高中数学人教新课标A版选修2-2 1.6微积分基本定理

试卷更新日期：2020-10-08 类型：同步测试

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一、单选题

1. $\int_{- 1}^{1} (\frac{e^{x} - e^{- x}}{x^{2} + 1} + 1) d x =$ （）

A、－1 B、1 C、2 D、4

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2. 已知曲线 $y = x^{2}$ 和曲线 $y = \sqrt{x}$ 围成一个叶形图；则其面积为（）

A、1 B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ D、 $\frac{1}{3}$

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3. $\int_{0}^{1} \sqrt{4 - x^{2}} d x =$ （）

A、4 B、1 C、 $4 π$ D、 $\frac{π}{3} + \frac{\sqrt{3}}{2}$

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4. 函数 $y = f (x)$ 的图象如图所示，则阴影部分的面积是（）

A、 $\int_{0}^{1} f (x) d x$ B、 $\int_{0}^{2} f (x) d x$ C、 $\int_{0}^{2} | f (x) | d x$ D、 $\int_{0}^{1} f (x) d x + \int_{1}^{2} f (x) d x$

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5. 函数 $f (x) = \frac{1}{x}$ 与两条平行线 $x = e$ ， $x = 4$ 及 $x$ 轴围成的区域面积是（）

A、 $- 2 \ln 2 + 1$ B、 ${\begin{cases} x_{0} = 2 x - 1 \\ y_{0} = 2 y - \frac{1}{2} \end{cases}$ C、 $- \ln 2$ D、 $\ln 2$

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6. 若 $f (x) = x^{3} + 3 \int_{0}^{1} f (x) d x$ ，则 $\int_{0}^{1} f (x) d x =$ （）

A、 $- \frac{1}{8}$ B、 $\frac{1}{8}$ C、 $- \frac{1}{4}$ D、 $\frac{1}{4}$

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7. 如图，阴影部分的面积是（）

A、 $2 \sqrt{3}$ B、 $- 2 \sqrt{3}$ C、 $\frac{35}{3}$ D、 $\frac{32}{3}$

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8. 下列积分值等于1的是（）

A、 $\int_{0}^{1} x d x$ B、 $\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} (- \cos x) d x$ C、 $\int_{- 1}^{1} \sqrt{1 - x^{2}} d x$ D、 $\int_{1}^{e} \frac{1}{x} d x$

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9. 如图，两曲线 $y = 3 - x^{2}$ 与 $y = x^{2} - 2 x - 1$ 所围成的图形面积是（）

A、6 B、9 C、12 D、3

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10. 正项等比数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{3}, a_{4}$ 的等比中项为 $\int_{\frac{1}{e}}^{e} \frac{1}{x} d x$ ，令 $T_{n} = a_{1} \cdot a_{2} \cdot a_{3} \cdot \dots \cdot a_{n}$ ，则 $T_{6} =$ （）

A、6 B、16 C、32 D、64

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11. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} - x + 2 ， x \leq 2 \\ \sqrt{1 - {(x - 3)}^{2}} ， 2 < x \leq 4 \end{array}$ ，则定积分 $\int_{1}^{4} f (x) d x$ 的值为（）

A、 $\frac{9 + 4 π}{8}$ B、 $\frac{1 + 4 π}{4}$ C、 $\frac{1 + π}{2}$ D、 $\frac{3 + 2 π}{4}$

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12. 为了研究国民收入在国民之间的分配，避免贫富过分悬殊，美国统计学家劳伦茨提出了著名的劳伦茨曲线，如图所示：劳伦茨曲线为直线 $O L$ 时，表示收入完全平等，劳伦茨曲线为折线 $O K L$ 时，表示收入完全不平等记区域 $A$ 为不平等区域，a表示其面积，S为 $△ O K L$ 的面积．将 $G i n i = \frac{a}{S}$ ，称为基尼系数．对于下列说法：

① $G i n i$ 越小，则国民分配越公平；②设劳伦茨曲线对应的函数为 $y = f (x)$ ，则对 $\forall x \in (0 ， 1)$ ，均有 $\frac{f (x)}{x} > 1$ ；③若某国家某年的劳伦茨曲线近似为 $y = x^{2} (x \in [0 ， 1])$ ，则 $G i n i = \frac{1}{4}$ ；④若某国家某年的劳伦茨曲线近似为 $y = x^{3} (x \in [0 ， 1])$ ，则 $G i n i = \frac{1}{2}$ ．其中不正确的是：（）

A、①④ B、②③ C、①③④ D、①②④

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二、填空题

13. 计算 $\int_{0}^{2} (e^{x} + x) d x =$ .

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14. 已知函数 $f (x) = \sin x + \sqrt{1 - x^{2}}$ ，则 $\int_{- 1}^{1} f (x) d x =$ ．

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15. 如图阴影部分是由曲线 $y = \frac{1}{x}$ ， $y^{2} = x$ 与直线 $x = 2$ ， $y = 0$ 围成，则其面积为．

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16. 已知 $f' (x)$ 是函数 $y = f (x)$ 的导函数，定义 $f'' (x)$ 为 $f' (x)$ 的导函数，若方程 $f'' (x) = 0$ 有实数解 $x_{0}$ ，则称点 $(x_{0} ， f (x_{0}))$ 为函数 $y = f (x)$ 的拐点，经研究发现，所有的三次函数 $f (x) = a x^{3} + b x^{2} + c x + d (a \neq 0)$ 都有拐点，且都有对称中心，其拐点就是对称中心，设 $g (x) = x^{3} - a x^{2} + b x - 5$ ，若点 $(1 ， - 3)$ 是函数 $y = g (x)$ 的“拐点”也是函数 $g (x)$ 图像上的点，则 $\int_{a}^{b} (\sqrt{1 - {(x - 3)}^{2}} + e^{x - 3}) d x =$ .

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三、解答题

17. 求 $\int_{- 2}^{2} (x^{2} \sin x + e^{x}) d x$ 的值

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18. 如图，求直线 $y = 2 x + 3$ 与抛物线 $y = x^{2}$ 所围成的图形的面积.

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19. 计算由曲线 $y^{2} = x$ ， $y = x^{2}$ 所围图形的面积S.

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20. 将由曲线 $y = \sin x (0 \leq x \leq \frac{π}{2})$ 和直线 $x = \frac{π}{2}$ ， $y = 0$ 所围成图形的面积写成定积分的形式．

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一、单选题

二、填空题

三、解答题

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