北京市丰台区2019-2020学年高二上学期数学期中考试试卷

试卷更新日期：2020-10-12 类型：期中考试

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一、单选题

1. 已知命题 $p ： \exists x \in R ， x^{2} + 2 \geq 0$ ，则命题 $p$ 的否定是（）

A、 $\exists x \in R ， x^{2} + 2 \leq 0$ B、 $\forall x \in R ， x^{2} + 2 \geq 0$ C、 $\exists x \in R ， x^{2} + 2 < 0$ D、 $\forall x \in R ， x^{2} + 2 < 0$

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2. 已知 $a > b > 0$ ，则下列不等式中正确的是（）

A、 $| a | < | b |$ B、 $\frac{1}{a} < \frac{1}{b}$ C、 $- a > - b$ D、 $a^{2} < b^{2}$

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3. 已知 $a ， b \in R^{+}$ ，且 $a b = 2$ ，那么下列结论一定成立的是（）

A、 $a + b \geq 4$ B、 $a + b \leq 4$ C、 $a^{2} + b^{2} \geq 4$ D、 $a^{2} + b^{2} \leq 4$

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4. “ $a < 5$ ”是“ $a < 3$ ”的（）

A、充分而不必要条件 B、必要而不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件

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5. 设等比数列{a_n}的前 n 项和为S_n ，且S₃=7a₁ ，则数列{a_n}的公比q的值为（）

A、2或-3 B、2或3 C、2 D、3

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6. 若函数 $f (x) = s i n x + \frac{1}{x}$ ，则 $f (x)$ 的导函数 $f' (x) =$ （）

A、 $- \cos x + x^{- 2}$ B、 $- \cos x - x^{- 2}$ C、 $x o s x + x^{- 2}$ D、 $\cos x - x^{- 2}$

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7. 已知函数 $f (x) = x \ln x$ 的导函数为 $f^{'} (x)$ ，若 $f^{'} (x_{0}) = 1$ ，则 $x_{0}$ 的值为（）

A、1 B、2 C、 $e$ D、 $0$

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8. 已知函数 $f (x)$ 的导函数 $f^{'} (x)$ 的图象如图所示，则关于 $f (x)$ 的结论正确的是（）

A、在区间 $(- 2 ， 2)$ 上为减函数 B、在 $x = - 2$ 处取得极小值 C、在区间 $(- \infty ， - 2)$ ， $(2 ， + \infty)$ 上为增函数 D、在 $x = 0$ 处取得极大值

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9. 化简式子 $\frac{1}{1 \times 2} + \frac{1}{2 \times 3} + \frac{1}{3 \times 4} + \frac{1}{4 \times 5} + \dots + \frac{1}{n (n + 1)} =$ （）

A、 $\frac{1}{n + 1}$ B、 $\frac{n - 1}{n + 1}$ C、 $\frac{n}{n + 1}$ D、 $\frac{n - 1}{n}$

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10. 已知函数 $y = f (x)$ 是可导函数.如图，直线 $y = k x + 2$ 是曲线 $y = f (x)$ 在 $(3 ， 1)$ 处的切线，令 $g (x) = \frac{f (x)}{x} ， g' (x)$ 是 $g (x)$ 的导函数，则 $g' (3) =$ （）

A、 $- \frac{2}{9}$ B、 $- \frac{1}{3}$ C、 $- \frac{2}{3}$ D、0

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二、填空题

11. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{n + 1} = 3 a_{n}$ ，且 $a_{1} = 1$ ，那么 $a_{4} =$ .

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12. 函数 $y = x + \frac{4}{x} + 2 (x > 0)$ 的最小值为．

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13. 已知函数 $f (x) = a l n x + x$ 在 $(0 ， 2)$ 上是减函数，在 $(2 ， + \infty)$ 上是增函数，那么 $a$ 的值为．

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14. 等差数列 ${a_{n}}$ 中，若 $a_{3} + a_{11} = 10$ ，则 $a_{6} + a_{7} + a_{8} =$ ．

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15. 若不等式 $a x^{2} + b x - 2 > 0$ 的解集是 $(- \infty ， - 2) \cup (1 ， + \infty)$ ，则 $a + b =$ ．

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三、双空题

16. 已知数列 ${a_{n}}$ 是公比为 $q$ 的等比数列， $S_{n}$ 是数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和．

(1)、如果 $a_{1} = \frac{1}{2} ， a_{4} = - 4$ ，那么 $q =$ ；

(2)、如果若干个能唯一确定一个数列的量称为该数列的“基本量”，在下列关于 ${a_{n}}$ 的三组量中，一定能成为数列 ${a_{n}}$ 的“基本量”的是. (写出所有符合要求的组号)
① $S_{1}$ 与 $a_{3}$ ；② $S_{2}$ 与 $S_{3}$ ；③ $q$ 与 $S_{3}$ ；

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四、解答题

17. 已知函数 $f (x) = \frac{1}{3} x^{3} - a x + 1 (a \in R) ， f^{'} (x)$ 是 $f (x)$ 的导函数，且 $f^{'} (2) = 0$ .
(I)求a的值；

(II)求函数 $f (x)$ 在区间 $[- 3 ， 3]$ 上的最值.

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18. 已知等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n} ， a_{1} + a_{5} = 0 ， a_{2} = 2$ .
(I)求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(II)求 $S_{n}$ 的最大值及相应的 $n$ 的值.

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19. 已知等差数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} + a_{2} = 10 ， a_{4} - a_{3} = 2$ .等比数列 ${b_{n}}$ 满足 $b_{2} = a_{3} ， b_{3} = a_{7}$ .
(I)求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(II)设 $c_{n} = a_{n} + b_{n}$ ，求数列 ${c_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ .

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20. 已知函数 $f (x) = e^{x} [x^{2} - (1 + a) x + 1] (a \in R)$ .
(I)若 $a = - 1$ 时，求曲线 $y = f (x)$ 在 $(0 ， f (0))$ 处的切线方程；

(II)求函数 $f (x)$ 的单调区间.

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