江苏省扬州市邗江区2019-2020学年高二上学期数学期中考试试卷

试卷更新日期：2020-10-12 类型：期中考试

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一、单选题

1. 设S_n是等差数列{a_n}的前n项和，若a₁+a₃+a₅=3，则S₅=（）

A、5 B、7 C、9 D、11

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2. 若a<b<0，则下列不等式中成立的是（）

A、 $\frac{1}{a} < \frac{1}{b}$ B、 $\frac{1}{a - b} > \frac{1}{a}$ C、|a|>|b| D、a²<b²

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3. 等比数列a_n中，a₁=2，q=2，S_n=126，则n=（）

A、9 B、8 C、7 D、6

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4. 不等式 $\frac{x - 1}{x} \geq 2$ 的解集为（）

A、 $[- 1 ， 0)$ B、 $[1 ， + \infty)$ C、 $(- \infty ， - 1]$ D、 $(- \infty ， - 1] \cup (0 ， + \infty)$

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5. “4＜k＜10”是“方程 $\frac{x^{2}}{k - 4}$ + $\frac{y^{2}}{10 - k}$ =1表示焦点在x轴上的椭圆”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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6. 不等式ax²+bx+1＞0的解集是 $(- \frac{1}{2} ， \frac{1}{3})$ ，则a+b的值是（）

A、5 B、-5 C、-7 D、7

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7. 椭圆 $\frac{x^{2}}{16} + \frac{y^{2}}{m} = 1$ 的焦距为 $2 \sqrt{7}$ ，则m的值为（）

A、9 B、23 C、9或23 D、 $16 - \sqrt{7}$ 或 $16 + \sqrt{7}$

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8. 数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ， $S_{n} = 2 a_{n} - 4, n \in N^{*}$ ，则 $a_{n} =$ （）

A、 $2^{n + 1}$ B、 $2^{n}$ C、 $2^{n - 1}$ D、 $2^{n - 2}$

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9. 已知 $x > 0$ ， $y > 0$ ，若 $\frac{2 y}{x} + \frac{8 x}{y} > m^{2} + 2 m$ 恒成立，则实数 $m$ 的取值范围是（）

A、 $m \geq 4$ 或 $m \leq - 2$ B、 $m \geq 2$ 或 $m \leq - 4$ C、 $- 4 < m < 2$ D、 $- 2 < m < 4$

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10. 已知椭圆 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{4} = 1 (a > 2)$ ，直线 $l : y = x - 2$ 过 $C$ 的一个焦点，则 $C$ 的离心率为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ D、 $\frac{2 \sqrt{2}}{3}$

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11. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} = 33, a_{n + 1} - a_{n} = 2 n$ ，则 $\frac{a_{n}}{n}$ 的最小值为（）

A、 $2 \sqrt{33} - 1$ B、 $\frac{53}{5}$ C、 $\frac{21}{2}$ D、 $\frac{23}{2}$

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12. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ， $a_{1} = 15$ ，且满足 $\frac{a_{n + 1}}{2 n - 3} = \frac{a_{n}}{2 n - 5} + 1$ ，已知 $n ， m \in N^{*}$ ， $n > m$ ，则 $S_{n} - S_{m}$ 的最小值为（）

A、-14 B、 $- \frac{49}{8}$ C、 $- \frac{49}{4}$ D、-28

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二、填空题

13. 命题“∃x＞1，使得x²≥2”的否定是．

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14. 如果椭圆 $\frac{x^{2}}{144}$ + $\frac{y^{2}}{36}$ =1上一点P到焦点F₁的距离等于10，那么点P到另一个焦点F₂的距离是．

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15. 已知数列1， $a_{1}, a_{2}, a_{3}$ ,9是等比数列，数列1, $b_{1}, b_{2}$ 9是等差数列，则 $\frac{a_{2}}{b_{1} + b_{2}}$ = ．

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16. 已知 $a, b \in R$ ， $a + b = 4$ ，则 $\frac{1}{a^{2} + 1} + \frac{1}{b^{2} + 1}$ 的最大值为．

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三、解答题

17.

(1)、m为何实数时，关于x的方程x²+（2m-4）x+m=0有两个不等实根？

(2)、设实数x满足x＞-1，求 $y = x + \frac{1}{x + 1}$ 的最小值，并求对应的x的值．

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18. 已知p：x²-7x+10＜0，q：x²-4mx+3m²＜0，其中m＞0．

(1)、若m=3，p和q都是真命题，求x的取值范围；

(2)、若p是q的充分不必要条件，求实数m的取值范围．

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19. 等差数列 ${a_{n}}$ 的各项均为正数， $a_{1} = 1$ ,前n项和为 $S_{n}$ ．等比数列 ${b_{n}}$ 中， $b_{1} = 1$ ，且 $b_{2} S_{2} = 6$ , $b_{2} + S_{3} = 8$ ．

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 与 ${b_{n}}$ 的通项公式；

(2)、求 $\frac{1}{S_{1}} + \frac{1}{S_{2}} + \dots + \frac{1}{S_{n}}$ ．

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20. 为迎接2018年省运会，宁德市某体育馆需要重新铺设塑胶跑道．已知每毫米厚的跑道的铺设成本为10万元，跑道平均每年的维护费C（单位：万元）与跑道厚度x（单位：毫米）的关系为C（x）= $\frac{k}{x - 6}$ ，x∈[10，15]．若跑道厚度为10毫米，则平均每年的维护费需要9万元．设总费用f（x）为跑道铺设费用与10年维护费之和．

(1)、求k的值与总费用f（x）的表达式；

(2)、塑胶跑道铺设多厚时，总费用f（x）最小，并求最小值．

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21. 在平面直角坐标系xOy 中，椭圆G的中心为坐标原点，左焦点为F₁（﹣1，0），离心率e= $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ．

(1)、求椭圆G 的标准方程；

(2)、已知直线l₁：y=kx+m₁与椭圆G交于 A，B两点，直线l₂：y=kx+m₂（m₁≠m₂）与椭圆G交于C，D两点，且|AB|=|CD|，如图所示．
①证明：m₁+m₂=0；
②求四边形ABCD 的面积S 的最大值．

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22. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ , $S_{n} = 2 a_{n} - 3 n$ （n∈N^*）．

(1)、证明数列 ${a_{n} + 3}$ 是等比数列，求出数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、设 $b_{n} = \frac{n}{3} a_{n}$ ，求数列 ${b_{n}}$ 的前n项和 $T_{n}$ ；

(3)、数列 ${a_{n}}$ 中是否存在三项，它们可以构成等差数列？若存在，求出一组符合条件的项；若不存在，说明理由.

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