高中数学人教新课标A版选修2-2 1.2导数的计算

试卷更新日期：2020-10-06 类型：同步测试

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一、单选题

1. 若 $f (x) = x^{4} - \frac{2}{x}$ ，则 $f^{'} (1)$ 等于（）

A、-1 B、2 C、3 D、6

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2. 已知函数 $f (x) = \ln x$ ，导函数为 $f^{'} (x)$ ，那么 $f^{'} (2)$ 等于（）

A、 $- \frac{1}{4}$ B、 $- \frac{1}{2}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、1

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3. 已知函数 $f (x) = \frac{1}{2} x^{2} - \ln x$ ， $f^{'} (x)$ 为 $f (x)$ 的导函数，则 $f^{'} (1)$ 的值为（）

A、-1 B、 $- \frac{1}{2}$ C、0 D、 $\frac{1}{2}$

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4. 函数 $f (x) = \ln 2 + \cos x$ 的导数为（）

A、 $\frac{1}{2} - \sin x$ B、 $- \sin x$ C、 $\sin x$ D、 $\frac{1}{2} + \sin x$

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5. 函数 $f (x) = \sqrt{x} \cdot \sin x$ 的导数为（）

A、 $f^{'} (x) = 2 \sqrt{x} \cdot \sin x + \sqrt{x} \cdot \cos x$ B、 $f^{'} (x) = 2 \sqrt{x} \cdot \sin x - \sqrt{x} \cdot \cos x$ C、 $f^{'} (x) = \frac{\sin x}{2 \sqrt{x}} + \sqrt{x} \cdot \cos x$ D、 $f^{'} (x) = \frac{\sin x}{2 \sqrt{x}} - \sqrt{x} \cdot \cos x$

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6. 已知函数 $f (x) = a \sin x + b$ 的导函数为 $f^{'} (x)$ ，若 $f^{'} (\frac{π}{3}) = 1$ ，则 $a =$ （）

A、4 B、2 C、1 D、 $\frac{1}{2}$

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7. 已知函数 $f (x) = 2 x f^{'} (e) + \ln x$ ，则 $f (e) =$ （）

A、-e B、e C、-1 D、1

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8. 已知函数 $f (x) = 13 - 8 x + \sqrt{2} x^{2}$ ，且 $f^{'} (x_{0}) ＝ 4$ ，则 $x_{0}$ 的值为（）

A、0 B、3 C、 $3 \sqrt{2}$ D、 $6 \sqrt{2}$

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9. 下列关于 $x$ 的函数的求导的运算中，正确的是（）

A、 ${(\ln x)}^{'} = \frac{1}{x} (x > 0)$ B、 ${(\cos x + x \sin x)}^{'} = - \sin x + \cos x$ C、 ${(\frac{x}{e^{x}})}^{'} = \frac{x - 1}{e^{x}}$ D、 ${(\cos 2 x)}^{'} = 2 \sin 2 x$

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10. 函数 $y = 3 \sin (2 x - \frac{π}{6})$ 的导数为（）

A、 $y^{'} = 6 \cos (2 x - \frac{π}{6})$ B、 $y^{'} = 3 \cos (2 x - \frac{π}{6})$ C、 $y^{'} = - 6 \cos (2 x - \frac{π}{6})$ D、 $y^{'} = - 3 \cos (2 x - \frac{π}{6})$

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11. 下列给出四个求导运算：
① $(x - \frac{1}{x})^{'} = \frac{x^{2} - 1}{x^{2}}$ ；② $(x e^{x})^{'} = e^{x} (x + 1)$ ；③ $(\frac{\sin x}{2})^{'} = \frac{\cos x}{4}$ ；④ $(x^{2} - x - l n x)^{'} = \frac{(x - 1) (2 x + 1)}{x}$ .

其中运算结果正确的个数是（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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12. 已知函数 $f (x)$ 的导函数为 $f^{'} (x)$ ，记 $f_{1} (x) = f^{'} (x)$ ， $f_{2} (x) = f_{1}^{'} (x)$ ，…， $f_{n + 1} (x) = f_{n}^{'} (x)$ $(n \in$ N $^{*})$ . 若 $f (x) = x \sin x$ ，则 $f_{2019} (x) + f_{2021} (x) =$ （）

A、 $- 2 \cos x$ B、 $- 2 \sin x$ C、 $2 \cos x$ D、 $2 \sin x$

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二、填空题

13. 已知函数 $f (x) = x e^{- 2 x}$ ，则 $f^{'} (1) =$ .

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14. 设函数 $f (x) = \frac{e^{x}}{x + a}$ ．若 $f^{'} (1) = \frac{e}{4}$ ，则a= ．

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15. 已知函数 $f (x) = \frac{x^{2} + 1}{x + 1}$ ，则 $f^{'} (x) =$ ．

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16. 已知函数 $f (x) = f^{'} (\frac{π}{3}) \cos x + \sin x$ ，则 $f (\frac{π}{3}) =$ ．

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17. 下列结论正确的是（填写序号）．
①若 $y = \ln 2$ ，则 $y^{'} = \frac{1}{2}$ ；②若 $y = \frac{1}{x^{2}}$ ，则 $y^{'} |_{x = 3} = - \frac{2}{27}$ ；

③若 $y = 2^{x}$ ，则 $y^{'} = 2^{x} \ln 2$ ；④若 $y = \log_{2} x$ ，则 $y^{'} = \frac{1}{x \ln 2}$ ．

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18. 设 $f (x) = a e^{x} + b \ln x$ ，且 $f' (1) = e, f' (- 1) = \frac{1}{e}$ ，则 $a + b =$ .

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三、解答题

19. 求下列函数的导数：
（Ⅰ） $y = 2 x^{2} + \ln x + \cos x$ ；

（Ⅱ） $y = x^{3} e^{x}$ .

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20. 求下列函数的导函数
① $f (x) = - 2 x^{3} + 4 x^{2}$

② $f (x) = \frac{1}{3} x^{3} - x^{2} + a x + 1 (a > 0)$

③ $f (x) = x + \cos x ， x \in (0 ， 1)$

④ $f (x) = - x^{2} + 3 x - \ln x$

⑤ $y = \sin 3 x$

⑥ $y = \frac{x + 1}{x - 1}$

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21. 求下列函数的导数：

(1)、y＝ $\sqrt{1 - 2 x^{2}}$

(2)、y＝ $\frac{e^{x}}{\sin x}$

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22. 求下列函数的导数：

(1)、 $f (x) = (1 + \sin x) (1 - 4 x)$ ；

(2)、 $f (x) = \frac{x}{x + 1} - 2^{x}$ .

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一、单选题

二、填空题

三、解答题

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