河南省新乡市卫辉市2020届九年级上学期数学期中考试试卷

试卷更新日期：2020-10-09 类型：期中考试

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一、选择题

1. 一元二次方程2x²﹣x﹣3=0的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（　　）

A、2，1，3 B、2，1，﹣3 C、2，﹣1，3 D、2，﹣1，﹣3

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2. 二次根式： $① \sqrt{12}$ ； $② \sqrt{3^{2}}$ ； $③ \sqrt{\frac{2}{3}}$ ； $④ \sqrt{27}$ 中，能与 $\sqrt{3}$ 合并的是 $($ $)$

A、 $①$ 和 $②$ B、 $②$ 和 $③$ C、 $①$ 和 $④$ D、 $③$ 和 $④$

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3. 下列计算正确的是（）

A、 $\sqrt{3} \cdot \sqrt{2} = \sqrt{6}$ B、 $\sqrt{2} + \sqrt{3} = \sqrt{6}$ C、 $\sqrt{{(- 2)}^{2}} = - 2$ D、 $\sqrt{2} + \sqrt{2} = 2$

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4. 将方程x²﹣6x＋2=0配方后，原方程变形为（）

A、(x+3)²=﹣2 B、(x﹣3)²=﹣2 C、(x﹣3)²=7 D、(x＋3)²=7

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5. 如图，四边形ABCD和A′B′C′D′是以点O为位似中心的位似图形，若OA：OA′＝2：3，则四边形ABCD与四边形A′B′C′D′的面积比为（　　）

A、4：9 B、2：5 C、2：3 D、 $\sqrt{2}$ ： $\sqrt{3}$

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6.
如图，已知∠1=∠2，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC∽△ADE的是（　　）

A、 $\frac{A B}{A D}$ = $\frac{A C}{A E}$ B、 $\frac{A B}{A D}$ = $\frac{B C}{D E}$ C、∠B=∠D D、∠C=∠AED

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7. 如图， $D E$ 是 $△ A B C$ 的中位线，已知 $△ A B C$ 的面积为12，则四边形 $B C E D$ 的面积为（）.

A、3 B、6 C、9 D、10

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8.
如图，某小区计划在一块长为32m，宽为20m的矩形空地上修建三条同样宽的道路，剩余的空地上种植草坪，使草坪的面积为570m² ．若设道路的宽为xm，则下面所列方程正确的是（）

A、（32﹣2x）（20﹣x）=570 B、32x+2×20x=32×20﹣570 C、（32﹣x）（20﹣x）=32×20﹣570 D、32x+2×20x﹣2x²=570

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9. 如图，已知AB、CD、EF互相平行，且AB＝1，CD＝4，那么EF的长是（）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{2}{3}$ C、 $\frac{3}{4}$ D、 $\frac{4}{5}$

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10. 如图，在矩形AOBC中，点A的坐标为（-2，1），点C的纵坐标是4，则B，C两点的坐标分别是（）

A、（ $\frac{3}{2}$ ， $3$ ），（ $- \frac{2}{3}$ ， $4$ ） B、（ $\frac{7}{4}$ ， $\frac{7}{2}$ ），（ $- \frac{2}{3}$ ， $4$ ） C、（ $\frac{3}{2}$ ， $3$ ），（ $- \frac{1}{2}$ ， $4$ ） D、（ $\frac{7}{4}$ ， $\frac{7}{2}$ ），（ $- \frac{1}{2}$ ， $4$ ）

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二、填空题

11. 若代数式 $\frac{\sqrt{m + 1}}{m - 1}$ 有意义，则m的取值范围是.

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12. 若 $\frac{a}{b} = \frac{5}{3}$ ，则 $\frac{a + b}{a}$ = ．

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13. 已知等腰三角形的两边长是方程x²﹣9x+18=0的两个根，则该等腰三角形的周长为.

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14. 如图，在▱ABCD中，E为AD的三等分点，AE= $\frac{2}{3}$ AD，连结BE，交AC于点F，AC=15，则AF为.

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15. 将三角形纸片（ $△ A B C$ ）按如图所示的方式折叠，使点 $C$ 落在边 $A B$ 上，记为点 $C^{'}$ ，折痕为 $E F$ ，已知 $A B = A C = 4$ ， $B C = 5$ ，若以点 $B$ ， $F$ ， $C^{'}$ 为顶点的三角形与 $△ A B C$ 相似，那么 $C F$ 的长是.

