湖北省鄂州市部分高中联考协作体2019-2020学年高二上学期数学期中考试试卷

试卷更新日期：2020-10-13 类型：期中考试

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一、单选题

1. 命题 $\forall x \in R$ ， $x^{2} ＋ x \geq 0$ 的否定是（）

A、 $\exists x_{0} \in R$ ， $x_{0}^{2} + x_{0} \leq 0$ B、 $\forall x \in R$ ， $x^{2} ＋ x < 0$ C、 $\forall x \in R$ ， $x^{2} ＋ x \leq 0$ D、 $\exists x_{0} \in R$ ， $x_{0}^{2} + x_{0} < 0$

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2. 若数列 ${a_{n}}$ 是等差数列且 $a_{n} > 0$ ，设其前 $n$ 项和为 $S_{n}$ .若 $a_{1} + a_{9} = a_{5}^{2}$ ，则 $S_{9} =$ （）

A、36 B、18 C、27 D、9

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3. 学校小卖部为了研究气温对饮料销售的影响，经过统计，得到一个卖出饮料数与当天气温的对比表：

摄氏温度

－1

3

8

12

17

饮料瓶数

3

40

52

72

122

根据上表可得回归方程 $\hat{y} = \hat{b} x + \hat{a}$ 中的 $\hat{b}$ 为6，据此模型预测气温为30℃时销售饮料瓶数为（）

A、141 B、191 C、211 D、241

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4. 若当方程 $x^{2} + y^{2} + k x + 2 y + k^{2} = 0$ 所表示的圆取得最大面积时，则直线 $y = (k - 1) x + 2$ 的倾斜角 $α =$ （）．

A、 $\frac{3 π}{4}$ B、 $\frac{π}{4}$ C、 $\frac{3 π}{2}$ D、 $\frac{5 π}{4}$

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5. 已知 $m$ , $n$ 为两个非零向量，则“ $m \cdot n < 0$ ”是“ $m$ 与 $n$ 的夹角为钝角”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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6. 等比数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{2} = 2, a_{4} = 8, a_{n} > 0$ ，则数列 ${\log_{2} a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为（）

A、 $\frac{{(n - 1)}^{2}}{2}$ B、 $\frac{n (n - 1)}{2}$ C、 $\frac{{(n + 1)}^{2}}{2}$ D、 $\frac{n (n + 1)}{2}$

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7. 如图所示，已知三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 的所有棱长均为1，且 $A A_{1} ⊥$ 底面 $A B C$ ，则三棱锥 $B_{1} - A B C_{1}$ 的体积为（）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{4}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{12}$ C、 $\frac{\sqrt{6}}{12}$ D、 $\frac{\sqrt{6}}{4}$

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8. 在我国古代数学名著九章算术中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑，如图，在鳖臑 $A B C D$ 中， $A B ⊥$ 平面 $B C D$ ，且 $A B = B C = C D$ ，则异面直线 $A C$ 与 $B D$ 所成角的余弦值为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $- \frac{1}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ D、 $- \frac{\sqrt{3}}{2}$

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9. 一个均匀的正方体玩具的各个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6.将这个玩具向上抛掷一次，设事件 $A$ 表示向上的一面出现奇数点，事件 $B$ 表示向上的一面出现的点数不超过3，事件 $C$ 表示向上的一面出现的点数不小于4，则（）

A、 $A$ 与 $B$ 是互斥而非对立事件 B、 $A$ 与 $B$ 是对立事件 C、 $B$ 与 $C$ 是互斥而非对立事件 D、 $B$ 与 $C$ 是对立事件

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10. 自圆 $C$ ： ${(x - 3)}^{2} + {(y + 4)}^{2} = 4$ 外一点 $P (x, y)$ 引该圆的一条切线，切点为 $Q$ ，切线的长度等于点 $P$ 到原点 $O$ 的长，则点 $P$ 轨迹方程为（）

A、 $8 x - 6 y - 21 = 0$ B、 $8 x + 6 y - 21 = 0$ C、 $6 x + 8 y - 21 = 0$ D、 $6 x - 8 y - 21 = 0$

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11. 已知等腰直角三角形 $A B C$ 中， $∠ C = \frac{π}{2}$ ， $C A = 2 \sqrt{2}$ ， $D$ 为 $A B$ 的中点，将它沿 $C D$ 翻折，使点 $A$ 与点 $B$ 间的距离为 $2 \sqrt{2}$ ，此时三棱锥 $C - A B D$ 的外接球的表面积为（）

A、 $12 π$ B、 $4 \sqrt{3} π$ C、 $3 π$ D、 $5 π$

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12. 定义：在数列 ${a_{n}}$ 中，若满足 $\frac{a_{n + 2}}{a_{n + 1}} - \frac{a_{n + 1}}{a_{n}} = d$ （ $n \in N^{*}$ ， $d$ 为常数），称 ${a_{n}}$ 为“等差比数列”.已知在“等差比数列” ${a_{n}}$ 中， $a_{1} ＝ a_{2} ＝ 1$ ， $a_{3} ＝ 3$ ，则 $\frac{a_{2020}}{a_{2018}}$ 等于（）

A、 $4 \times 2019^{2} - 1$ B、 $4 \times 2018^{2} - 1$ C、 $4 \times 2017^{2} - 1$ D、 $4 \times 2017^{2}$

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二、填空题

13. 从集合A={-1，1，2}中随机选取一个数记为k ，从集合B={-2，1，2}中随机选取一个数记为b ，则直线y=kx+b不经过第三象限的概率为.

