江苏省宿迁市沭阳县2019-2020学年高二上学期数学期中考试试卷

试卷更新日期：2020-10-10 类型：期中考试

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一、单选题

1. 数列 $\frac{1}{3}, \frac{2}{5}, \frac{3}{7}, \frac{4}{9}, \dots$ 的通项公式 $a_{n}$ 是（）

A、 $\frac{n}{2 n - 1}$ B、 $\frac{n}{2 n - 3}$ C、 $\frac{n}{2 n + 1}$ D、 $\frac{n}{2 n + 3}$

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2. 已知数据 $x_{1}, x_{2}, \dots, x_{10}$ 的均值为2，那么数据 $2 x_{1} + 3, 2 x_{2} + 3, \dots, 2 x_{10} + 3$ 的均值为（）

A、2 B、5 C、7 D、4

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3. 已知 $a < 0$ ， $b > 0$ ，那么下列不等式中一定成立的是（）

A、 $b - a < 0$ B、 $| a | > | b |$ C、 $a^{2} < a b$ D、 $\frac{1}{a} < \frac{1}{b}$

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4. 某市的A，B，C三个学校共有学生3000名，且这三个学校学生人数之比为3:3:4.如果用分层抽样的方法从所有学生中抽取1个容量为200的样本，那么学校C应抽取的学生数为（）

A、60 B、70 C、80 D、30

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5. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $S_{n} = 2 (a_{n} + 1)$ ，则 $a_{2}$ 的值为（）

A、-4 B、-2 C、-6 D、-8

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6. 已知各项为正数的等比数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{2} = 1$ ， $a_{4} a_{6} = 64$ ，则公比q＝（）

A、4 B、3 C、2 D、 $\sqrt{2}$

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7. 不等式 $a x^{2} + b x + 2 > 0$ 的解集是 ${x | - \frac{1}{2} < x < \frac{1}{3}}$ ，则a-b的值为（）

A、14 B、-14 C、10 D、-10

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8. 设 ${a_{n}}$ 是等比数列，有下列四个命题：
① $a_{n}^{2}$ 是等比数列；② $a_{n} a_{n + 1}$ 是等比数列；③ ${\frac{1}{a_{n}}}$ 是等比数列；④ $l g | a_{n} |$ 是等比数列.其中正确命题的个数是（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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9. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{n + 1} = \frac{1}{1 - a_{n}}$ ，若 $a_{1} = - \frac{1}{2}$ ，则 $a_{2019} =$ （）

A、-1 B、2 C、3 D、2019

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10. 若 $f (x) = x^{3} + 1, g (x) = x^{2} + x$ ，则 $x > - 1$ 时， $f (x)$ 与 $g (x)$ 的大小关系为（）

A、 $f (x) ⩾ g (x)$ B、 $f (x) ⩽ g (x)$ C、 $f (x) < g (x)$ D、随 $x$ 值变化而变化

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11. 放射性物质的半衰期 $T$ 定义为每经过时间 $T$ ，该物质的质量会衰退原来的一半，铅制容器中有两种放射性物质 $A$ ， $B$ ，开始记录时容器中物质 $A$ 的质量是物质 $B$ 的质量的2倍，而120小时后两种物质的质量相等，已知物质 $A$ 的半衰期为7.5小时，则物质 $B$ 的半衰期为（）

A、10 小时 B、8 小时 C、12 小时 D、15 小时

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12. 正数 $a ， b$ 满足 $2 a + b = 1$ ，且 $2 \sqrt{a b} - 4 a^{2} - b^{2} \leq t - \frac{1}{2}$ 恒成立，则实数 $t$ 的取值范围是（）

A、 $(- \infty ， \frac{\sqrt{2}}{2}]$ B、 $[\frac{\sqrt{2}}{2} ， + \infty)$ C、 $[- \frac{\sqrt{2}}{2} ， \frac{\sqrt{2}}{2}]$ D、 $[\frac{1}{2} ， + \infty)$

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二、填空题

13. 200辆汽车通过某一段公路时的时速的频率分布直方图如图所示，则时速在 $[50 ， 60]$ 的汽车大约有辆.

