江苏省徐州市铜山区2019-2020学年高二上学期数学期中考试试卷

试卷更新日期：2020-10-10 类型：期中考试

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一、单选题

1. 设 $x$ $\in$ R，则“ $x$ ＞1”是“ $x^{2}$ ＞1”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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2. 若数列的前 $4$ 项分别是 $- \frac{1}{2}$ 、 $\frac{1}{3}$ 、 $- \frac{1}{4}$ 、 $\frac{1}{5}$ ，则此数列一个通项公式为（）

A、 $\frac{{(- 1)}^{n}}{n + 1}$ B、 $\frac{{(- 1)}^{n}}{n}$ C、 $\frac{{(- 1)}^{n + 1}}{n + 1}$ D、 $\frac{{(- 1)}^{n - 1}}{n}$

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3. 在等差数列 ${a_{n}}$ 中，若 $a_{3} = 2$ ， $a_{6} = 4$ ，则等差数列 ${a_{n}}$ 的公差 $d =$ （）

A、 $\frac{3}{2}$ B、1 C、 $\frac{2}{3}$ D、 $\frac{1}{3}$

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4. 已知等比数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{4} = 27$ ，公比 $q = - 3$ ，则 $a_{1} =$ （）

A、1 B、-1 C、3 D、-3

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5. 已知 $x > 1$ ， $y = x + \frac{1}{x - 1}$ ，则 $y$ 的最小值是（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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6. 已知命题 $p : x > m$ ， $q : 2 + x - x^{2} < 0$ ，如果命题 $p$ 是命题 $q$ 的充分不必要条件，则实数 $m$ 的取值范围是（）

A、 $(- \infty, - 1]$ B、 $(2, + \infty)$ C、 $[1, + \infty)$ D、 $[2, + \infty)$

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7. 在等比数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{3} = \frac{3}{2}$ ， $S_{3} = \frac{9}{2}$ ，则 $a_{1} =$ （）

A、 $\frac{3}{2}$ 或6 B、3 C、 $\frac{3}{2}$ 或3 D、6

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8. 设a，b，c为实数，且a>b>0，则下列不等式正确的是（）

A、 $a c^{2} > b c^{2}$ B、 $\frac{1}{a} < \frac{1}{b}$ C、 $\frac{b}{a} > \frac{a}{b}$ D、 $a^{2} < a b$

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9. 我国古代用诗歌的形式提出一个数列问题：“远望巍巍塔七层，红灯向下成倍增，共有三百八十一，试问塔顶几盏灯？”，请问塔顶一共（）盏灯.

A、4 B、3 C、6 D、2

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10. 观察下列一组数据
$a_{1} = 1$

$a_{2} = 3 + 5$

$a_{3} = 7 + 9 + 11$

$a_{4} = 13 + 15 + 17 + 19$

…

则 $a_{20}$ 从左到右第一个数是（）

A、379 B、383 C、381 D、377

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11. 等差数列 ${a_{n}}$ 中， $S_{n}$ 为它的前 $n$ 项和，若 $a_{1} > 0$ ， $S_{20} > 0$ ， $S_{21} < 0$ ，则当 $n =$ （）时， $S_{n}$ 最大.

A、8 B、9 C、10 D、11

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12. 设函数 $f (x) = \frac{2}{2^{x} + 1}$ ，利用课本（苏教版必修 $5$ ）中推导等差数列前 $n$ 项和的方法，求得 $f (- 5) + f (- 4) + \cdot \cdot \cdot + f (0) + \cdot \cdot \cdot + f (4) + f (5)$ 的值为（）

A、9 B、11 C、 $\frac{9}{2}$ D、 $\frac{11}{2}$

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二、填空题

13. 命题“ $\exists x > 0$ ， $2 x - 1 < 0$ .”的否定是.

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14. 不等式 $2 x^{2} - k x + k > 0$ 对于任意的实数 $x$ 恒成立，则实数 $k$ 的取值范围是.

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15. 数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} = 1$ ，且 $a_{n + 1} - a_{n} = n + 1 (n \in N_{+})$ ，则数列 ${\frac{1}{a_{n}}}$ 的前 $n$ 项和为 .

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16. 已知正数 $a$ 、 $b$ 满足 $a + b = 2$ ，则 $\frac{a}{a + 1} + \frac{b}{b + 2}$ 的最大值为.

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三、解答题

17. 解下列不等式：

(1)、 $(1 - x) (x + 2) > - 4$ ；

(2)、 $\frac{2 x + 1}{x - 3} \geq 1$ .

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18. 已知等差数列 ${a_{n}}$ 前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $S_{2} = - 18$ ， $S_{11} = 0$ .

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、若 $b_{n} = \frac{S_{n}}{n}$ ，求证：数列 ${b_{n}}$ 是等差数列.

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19. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ， $S_{n} = 2 a_{n} - 1$ .

(1)、求 ${a_{n}}$ 的通项公式

(2)、若 $b_{n} = 2 n + 1$ ，求数列 ${a_{n} b_{n}}$ 的前 $n$ 项和.

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20. 某工厂生产某种产品的年固定成本为250万元，每生产x千件，需另投入成本为C(x)，当年产量不足80千件时，C(x)＝ $\frac{1}{3}$ x²＋10x(万元)．当年产量不小于80千件时，C(x)＝51x＋ $\frac{10000}{x}$ －1 450(万元)．每件商品售价为0.05万元．通过市场分析，该厂生产的商品能全部售完．

(1)、写出年利润L(x)(万元)关于年产量x(千件)的函数解析式；

(2)、当年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？

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21. 设函数 $f (x) = a x^{2} + (b - 2) x + 3 (a \neq 0)$ .

(1)、若不等式 $f (x) > 0$ 的解集为 $(- 3, 1)$ ，求 $a$ 、 $b$ 的值；

(2)、若b=-a，求不等式 $f (x) \leq 1$ 的解集.

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22. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，且满足 $S_{n} = n^{2} - 2 n + 1$ ，数列 ${b_{n}}$ 中， $b_{1} = \frac{a_{2}}{3 + a_{3}}$ ，对任意正整数 $n \geq 2$ ， $b_{n - 1} + b_{n} = {(\frac{1}{3})}^{n}$ .

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、是否存在实数 $μ$ ，使得数列 ${3^{n} b_{n} + μ}$ 是等比数列？若存在，请求出实数 $μ$ 及公比q的值，若不存在，请说明理由；

(3)、求数列 ${b_{n}}$ 前n项和 $T_{n}$ .

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