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14. 过点 $P (4, 1)$ 作直线 $l$ 分别交 $x$ 轴， $y$ 轴正半轴于 $A$ ， $B$ 两点， $O$ 为坐标原点.当 $| O A | ＋ | O B |$ 取最小值时，直线 $l$ 的方程为.

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15. 设数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} ＝ 1$ ，且 $a_{n}_{＋ 1} － a_{n} ＝ n ＋ 1$ （ $n \in N^{*}$ ），则数列 ${\frac{1}{a_{n}}}$ 前2019项的和为.

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16. 给出下面四个命题：
①“直线 $l ⊥$ 平面 $α$ 内所有直线”的充要条件是“ $l ⊥$ 平面 $α$ ”；

②“直线 $a / /$ 直线 $b$ ”的充要条件是“ $a$ 平行于 $b$ 所在的平面”；

③“直线 $a$ ， $b$ 为异面直线”的充分不必要条件是“直线 $a$ ， $b$ 不相交”；

④“平面 $α / /$ 平面 $β$ ”的必要不充分条件是“ $α$ 内存在不共线三点到 $β$ 的距离相等”.

其中正确命题的序号是

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三、解答题

17. 已知公差 $d \neq 0$ 的等差数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} = 1$ ，且 $f (x) = a x^{2} + (b - 2) x + 3 (a \neq 0)$ 成等比数列.

(1)、求 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、若 $S_{n}$ 是 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和，求数列 ${\frac{1}{S_{n}}}$ 的前n项和 $T_{n}$ .

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18. 已知命题：“ $\exists x \in {x | - 1 < x < 1}$ ，使等式 $2 x^{2} - x - m = 0$ 成立”是真命题.

(1)、求实数 $m$ 的取值集合 $M$ ；

(2)、设不等式 $(x - a) (x + a - 2) < 0$ 的解集为 $N$ ，若 $x \in N$ 是 $x \in M$ 的必要条件，求 $a$ 的取值范围.

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19. 某校命制了一套调查问卷（试卷满分均为100分），并对整个学校的学生进行了测试.现从这些学生的成绩中随机抽取了50名学生的成绩，按照 $[50 ， 60) ， [60 ， 70) ， \cdot \cdot \cdot ， [90 ， 100]$ 分成5组，制成了如图所示的频率分布直方图（假定每名学生的成绩均不低于50分）.

(1)、求频率分布直方图中x的值，并估计所抽取的50名学生成绩的平均数、中位数（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）；

(2)、用样本估计总体，若该校共有2000名学生，试估计该校这次测试成绩不低于70分的人数；

(3)、若利用分层抽样的方法从样本中成绩不低于70分的学生中抽取6人，再从这6人中随机抽取3人，试求成绩在 $[80 ， 100]$ 的学生至少有1人被抽到的概率.

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20. 如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是菱形，∠BAD＝60°，PA＝PD＝AD＝2，点M在线段PC上，且PM＝2MC，N为AD的中点．

(1)、求证：AD⊥平面PNB；

(2)、若平面PAD⊥平面ABCD，求三棱锥PNBM的体积．

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21. 如图，在平面直角坐标系 $x o y$ 中，点 $A (0 ， 3)$ ，直线 $l ： y = 2 x - 4$ ，设圆 $C$ 的半径为1，圆心在 $l$ 上.

(1)、若圆心 $C$ 也在直线 $y = x - 1$ 上，过点 $A$ 作圆 $C$ 的切线，求切线方程；

(2)、若圆 $C$ 上存在点 $M$ ，使 $M A = 2 M O$ ，求圆心 $C$ 的横坐标 $a$ 的取值范围.

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22. 在数列 ${a_{n}}$ 中， $S_{n}$ 为 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和， $2 S_{n} + 2 n = 3 a_{n} (n \in N^{*})$ .

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、设 $b_{n} = \frac{1 + a_{n}}{a_{n} \cdot a_{n}_{+ 1}}$ ，数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $T_{n}$ ，证明 $T_{n} < \frac{1}{4}$ .

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摄氏温度	－1	3	8	12	17
饮料瓶数	3	40	52	72	122