河南省南阳市唐河县2019-2020学年八年级上学期数学期中考试试卷

试卷更新日期：2020-10-09 类型：期中考试

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一、选择题

1. 下列说法中，正确的是（）

A、 $\sqrt{9}$ ＝±3 B、64的立方根是±4 C、6的平方根是 $\sqrt{6}$ D、25的算术平方根是5

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2. 如图，数轴上点 $P$ 所表示的数可能是（）

A、 $\sqrt{6}$ B、 $- \sqrt{7}$ C、 $- \sqrt{3}$ D、 $- \sqrt{10}$

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3. 下列式子中，不能用平方差公式计算的是（）

A、（m﹣n）（n﹣m） B、（x²﹣y²）（x²+y²） C、（﹣a﹣b）（a﹣b） D、（a²﹣b²）（b²+a²）

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4. 下列各式计算正确的是（）

A、x⁶•x²＝x¹² B、x²+x²＝2x² C、(﹣c)⁸÷(﹣c)⁶＝﹣c² D、(ab³)²＝ab⁶

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5. 工人师傅常用角尺平分一个任意角做法如下：如图所示，在∠AOB的两边OA ， OB上分别取OM＝ON ，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与M ， N重合，过角尺顶点C的射线OC即是∠AOB的平分线画法中用到三角形全等的判定方法是（）

A、SSS B、SAS C、ASA D、HL

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6. 下列从左边到右边的变形，是因式分解的是（）

A、 $(3 - x) (3 + x) = 9 - x^{2}$ B、 $x^{2} - 2 x + 1 = x (x - 2) + 1$ C、 $x^{2} - 4 y^{2} = (x + 4 y) (x - 4 y)$ D、 $x^{2} - x - 6 = (x + 2) (x - 3)$

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7. 如图的面积关系，可以得到的恒等式是（　　）

A、m（a+b+c）＝ma+mb+mc B、（a+b）（a﹣b）＝a²﹣b² C、（a﹣b）²＝a²﹣2ab+b² D、（a+b）²＝a²+2ab+b²

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8.
如图，在△ABC和△DEC中，已知AB=DE，还需添加两个条件才能使△ABC≌△DEC，不能添加的一组条件是（　　）

A、BC=EC，∠B=∠E B、BC=EC，AC=DC C、BC=DC，∠A=∠D D、∠B=∠E，∠A=∠D

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9. 如图，下列4个三角形中，均有AB=AC，则经过三角形的一个顶点的一条直线能够将这个三角形分成两个小等腰三角形的是（）

A、①③ B、①②④ C、①③④ D、①②③④

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10. 如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，直角∠EPF的顶点P是BC的中点，两边PE，PF分别交AB，AC于点E，F，现给出以下四个结论：（1）AE＝CF；（2）△EPF是等腰直角三角形；（3）S_四边形_AEPF＝ $\frac{1}{2}$ S_△_ABC；（4）当∠EPF在△ABC内绕顶点P旋转时始终有EF＝AP.（点E不与A、B重合），上述结论中是正确的结论的概率是（）

A、1个 B、3个 C、 $\frac{1}{4}$ D、 $\frac{3}{4}$

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二、填空题

11. $\sqrt{\frac{1}{4}} + \sqrt[3]{- 27} - | - \frac{1}{2} - \sqrt{2} | - (1 - \sqrt{2}) =$ .

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12. 如图，边长为 $a$ ， $b$ 的长方形的周长为10，面积为6，则 $a^{3} b + a b^{3}$ 的值为.

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13. 已知 $6^{x} = 192$ ， $32^{y} = 192$ ，则 ${[(x - 1) (1 - y)]}^{2019} =$ .

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14. 如图， $A E ⊥ A B$ ，且 $A E = A B$ ， $B C ⊥ C D$ ，且 $B C = C D$ ，请按照图中所标注的数据计算图中实线所围成的图形的面积 $S =$ .