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三、解答题

16. 计算：

(1)、 $\sqrt{18} - \sqrt{8} - \sqrt{\frac{1}{3}} \times \sqrt{6}$

(2)、 $(5 \sqrt{48} + \sqrt{12} - 6 \sqrt{3}) \div \sqrt{3}$

(3)、 $(\sqrt{2} + 1) (\sqrt{2} - 1) - {(\sqrt{3} - \sqrt{2})}^{2}$

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17. 解方程：

(1)、(2x-1)²-25=0

(2)、 ${(x + 3)}^{2} - 3 x (x + 3) = 0$

(3)、 $x^{2} - 3 x + 1 = 0$

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18. 如图，矩形ABCD中，E为BC上一点，DF⊥AE于F.

(1)、△ABE与△ADF相似吗？请说明理由.

(2)、若AB=6，AD=12，BE=8，求DF的长.

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19. 如图，在边长为1的正方形网格内有一个三角形 $A B C$ .

（ 1 ）把 $△ A B C$ 沿着 $x$ 轴向右平移5个单位得到 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ ，请你画出 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ ；

（ 2 ）请你以 $O$ 点为位似中心在第一象限内画出 $△ A B C$ 的位似图形 $△ A_{2} B_{2} C_{2}$ ，使得 $△ A B C$ 与 $△ A_{2} B_{2} C_{2}$ 的位似比为 $1 ： 2$ ；

（ 3 ）请你写出 $△ A_{2} B_{2} C_{2}$ 三个顶点的坐标.

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20. 已知关于x的方程x²﹣（2k+1）x+4（k﹣ $\frac{1}{2}$ ）=0

(1)、求证：无论k取何值，这个方程总有实数根；

(2)、若等腰三角形ABC的一边长a=4，另两边b、c恰好是这个方程的两个根，求△ABC的周长．

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21. 某商业街有店面房共100间，2015年平均每间店面房的年租金为1万元，由于物价上涨，到2017年平均每间店面房的年租金上涨到了1.21万元，据预测，当每间的年租金定为12100元时，可全部租出；若每间的年租金每增加0.1万元，就要少租出10间，该商业街管委会要为租出的商铺每间每年交各种费用0.1万元，未租出的商铺每间每年交各种费用0.05万元.

(1)、求2015年至2017年平均每间店面房年租金的平均增长率；

(2)、当每间店面房的年租金上涨多少万元时，该商业街的年收益（收益＝租金﹣各种费用）为103.8万元？

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22. 如图

(1)、观察发现：如图1，在 $Rt △ A B C$ 中， $∠ B = 90^{°}$ ，点 $D$ 在边 $A B$ 上，过 $D$ 作 $D E ∥ B C$ 交 $A C$ 于 $E$ ， $A B = 5$ ， $A D = 3$ ， $A E = 4$ .填空：
① $△ A B C$ 与 $△ A D E$ 是否相似（直接回答）；

② $A C =$ ； $D E =$ ；

(2)、拓展探究：将 $△ A D E$ 绕顶点 $A$ 旋转到图2所示的位置，猜想 $△ A D B$ 与 $△ A E C$ 是否相似？若不相似，说明理由；若相似，请证明；

(3)、迁移应用：将 $△ A D E$ 绕顶点 $A$ 旋转到点 $B$ 、 $D$ 、 $E$ 在同一条直线上时，直接写出线段 $B E$ 的长.

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23. 已知：如图，在平面直角坐标系中， $△ A B C$ 是直角三角形， $∠ A C B = 90^{°}$ ，点 $A$ 、 $C$ 的横坐标是一元二次方程 $x^{2} + 2 x - 3 = 0$ 的两根（ $A O > O C$ ），直线 $A B$ 与 $y$ 轴交于 $D$ ， $D$ 点的坐标为 $(0 ， \frac{9}{4})$ .

(1)、求直线 $A B$ 的函数表达式；

(2)、在 $x$ 轴上找一点 $E$ ，连接 $E B$ ，使得以点 $A$ 、 $E$ 、 $B$ 为顶点的三角形与 $△ A B C$ 相似（不包括全等），并求点 $E$ 的坐标；

(3)、在（2）的条件下，点 $P$ 、 $Q$ 分别是 $A B$ 和 $A E$ 上的动点，连接 $P Q$ ，点 $P$ 、 $Q$ 分别从 $A$ 、 $E$ 同时出发，以每秒1个单位长度的速度运动，当点 $P$ 到达点 $B$ 时，两点停止运动，设运动时间为 $t$ 秒，请直接写出几秒时以点 $A$ 、 $P$ 、 $Q$ 为顶点的三角形与 $△ A E B$ 相似.

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