高中数学人教新课标A版选修2-2 1.4生活中的优化问题举例

试卷更新日期：2020-10-08 类型：同步测试

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一、单选题

1. 函数 $f (x) = x^{4} - 2 x^{3}$ 的图像在点 $(1 ， f (1))$ 处的切线方程为（）

A、 $y = - 2 x - 1$ B、 $y = - 2 x + 1$ C、 $y = 2 x - 3$ D、 $y = 2 x + 1$

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2. 函数 $f (x) = (x + 2) e^{x}$ 的单调递增区间是（）

A、 $(- \infty ， 3)$ B、 $(0 ， 3)$ C、 $(- 3 ， 0)$ D、 $(- 3 ， + \infty)$

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3. 若曲线 $y = f (x) = x^{2} + a x + b$ 在点 $(0 ， b)$ 处的切线方程是 $x - y + 1 = 0$ ，则（）

A、 $a = 1 ， b = 1$ B、 $a = - 1 ， b = 1$ C、 $a = 1 ， b = - 1$ D、 $a = - 1 ， b = - 1$

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4. 已知函数 $f (x) = \sqrt{x}$ 在点 $x = x_{0}$ 处的切线的倾斜角是 $\frac{π}{4}$ ，则 $x_{0}$ 的值为（）

A、 $\frac{1}{4}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ D、1

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5. 函数 $f (x)$ = $\frac{x^{4}}{4} - \frac{x^{3}}{3}$ 的极值点为（）

A、0 B、1 C、0或1 D、-1

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6. $f (x) = x {(x - c)}^{2}$ 在 $x = 2$ 处有极小值，则常数c的值为（）

A、2 B、6 C、2或6 D、1

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7. 若函数f（x）满足 $f (x) = \frac{1}{3} x^{3} - f^{'} (1) \cdot x^{2} - x$ ，则 $f^{'} (1)$ 的值为（）

A、0 B、1 C、2 D、3

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8. 若在曲线 $y = x^{2} - \ln x$ 上一点 $P$ 处的切线与 $y = x - 1$ 平行，则p点的横坐标为（）

A、1 B、 $\frac{1}{2}$ C、 $- \frac{1}{2}$ D、2

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9. 已知曲线 $y = f (x)$ 在点 $x = 0$ 处的切线方程为 $y = 3 x + 1$ ，则曲线 $y = \frac{f (x)}{e^{x}}$ 在点 $x = 0$ 处的切线方程为（）

A、 $y = 2 x - 1$ B、 $y = 2 x + 1$ C、 $y = x - 1$ D、 $y = x + 1$

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10. 已知函数 $f (x) = x^{3} + a x^{2} + b x + a^{2}$ 在 $x = 1$ 处取极值10，则 $a =$ （）

A、4或 $- 3$ B、4或 $- 11$ C、4 D、 $- 3$

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11. 若f(x $) = \frac{lnx}{x} ，$ a>b>e，则有（）

A、f(a)>f(b) B、f(a)<f(b) C、f(a)=f(b) D、f(a)f(b)>1

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12. 已知函数 $f (x)$ 在 $x > 0$ 上可导且满足 $x f^{'} (x) - f (x) > 0$ ，则下列一定成立的为（）

A、 $e f (π) > π f (e)$ B、 $f (π) < f (e)$ C、 $\frac{f (π)}{π} < \frac{f (e)}{e}$ D、 $f (π) > f (e)$

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13. 若点P是曲线 $y = x^{2} - \ln x$ 上任一点，则点P到直线 $x - y - 4 = 0$ 的最小距离是（）

A、 $\sqrt{2}$ B、3 C、 $2 \sqrt{2}$ D、 $2 \sqrt{3}$

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14. 已知定义在 $R$ 上的可导函数 $f (x)$ 满足 $(1 - x) \cdot f (x) + x \cdot f^{'} (x) > 0$ ，若 $y = f (x + 2) - e^{3}$ 是奇函数，则不等式 $x \cdot f (x) - 2 e^{x + 1} < 0$ 的解集是（）

