江苏省南京市2019-2020学年高二上学期数学期中考试试卷

试卷更新日期：2020-10-10 类型：期中考试

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一、单选题

1. 若直线ax+2y+1=0与直线x+2y–2=0互相垂直，则实数a的值是（）

A、1 B、–1 C、4 D、–4

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2. 已知向量 $\vec{a} = (0, 1, 1)$ ， $\vec{b} = (1, - 2, 1)$ .若向量 $\vec{a} + \vec{b}$ 与向量 $\vec{c} = (- 2, m, - 4)$ 平行，则实数 $m$ 的值是（）

A、2 B、-2 C、10 D、-10

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3. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，双曲线 $x^{2} - \frac{y^{2}}{2} = 1$ 的渐近线方程是（）

A、 $y = \pm \sqrt{2} x$ B、 $y = \pm \frac{\sqrt{2}}{2} x$ C、 $y = \pm \sqrt{3} x$ D、 $y = \pm \frac{\sqrt{3}}{3} x$

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4. 为了解某社区居民的家庭年收入和年支出的关系，随机调查了该社区5户家庭，得到如下统计数据表：

收入x（万元）

8.3

8.5

10

11.2

12

支出y（万元）

6

7.5

8

8.5

10

根据上表可得 $\bar{x} = 10, \bar{y} = 8$ ，线性回归方程 $\hat{y} = 0.76 x + a$ .据此估计，该社区一户年收入为20万元家庭年支出为（）

A、15.2万元 B、15.6万元 C、16万元 D、16.2万元

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5. 如图，一个圆柱的底面半径为 $\sqrt{3}$ ，高为2，若它的两个底面圆周均在球O的球面上，则球O的表面积为（）

A、 $\frac{32 π}{3}$ B、 $16 π$ C、 $8 π$ D、 $4 π$

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6. 如图，在四面体 $A B C D$ 中，点 $M$ 是棱 $B C$ 上的点，且 $B M ＝ 2 M C$ ，点 $N$ 是棱 $A D$ 的中点.若 $\vec{M N} = x \vec{A B} + y \vec{A C} + z \vec{A D}$ ，其中 $x ， y ， z$ 为实数，则 $x y z$ 的值是（）

A、 $- \frac{1}{9}$ B、 $- \frac{1}{8}$ C、 $\frac{1}{9}$ D、 $\frac{1}{8}$

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7. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，直线 $l$ 过点 $P (1, 2)$ ，且被圆 $O$ ： $x^{2} + y^{2} = 9$ 截得的弦长为 $4 \sqrt{2}$ ，则直线 $l$ 的方程为（）

A、 $3 x - 4 y + 5 = 0$ B、 $3 x + 4 y - 11 = 0$ C、 $x = 1$ 或 $3 x - 4 y + 5 = 0$ D、 $x = 1$ 或 $3 x + 4 y - 11 = 0$

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8. 已知 $\cos (α + \frac{π}{4}) = \frac{\sqrt{10}}{10}$ ，则 $\sin 2 α$ 的值是（）

A、 $- \frac{4}{5}$ B、 $- \frac{2}{5}$ C、 $\frac{2}{5}$ D、 $\frac{4}{5}$

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9. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，直线 $l$ 过抛物线 $y^{2} = 4 x$ 的焦点，交抛物线于 $A, B$ 两点，且线段 $A B$ 中点的横坐标为3，则线段 $A B$ 的长为（）

A、6 B、7 C、8 D、10

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10. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，已知点 $P (4, 0)$ ，点 $A, B$ 在双曲线 $C : \frac{x^{2}}{4} - y^{2} = 1$ 上，且 $\vec{A P} = 3 \vec{P B}$ ，则直线 $A B$ 的斜率为（）

A、 $\pm \frac{3}{2}$ B、 $\pm \frac{\sqrt{5}}{2}$ C、±1 D、 $\pm \frac{\sqrt{3}}{2}$

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二、多选题

11. 已知两条直线l，m及三个平面 α，β，γ ，下列条件中能推出α⊥β的是（）

A、l⊂α，l⊥β B、l⊥α，m⊥β，l⊥m C、α⊥γ，β∥γ D、l⊂α，m⊂β，l⊥m

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12. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，动点 $P$ 到两个定点 $F_{1} (- 1 ， 0)$ 和 $F_{2} (1 ， 0)$ 的距离之积等于8，记点 $P$ 的轨迹为曲线 $E$ ，则（）

A、曲线 $E$ 经过坐标原点 B、曲线 $E$ 关于 $x$ 轴对称 C、曲线 $E$ 关于 $y$ 轴对称 D、若点 $(x ， y)$ 在曲线 $E$ 上，则 $- 3 \leq x \leq 3$

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三、双空题

13. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，双曲线 $C : \frac{x^{2}}{3} - y^{2} = 1$ 的焦距为.若双曲线 $C$ 的右焦点与抛物线 $y^{2} ＝ 2 p x (p > 0)$ 的焦点重合，则实数 $p$ 的值为.