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15. 如图， $A D ∥ B C$ ， $A B ∥ D C$ ，点 $O$ 为线段 $A C$ 的中点，过点 $O$ 作一条直线分别与 $A B$ 、 $C D$ 交于点 $M$ 、 $N$ .点 $E$ 、 $F$ 在直线 $M N$ 上，且 $O E = O F$ ，图中全等的三角形共有对.

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三、解答题

16. 计算

(1)、计算： $12 a^{6} b^{4} \div 3 a^{3} b^{4} + a^{2} \cdot (- 5 a)$

(2)、 $\frac{1}{3} a \sqrt{a^{2} b} \times (- 4 \sqrt{\frac{b^{2}}{a}}) \div \frac{1}{6} \sqrt{a^{2} b}$

(3)、 $2019^{2} - 2020 \times 2018$ （用简便方法计算）

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17. 证明：全等三角形对应边上的中线相等.

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18. 两位同学将一个二次三项式进行因式分解时，一名同学因为看错了一次项系数而分解成： $2 (x - 1) (x - 9)$ ，另一位同学因为看错了常数项而分解成了 $2 (x - 2) (x - 4)$ .请求出原多项式，并将它因式分解.

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19. 先化简再求值：
$[(2 a + b) (2 a - b) - 3 {(2 a - b)}^{2} + 4 b^{2}] \div (- 4 a)$ ，其中 $a = \frac{2 + \sqrt{3}}{2 - \sqrt{3}}$ ， $b = 3 \sqrt{3}$

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20. 已知 $D$ 为 $Δ A B C$ 所在平面内一点，且 $D B = D C$ ， $D E ⊥ A B$ ， $D F ⊥ A C$ ，垂足分别为点 $E$ 、 $F$ ， $D E = D F$ .

(1)、如图1，当点 $D$ 在 $B C$ 边上时，判断 $Δ A B C$ 的形状；并证明你的结论；

(2)、如图2，当点 $D$ 在 $Δ A B C$ 内部时，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明：若不成立，请举出反例（画图说明，不需证明）.

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21.

(1)、填空： $a^{2} + 6 a +$ $= (a +$ $)^{2}$ ；

(2)、阅读，并解决问题：分解因式 ${(a + b)}^{2} + 2 (a + b) + 1$
解：设 $a + b = x$ ，则原式 $= x^{2} + 2 x + 1 = {(x + 1)}^{2} = {(a + b + 1)}^{2}$

这样的解题方法叫做“换元法”，即当复杂的多项式中，某一部分重复出现时，我们用字母将其替换，从而简化这个多项式，换元法是一个重要的数学方法，不少问题能用换元法解决.请你用“换元法”对下列多项式进行因式分解：

① ${(m + n)}^{2} - 14 (m + n) + 49$

② $(x^{2} - 4 x + 2) (x^{2} - 4 x + 6) + 4$

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22.

(1)、问题发现：如图1， $Δ A B C$ 是等边三角形，点 $D$ 是边 $A B$ 上的一点，过点 $D$ 作 $D E ∥ B C$ 交 $A C$ 于 $E$ ，则线段 $B D$ 与 $C E$ 有何数量关系是；

(2)、拓展探究：如图2，将 $Δ A D E$ 绕点 $A$ 逆时针旋转角 $α (0 ° < α < 360 °)$ ，上面的结论是否仍然成立？如果成立，请就图2给出的情况加以证明；

(3)、问题解决：如果 $Δ A B C$ 的边长为4， $A D = 2$ ，直接写出当 $Δ A D E$ 旋转 $E$ 、 $A$ 、 $B$ 在同一条直线上时 $B E$ 的长.

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23. 我们知道，对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个等式．例
如图1可以得到 $(a + b) (a + 2 b) = a^{2} + 3 a b + 2 b^{2}$ ．请解答下列问题：

(1)、根据图2，完成数学等式： ${(2 a)}^{2}$ =；

(2)、观察图3，写出图3中所表示的等式：＝.

(3)、若 $a = 7 x - 5$ 、 $b = - 4 x + 2$ 、 $c = - 3 x + 4$ ，且 $a^{2} + b^{2} + c^{2} = 37$ ，请利用（2）所得的结论求： $a b + b c + a c$ 的值

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