A、 $(- \infty ， 2)$ B、 $(- \infty ， 1)$ C、 $(2 ， + \infty)$ D、 $(1 ， + \infty)$

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二、多选题

15. 定义在区间 $[- \frac{1}{2} ， 4]$ 上的函数 $f (x)$ 的导函数 $f^{'} (x)$ 图象如图所示，则下列结论正确的是（）

A、函数 $f (x)$ 在区间 $(0 ， 4)$ 单调递增 B、函数 $f (x)$ 在区间 $(- \frac{1}{2} ， 0)$ 单调递减 C、函数 $f (x)$ 在 $x = 1$ 处取得极大值 D、函数 $f (x)$ 在 $x = 0$ 处取得极小值

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16. 已知函数 $f (x) = x \ln x$ ，若 $0 < x_{1} < x_{2}$ ，则下列结论正确的是（）.

A、 $x_{2} f (x_{1}) < x_{1} f (x_{2})$ B、 $x_{1} + f (x_{1}) < x_{2} + f (x_{2})$ C、 $\frac{f (x_{1}) - f (x_{2})}{x_{1} - x_{2}} < 0$ D、当 $\ln x > - 1$ 时， $x_{1} f (x_{1}) + x_{2} f (x_{2}) > 2 x_{2} f (x_{1})$

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三、填空题

17. 若曲线 $y = a x^{2} - \ln x$ 在点 $(1 ， a)$ 处的切线平行于x轴，则a= ．

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18. 已知函数 $f (x) = a e^{x} + x + b$ ，若函数 $f (x)$ 在 $(0 ， f (0))$ 处的切线方程为 $y = 2 x + 5$ ，则 $a b$ 的值为．

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19. 已知函数 $f (x) = (x e^{x} - m) x - 2 e^{x} (x \in R)$ .
若 $m = 0$ ，则 $f (x)$ 的极大值点为．

若 $f (x)$ 有3个极值点，则实数m的取值范围是．

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20. 已知函 $f (x) = a x - \ln x - 1$ ， $g (x) = \frac{x^{3}}{27}$ ，用max{m，n}表示m，n中的最大值，设 $φ (x) = \max {f (x) ， g (x)}$ ．若 $φ (x) \geq \frac{x}{3}$ 在 $(0 ， + \infty)$ 上恒成立，则实数a的取值范围为

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四、解答题

21. 已知函数 $f (x) = x^{3} - x^{2} - x + 1$ .

(1)、求 $f (x)$ 在点 $(0 ， f (0))$ 处的切线；

(2)、求 $f (x)$ 在区间 $[0 ， 2]$ 上的最大值和最小值.

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22. 已知函数 $f (x) = 12 - x^{2}$ ．
（Ⅰ）求曲线 $y = f (x)$ 的斜率等于 $- 2$ 的切线方程；

（Ⅱ）设曲线 $y = f (x)$ 在点 $(t ， f (t))$ 处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为 $S (t)$ ，求 $S (t)$ 的最小值．

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23. 已知函数 $f (x) = a x e^{x}$ （ $a \in R$ ）， $g (x) = \ln x + k x + 1$ （ $k \in R$ ）

(1)、若 $k = - 1$ 求函数 $g (x)$ 的单调区间；

(2)、若 $k = 1$ 时有 $f (x) \geq g (x)$ 恒成立，求 $a$ 的取值范围.

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24. 设 $f (x) = a {(x - 5)}^{2} + 6 \ln x$ ， $a \in R$ ， $y = f (x)$ 在点 $(1 ， f (1))$ 处的切线与y轴相交于点 $(0 ， 6)$ .

(1)、确定a的值；

(2)、求函数 $f (x)$ 的单调区间与极值.

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25. 设函数 $f (x) = 2 x^{3} + 3 a x^{2} + 3 b x + 8 c$ 在 $x = 1$ 及 $x = 2$ 时取得极值．

(1)、求 $a ， b$ 的值；

(2)、若对于任意的 $x \in [0 ， 3]$ ，都有 $f (x) < c^{2}$ 成立，求 $c$ 的取值范围．

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26. 已知函数 $f (x) = e^{x} + a x^{2} - x$ .

(1)、当a=1时，讨论f（x）的单调性；

(2)、当x≥0时，f（x）≥ $\frac{1}{2}$ x³+1，求a的取值范围.

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二、多选题

三、填空题

四、解答题

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