湖北省襄阳市四校2019-2020学年高二上学期数学期中考试试卷

试卷更新日期：2020-10-13 类型：期中考试

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一、单选题

1. 过两点 $A (1, y), B (2, - 3)$ 的直线的倾斜角是 $135 °$ ，则 $y$ 的值为（）

A、2 B、-2 C、-5 D、5

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2. 设 $m, n, q$ 是不同的直线， $α, β$ 是两个不同的平面. 下列命题中正确的是（）

A、若 $m ⊥ α, m / / n, n / / β$ ，则 $α ⊥ β$ B、若 $α ⊥ β, m \subset α, n \subset β$ ，则 $m ⊥ n$ C、 $m, n \subset α, q ⊥ m, q ⊥ n$ ，则 $q ⊥ α$ D、若 $α / / β, m \subset α, n \subset β$ ，则 $m / / n$

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3. 若直线 $l_{1} : a x + y - 1 = 0$ 与直线 $l_{2} : x + a y + 1 = 0$ 平行，则两平行线间的距离为（）

A、1 B、 $\sqrt{2}$ C、2 D、 $2 \sqrt{2}$

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4. 向量 $\overset{⇀}{a} = (2, 1, x), \overset{⇀}{b} = (2, y, - 1)$ ，若 $| \overset{⇀}{a} | = \sqrt{5}$ ，且 $\overset{⇀}{a} ⊥ \overset{⇀}{b}$ ，则 $x + y$ 的值为（）

A、-1 B、1 C、-4 D、4

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5. 在一个平面上，机器人到与点 $C (3 ， - 3)$ 的距离为8的地方绕 $C$ 点顺时针而行，它在行进过程中到经过点 $A (- 10 ， 0)$ 与 $B (0 ， 10)$ 的直线的最近距离为（）

A、 $8 \sqrt{2} - 8$ B、 $8 \sqrt{2} + 8$ C、 $8 \sqrt{2}$ D、 $12 \sqrt{2}$

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6. 圆 $A$ 的半径为4，圆心为 $A (- 1 ， 0) ， B (1 ， 0)$ 是圆 $A$ 内一个定点， $P$ 是圆上任意一点，线段 $B P$ 的垂直平分线与半径 $A P$ 相交于点 $Q$ ，当点 $P$ 在圆上运动时，点 $Q$ 的轨迹方程为（）

A、 $\frac{x^{2}}{3} + \frac{y^{2}}{4} = 1$ B、 $x^{2} + y^{2} = 16$ C、 $\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{3} = 1$ D、 ${(x + 1)}^{2} + y^{2} = 16$

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7. 在长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A B = B C = 1$ ， $A A_{1} = \sqrt{3}$ ，则异面直线 $A D_{1}$ 与 $D B_{1}$ 所成角的余弦值为（）

A、 $\frac{1}{5}$ B、 $\frac{\sqrt{5}}{6}$ C、 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ D、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$

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8. 已知圆 $C ： {(x - 6)}^{2} + {(y - 8)}^{2} = 1$ 和两点 $A (- m ， 0) ， B (m ， 0) (m > 0)$ ，若圆 $C$ 上存在点 $P$ ，使得 $∠ A P B = 90 °$ ，则 $m$ 的最大值为（）

A、8 B、9 C、10 D、11

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9. 已知向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ ， $\vec{c}$ 是空间的一个单位正交基底，向量 $\vec{a} + \vec{b}$ ， $\vec{a} - \vec{b}$ ， $\vec{c}$ 是空间的另一个基底，若向量 $\vec{p}$ 在基底 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ ， $\vec{c}$ 下的坐标为（3，2，1），则它在 $\vec{a} + \vec{b}$ ， $\vec{a} - \vec{b}$ ， $\vec{c}$ 下的坐标为（）

A、 $(\frac{1}{2} ， \frac{5}{2} ， 1)$ B、 $(\frac{5}{2} ， 1 ， \frac{1}{2})$ C、 $(1 ， \frac{1}{2} ， \frac{5}{2})$ D、 $(\frac{5}{2} ， \frac{1}{2} ， 1)$

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10. 已知 $A (4 ， 0) ， B (0 ， 4)$ ，从点 $P (1 ， 0)$ 射出的光线被直线 $A B$ 反射后，再射到直线 $O B$ 上，最后经 $O B$ 反射后回到 $P$ 点，则光线所经过的路程是（）

A、 $\sqrt{34}$ B、6 C、 $3 \sqrt{3}$ D、 $2 \sqrt{5}$

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11. 已知点 $P (3, 1)$ 在椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 上，点 $M (a, b)$ 为平面上一点， $O$ 为坐标原点，则当 $| O M |$ 取最小值时，椭圆的离心率为（）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{6}}{3}$

