江苏省苏州市姑苏区2019-2020学年高二上学期数学期中考试试卷

试卷更新日期：2020-10-10 类型：期中考试

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一、单选题

1. 命题“ $\forall x > 0$ ， $x^{2} - 2 x + 3 \geq 0$ ”的否定是（）

A、 $\forall x \leq 0$ ， $x^{2} - 2 x + 3 < 0$ B、 $\forall x > 0$ ， $x^{2} - 2 x + 3 < 0$ C、 $\exists x > 0$ ， $x^{2} - 2 x + 3 < 0$ D、 $\exists x \leq 0$ ， $x^{2} - 2 x + 3 < 0$

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2. 在等比数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{2} = 2$ ， $a_{6} = 8$ ，则 $a_{2}$ 与 $a_{6}$ 的等比中项为（）

A、6 B、4 C、-4 D、±4

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3. “直线 $l_{1} ： m x + y + 3 = 0$ 与 $l_{2} ： (3 m - 2) x + m y + 6 = 0$ 平行"是“ $m = 1$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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4. 在等差数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{1} + a_{2} = 3$ ， $a_{2} + a_{3} = 5$ ，则 $a_{9} + a_{10} =$ （）

A、19 B、-19 C、15 D、-15

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5. 若 $a < b < 0$ ，则下列结论不正确的是（）

A、 $- a > - b$ B、 $\sqrt[3]{a} > \sqrt[3]{b}$ C、 $a^{2} > b^{2}$ D、 $\frac{1}{a} > \frac{1}{b}$

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6. 给出下列四个命题：①有的质数是偶数；②存在正整数 $x$ ，使得 $x$ 为 $29$ 的约数；③有的三角形三个内角成等差数列；④与给定的圆只有一个公共点的直线是圆的切线.其中既是存在性命题又是真命题的个数为（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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7. 若不等式 $a x^{2} + b x + c > 0$ 的解集是 ${x | x < 1$ 或 $x > 3}$ ，则 $a$ ， $b$ ， $c$ 的值可能为（）

A、1，4，3 B、-1，4，-3 C、-1，-4，-3 D、1，-4，3

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8. 已知等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，若 $S_{8} < 0$ ， $S_{9} > 0$ ，则当 $S_{n}$ 最小时， $n$ 的值为（）

A、4 B、5 C、8 D、15

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9. 已知数列 ${a_{n}}$ 是等比数列，有下列四个命题：① ${\sqrt{a_{n}}}$ 是等比数列；② ${\frac{1}{a_{n}}}$ 是等比数列；③ ${a_{n} + a_{n + 1}}$ 是等比数列；④ ${a_{n} \cdot a_{n + 1}}$ 是等比数列，其中正确命题的序号是（）

A、②④ B、③④ C、②③④ D、①②③④

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10. 我国古代数学典籍《九章算术》第七章“盈不足”中有一问题：“今有蒲生一日，长三尺.莞生一日，长一尺，蒲生日自半，莞生日自倍，问几何日而长等？”翻译为现代汉语：今有蒲草第一天长高 $3$ 尺，莞草第一天长高 $1$ 尺.以后蒲草每天增长的长度是前一天增长的一半；而莞草每天增长的长度是前一天增长的两倍，问多少天蒲草、莞草高度相等？蒲草、莞草高度相等的时刻约在（）

A、第1天 B、第2天 C、第3天 D、第4天

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二、多选题

11. 已知 $b$ 克糖水中有 $a$ 克糖 $(b > a > 0)$ ，若再添加 $m$ 克糖 $(m > 0)$ ，则糖水变得更甜.对于 $b > a > 0$ ， $m > 0$ ，下列不等式正确的有：（）

A、 $\frac{a}{b} < \frac{a + m}{b + m}$ B、 $\frac{a}{b} > \frac{a - m}{b - m}$ C、 $\frac{a}{b} < \frac{a + b m}{b + a m}$ D、 $\frac{a}{b} < \frac{a - b m}{b - a m}$

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12. 已知实数 $x$ ， $y$ 满足 $x + 2 y = 1$ ，则 $\frac{1}{x} + \frac{1}{y}$ 可能的值为（）

A、0 B、3 C、6 D、9

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13. 对于数列 ${a_{n}}$ ，若存在正整数 $k$ $(k \geq 2)$ ，使得 $a_{k} < a_{k - 1}$ ， $a_{k} < a_{k + 1}$ ，则称 $a_{k}$ 是数列 ${a_{n}}$ 的“谷值， $k$ 是数列 ${a_{n}}$ 的“谷值点”，在数列 ${a_{n}}$ 中，若 $a_{n} = | n + \frac{9}{n} - 8 |$ ，则数列 ${a_{n}}$ 的“谷值点”为（）

A、2 B、3 C、5 D、7

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三、填空题

14. 已知不等式 $\frac{x^{2} - 3}{x + m} > 1$ 的解集为 $M$ ，若 $1 \in M$ ，则实数 $m$ 的取值范围为.