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四、填空题

14. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，若椭圆 $E : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的两个焦点和短轴的两个端点恰为正方形的四个顶点，则椭圆 $E$ 的离心率是.

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15. 我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果.哥德巴赫猜想是：每个大于2的偶数可以表示为两个质数的和，如 $14 = 3 + 11$ .在不超过15的质数中，随机选取2个不同的数，其和不等于16的概率是.

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16. 已知四棱柱 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的底面 $A B C D$ 是矩形，底面边长和侧棱长均为2， $∠ A_{1} A B = ∠ A_{1} A D = 60 °$ ，则对角线 $A C_{1}$ 的长为.

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五、解答题

17. 在 $Δ A B C$ $ΔABC$ 中，角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ .已知 $12 (a \cos C + c \cos A) = 13 b \cos B$ .

(1)、求 $\cos B$ ；

(2)、若 $a + c = 15$ ，且 $Δ A B C$ 的面积为5，求 $b$ 的值.

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18. 某家庭记录了未使用节水龙头30天的日用水量数据（单位： $m^{3}$ ）和使用了节水龙头30天的日用水量数据，得到频数分布表如下：
（一）未使用节水龙头30天的日用水量频数分布表

日用水量

$[0.2, 0.3)$

$[0.3, 0.4)$

$[0.4, 0.5)$

$[0.5, 0.6)$

$[0.6, 0.7]$

频数

2

3

8

12

5

（二）使用了节水龙头30天的日用水量频数分布表

日用水量

$[0.1, 0.2)$

$[0.2, 0.3)$

$[0.3, 0.4)$

$[0.4, 0.5)$

$[0.5, 0.6]$

频数

2

5

11

6

6

(1)、估计该家庭使用了节水龙头后，日用水量小于 $0.4 m^{3}$ 的概率；

(2)、估计该家庭使用节水龙头后，平均每天能节省多少水？（同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表）

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19. 如图，已知四棱锥 $P - A B C D$ 的底面是平行四边形，且 $∠ P A B = ∠ P D C = 90 °$ .

(1)、求证： $A B ⊥$ 平面 $P A D$ ；

(2)、若点 $E ， F$ 分别是棱 $P D$ ， $B C$ 的中点，求证： $E F / /$ 平面 $P A B$ .

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20. 如图，在直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A B = A C = 2$ ， $∠ B A C = 120 °$ ， $A A_{1} = 3$ .

(1)、点 $D$ 在棱 $A A_{1}$ 上，且 $B D ⊥ A_{1} C$ ，求 $A D$ 的长；

(2)、求二面角 $C - A_{1} B_{1} - B$ 的大小.

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21. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}, F_{2}$ ，离心率 $e = \frac{\sqrt{5}}{3}$ .过 $F_{1}$ 的直线 $l$ 与椭圆 $C$ 相交于 $A, B$ 两点，且 $Δ A B F_{2}$ 的周长为 $12 \sqrt{5}$ .

(1)、求椭圆 $C$ 的方程；

(2)、若点 $A$ 位于第一象限，且 $A F_{1} ⊥ A F_{2}$ ，求 $Δ A B F_{2}$ 的外接圆的方程.

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22. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，点 $A (- 2, 0)$ ，过动点 $P$ 作直线 $x = - 4$ 的垂线，垂足为 $M$ ，且 $\vec{A M} \cdot \vec{A P} = - 4$ .记动点 $P$ 的轨迹为曲线 $E$ .

(1)、求曲线 $E$ 的方程；

(2)、过点 $A$ 的直线 $l$ 交曲线 $E$ 于不同的两点 $B$ ， $C$ .
①若 $B$ 为线段 $A C$ 的中点，求直线 $l$ 的方程；

②设 $B$ 关于 $x$ 轴的对称点为 $D$ ，求 $Δ A C D$ 面积 $S$ 的取值范围.

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收入x（万元）	8.3	8.5	10	11.2	12
支出y（万元）	6	7.5	8	8.5	10

日用水量	$[0.2, 0.3)$	$[0.3, 0.4)$	$[0.4, 0.5)$	$[0.5, 0.6)$	$[0.6, 0.7]$
频数	2	3	8	12	5

日用水量	$[0.1, 0.2)$	$[0.2, 0.3)$	$[0.3, 0.4)$	$[0.4, 0.5)$	$[0.5, 0.6]$
频数	2	5	11	6	6