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12. 已知圆 $C : x^{2} + y^{2} = 1$ ，点 $P$ 为直线 $l : x + y - 4 = 0$ 上一动点，过点 $P$ 向圆 $C$ 引两条切线 $P A, P B$ ， $A, B$ 为切点，则直线 $A B$ 经过定点（）

A、 $(\frac{1}{2}, \frac{1}{2})$ B、 $(\frac{1}{4}, \frac{1}{2})$ C、 $(\frac{1}{4}, \frac{1}{4})$ D、 $(0, \frac{1}{4})$

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二、填空题

13. 一个结晶体的形状为平行六面体，以同一个顶点为端点的三条棱长均为6，且它们彼此的夹角均为 $60 °$ ，则以这个顶点为端点的晶体的对角线长为.

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14. 椭圆 $\frac{x^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{4} = 1$ 的左右焦点分别为 $F_{1}, F_{2}$ ，点 $P$ 在椭圆上，若 $| P F_{1} | = 4$ ，则 $∠ F_{1} P F_{2} =$ .

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15. 直线 $y = k (x - 2) + 4$ 与曲线 $y = 1 + \sqrt{4 - x^{2}}$ 仅有一个公共点，则实数的 $k$ 的取值范围是.

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16. 在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $E ， F$ 分别为棱 $A A_{1}$ 、 $B B_{1}$ 的中点， $M$ 为棱 $A_{1} B_{1}$ （含端点）上的任一点，则直线 $M E$ 与平面 $D_{1} E F$ 所成角的正弦值的最小值为.

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三、解答题

17. 若直线 $l$ 的方程为 $a x + 2 y - a - 2 = 0 (a \in R)$ .

(1)、若直线 $l$ 与直线 $m : 2 x - y = 0$ 垂直，求 $a$ 的值；

(2)、若直线 $l$ 在两轴上的截距相等，求该直线的方程.

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18. 椭圆 $C$ 的中心在坐标原点，焦点在 $x$ 轴上，已知其短半轴长为1，半焦距为1，直线 $l : x + y - 2 \sqrt{3} = 0$ .

(1)、求椭圆 $C$ 的方程；

(2)、椭圆 $C$ 上是否存在一点，它到直线 $l$ 的距离最小，最小距离是多少？

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19. 阿波罗尼斯（约公元前262-190年）证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数 $k (k > 0, k \neq 1)$ 的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆. 若平面内两定点 $O (0, 0), A (3, 0)$ ，动点 $P$ 满足 $\frac{| P O |}{| P A |} = \frac{1}{2}$ .

(1)、求点 $P$ 的轨迹方程；

(2)、求 $P O^{2} + P A^{2}$ 的最大值.

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20. 设圆 $C$ 的圆心在 $x$ 轴的正半轴上，与 $y$ 轴相交于点 $A (0, \sqrt{6})$ ，且直线 $y = x$ 被圆 $C$ 截得的弦长为 $4 \sqrt{2}$ .

(1)、求圆 $C$ 的标准方程；

(2)、设直线 $y = - x + m$ 与圆 $C$ 交于 $M, N$ 两点，那么以 $M N$ 为直径的圆能否经过原点，若能，请求出直线 $M N$ 的方程；若不能，请说明理由.

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21. 如图，在四棱锥 $S - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 是直角梯形，侧棱 $S A ⊥$ 底面 $A B C D$ ， $A B$ 垂直于 $A D$ 和 $B C$ ， $M$ 为棱 $S B$ 上的点， $S A = A B = \sqrt{3} ， B C = 2 ， A D = 1$ .

(1)、若 $M$ 为棱 $S B$ 的中点，求证： $A M / /$ 平面 $S C D$ ；

(2)、当 $S M = M B ， D N = 3 N C$ 时，求平面 $A M N$ 与平面 $S A B$ 所成的锐二面角的余弦值.

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22. 已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左右焦点分别为 $F_{1}, F_{2}$ ，上顶点为 $P$ ，右顶点为 $Q$ ，直线 $P Q$ 与圆 $x^{2} + y^{2} = \frac{4}{5}$ 相切于点 $M (\frac{2}{5}, \frac{4}{5})$ .

(1)、求椭圆 $C$ 的方程.

(2)、过点 $F$ 作一条斜率存在的直线 $l$ 与椭圆 $C$ 相交于 $A, B$ 两点，求 $Δ A B F_{2}$ 的面积的最大值.

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