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15. 在等比数列 ${a_{n}}$ 中，若 $a_{1} = 1, a_{3} a_{5} = 4 (a_{4} - 1),$ 则 $a_{7} =$

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16. 已知命题“若 $x^{2} - 4 x + 3 < 0$ ，则 $x^{2} - m x + 4 < 0$ ”为真命题，则实数 $m$ 的取值范围为.

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四、双空题

17. 已知 $x$ ， $y$ 为正实数，定义 $x \otimes y = \frac{x^{2} - y^{2}}{x y}$ .对于正实数 $x$ ， $y$ ，若 $x \otimes y = 1$ ，则 $\frac{x}{y} =$ ；当 $x \otimes y + (2 y) \otimes x$ 取最小值时， $\frac{x}{y} =$ .

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五、解答题

18. 在等差数列 ${a_{n}}$ 中，已知： $a_{1} = - 3$ ， $11 a_{5} = 5 a_{8}$ .

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的公差.

(2)、求数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ 的最小值，并指出此时正整数 $n$ 的值.

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19. 已知 $f (x) = x^{2} + a (6 - a) x - 6$ ， $a \in R$ .

(1)、解关于 $a$ 的不等式 $f (1) > 0$ ；

(2)、若不等式 $f (x) > 7 x - b$ 的解集为 $(- \infty, - 1) \cup (3, + \infty)$ ，求实数 $a$ ， $b$ 的值.

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20. 已知等比数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n} = λ \cdot 3^{n} - 1$ ，其中 $λ$ 为实数.

(1)、求实数 $λ$ 的值，并求出数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、求数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项的积 $T_{n} = a_{1} \cdot a_{2} \dots a_{n}$ .

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21. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $S_{n} = {(n + 1)}^{2} - a_{n} - 2$ ， $n \in N^{*}$ .

(1)、令 $b_{n} + 2 = a_{n + 1} - a_{n}$ ，证明：数列 ${b_{n}}$ 为常数数列，并求出 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、若 $c_{n} = \frac{1}{a_{n}} + \frac{1}{a_{n + 1}} + \dots + \frac{1}{a_{2 n}}$ ，求数列 ${c_{n}}$ 的最大项的值.

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22. 如图，一幅壁画的最高点 $A$ 处离地面4米，最低点 $B$ 处离地面2米.正对壁画的是一条坡度为1：2的甬道（坡度指斜坡与水平面所成角 $α$ 的正切值），若从离斜坡地面1.5米的 $C$ 处观赏它.

(1)、若 $C$ 对墙的投影（即过 $C$ 作 $A B$ 的垂线垂足为投影）恰在线段 $A B$ （包括端点）上，求点 $C$ 离墙的水平距离的范围；

(2)、在（1）的条件下，当点 $C$ 离墙的水平距离为多少时，视角 $θ$ （ $∠ A C B$ ）最大？

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23. 若正整数数列 ${a_{n}}$ ， ${b_{n}}$ 满足：对任意 $n \geq 2$ ， $n \in N^{*}$ ，都有 $a_{1} b_{1} + a_{2} b_{2} + \dots + a_{n} b_{n} = a_{n - 1} b_{n + 1} + 3$ 恒成立，则称数列 ${a_{n}}$ ， ${b_{n}}$ 为“友好数列”.

(1)、已知数列 ${a_{n}}$ ， ${b_{n}}$ 的通项公式分别为 $a_{n} = 2 n - 1$ ， $b_{n} = 2^{n - 1}$ ，求证：数列 ${a_{n}}$ ， ${b_{n}}$ 为“友好数列”；

(2)、已知数列 ${a_{n}}$ ， ${b_{n}}$ 为“友好数列”，且 $a_{1} = b_{1} = 1$ ，求证：“数列 ${a_{n}}$ 是等差数列” 是“数列 ${b_{n}}$ 是等比数列”的充分不必要条件.

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