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14. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} = 1, a_{n + 1} = \frac{n + 1}{n} a_{n}$ ，则数列 ${a_{n}}$ 的通项公式为 $a_{n} =$ .

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15. 已知函数 $f (x) = {\begin{matrix} 2^{x} (x > 1) \\ x^{2} - 6 x + 9 (x \leq 1) \end{matrix}$ ，则不等式 $f (x) > f (1)$ 的解集是．

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16. 设正实数 $a, b$ 满足 $\frac{b}{a} + \frac{1}{b} = 1$ ，则 $2 a + b$ 的最小值为.

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三、解答题

17. 甲、乙两个同学分别抛掷1枚质地均匀的骰子.

(1)、求他们抛掷点数相同的概率；

(2)、求他们抛掷骰子的点数之和是3的倍数的概率.

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18. 设等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，已知 $a_{3} = 24, S_{11} = 0$ .

(1)、求 $a_{n}$ ；

(2)、求数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ .

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19. 近年来大气污染防治工作得到各级部门的重视，某企业现有设备下每日生产总成本 $y$ （单位：万元）与日产量 $x$ （单位：吨）之间的函数关系式为 $y = 2 x^{2} + (15 - 4 k) x + 120 k + 2$ ，现为了配合环境卫生综合整治，该企业引进了除尘设备，每吨产品除尘费用为 $k$ 万元，除尘后当日产量 $x = 1$ 时，总成本 $y = 253$ .

(1)、求 $k$ 的值；

(2)、若每吨产品出厂价为59万元，试求除尘后日产量为多少时，每吨产品的利润最大，最大利润为多少？

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20. 数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{3} = 1, S_{n} = a_{n + 1} (n = 1, 2, 3 \dots)$ .

(1)、求 $a_{1}, a_{2}$ ；

(2)、求数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ ；

(3)、设 $b_{n} = \log_{2} S_{n}$ ，存在数列 ${c_{n}}$ 使得 $c_{n} \cdot b_{n + 3} \cdot b_{n + 4} = 1$ ，试求数列 ${c_{n}}$ 的前 $n$ 项和.

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21. 一般来说，一个人脚掌越长，他的身高就越高，现对10名成年人的脚掌

x

与身高

y

进行测量，得到数据（单位：cm）作为样本如表所示：

脚掌长（ $x$ ）	20	21	22	23	24	25	26	27	28	29
身高（ $y$ ）	141	146	154	160	169	176	181	188	197	203

（参考数据： $\hat{b} = \frac{\sum_{i = 1}^{10} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sum_{i = 1}^{10} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}}$ ， $\sum_{i = 1}^{10} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y}) = 577.5$ ， $\sum_{i = 1}^{10} {(x_{i} - \bar{x})}^{2} = 82.5$ ， $\bar{x} = 24.5$ ， $\bar{y} = 171.5$ ）

(1)、在上表数据中，以“脚掌长”为横坐标，“身高”为纵坐标，作出散点图后，发现散点在一条直线附近，试求“身高”与“脚掌长”之间的线性回归方程

\hat{y} = \hat{b} x + \hat{a}

；

(2)、若某人的脚掌长为26.5cm，试估计此人的身高；

(3)、在样本中，从身高180cm以上的4人中随机抽取2人进行进一步的分析，求所抽取的2人中至少有1人身高在190cm以上的概率.

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22. 已知函数 $f (x) = x^{2} - 2 x + a (a \in R)$ 的值域为 $[0, + \infty)$ ，记函数 $g (x) = \frac{f (x)}{x}$ .

(1)、求实数 $a$ 的值；

(2)、存在 $x \in [- 1, 1]$ 使得不等式 $g (2^{x}) ⩾ m \cdot 2^{x + 1}$ 成立，求实数 $m$ 的取值范围；

(3)、若关于 $x$ 的方程 $g (| f (x) - 1 |) = k - \frac{k}{| f (x) - 1 |}$ 有5个不等的实数根，求实数 $k$ 的取值范围.

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