ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $A D // B C ， A D ⊥ C D$ ，且 $A D = C D = \sqrt{2}$ ， $B C = 2 \sqrt{2}$ ， $P A = 2$ ．

(1)、求证： $A B ⊥ P C$ ；

(2)、在线段 $P D$ 上，是否存在一点 $M$ ，使得二面角 $M - A C - D$ 的大小为45°，如果存在，求 $A M$ 与平面 $M B C$ 所成角的正弦值，如果不存在，请说明理由．

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22. 已知动圆 $C$ 过定点 $F_{2} (2 ， 0)$ ，并且内切于定圆 $F_{1} ： {(x + 2)}^{2} + y^{2} = 36$ .

(1)、求动圆圆心 $C$ 的轨迹方程；

(2)、若 $y^{2} = 8 x$ 上存在两个点 $M$ ， $N$ ，（1）中曲线上有两个点 $P$ ， $Q$ ，并且 $M$ ， $N$ ， $F_{2}$ 三点共线， $P$ ， $Q$ ， $F_{2}$ 三点共线， $P Q ⊥ M N$ ，求四边形 $P M Q N$ 的面积的最小值.

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