高中数学人教新课标A版选修2-2 1.1变化率与导数

试卷更新日期：2020-10-06 类型：同步测试

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一、单选题

1. 函数 $f (x) = x^{2} - 1$ 在区间 $[1, m]$ 上的平均变化率为3，则实数m的值为（）

A、5 B、4 C、3 D、2

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2. 一个物体的位移s(米)和与时间 $t$ (秒)的关系为 $s = 4 - 2 t + t^{2}$ ，则该物体在4秒末的瞬时速度是（）

A、12米/秒 B、8米/秒 C、6米/秒 D、8米/秒

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3. 若直线 $y = x$ 与曲线 $y = e^{2 x + m}$ （ $m \in R$ ，e为自然对数的底数）相切，则 $m =$ （）

A、-2 B、 $- 1 - \ln 2$ C、 $- \ln 2$ D、2

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4. 曲线 $y = (a x + 2) e^{x}$ 在点 $(0 ， 2)$ 处的切线方程为 $y = - 2 x + b$ ，则 $a b =$ （）

A、 $- 4$ B、 $- 8$ C、4 D、8

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5. 函数 $f (x) = x^{2}$ 在区间 $[- 1, 2]$ 上的平均变化率为（）

A、-1 B、1 C、2 D、3

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6. 某物体沿水平方向运动，其前进距离s（米）与时间t（秒）的关系为 $s (t) = 5 t + 2 t^{2}$ ，则该物体在运行前2秒的平均速度为（）（米/秒）

A、18 B、13 C、9 D、 $\frac{13}{2}$

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7. 曲线 $y = x^{2}$ 在 $(1 ， 1)$ 处的切线方程是（）

A、 $2 x + y + 3 = 0$ B、 $2 x - y - 3 = 0$ C、 $2 x + y + 1 = 0$ D、 $2 x - y - 1 = 0$

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8. 若 $\lim_{Δ x \to 0} \frac{f (x_{0} + Δ x) - f (x_{0})}{Δ x} = 1$ ，则 $f' (x_{0})$ 等于（）

A、0 B、1 C、3 D、 $\frac{1}{3}$

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9. 曲线 $f (x) = \sin x \cos x$ 在点 $(\frac{π}{6} ， f (\frac{π}{6}))$ 处的切线斜率为（）

A、 $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ B、 $- \frac{1}{4}$ C、 $\frac{1}{4}$ D、 $\frac{1}{2}$

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10. 若曲线 $y = x^{4} - x^{3} + a x$ ( $x > 0$ )存在斜率小于1的切线，则a的取值范围为（）

A、 $(- \infty ， \frac{3}{2})$ B、 $(- \infty ， \frac{1}{2})$ C、 $(- \infty ， \frac{5}{4})$ D、 $(- \infty ， \frac{1}{4})$

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11. 已知e为自然对数的底数，过原点与函数 $f (x) = e^{x}$ 图像相切的直线方程为（）

A、 $y = e^{x} \cdot x$ B、 $y = x$ C、 $y = e x$ D、 $y = \frac{1}{e} x$

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12. 已知函数 $f (x)$ 为偶函数，当x＜0时， $f (x) = x^{2} - \ln (- x)$ ，则曲线 $y = f (x)$ 在x＝1处的切线方程为（）

A、x-y＝0 B、x-y-2＝0 C、x+y-2＝0 D、3x-y-2＝0

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13. 函数 $y = \sin | x | + x$ 在 $x \in [- 2 π ， 2 π]$ 上的大致图象是（）

A、 B、 C、 D、

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14. 某堆雪在融化过程中，其体积V（单位： $m^{3}$ ）与融化时间t（单位：h）近似满足函数关系： $V (t) = H {(10 - \frac{1}{10} t)}^{3}$ （H为常数），其图象如图所示.记此堆雪从融化开始到结束的平均融化速度为 $\bar{v} (m^{3} / h)$ .那么瞬时融化速度等于 $\bar{v} (m^{3} / h)$ 的时刻是图中的（）.

A、 $t_{1}$ B、 $t_{2}$ C、 $t_{3}$ D、 $t_{4}$

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二、填空题

15. 已知直线 $y = x + b$ 是曲线 $y = e^{x} + 3$ 的一条切线，则 $b =$ .

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16. 若一汽车在公路上做加速运动，设 $t$ 秒时的速度为 $v (t) = \frac{1}{2} t^{2} + 10$ ，则该车在 $t = 2$ 时的加速度为．

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17. 如图，直线 $l$ 是曲线 $y = f (x)$ 在 $x = 3$ 处的切线，则 $f^{'} (3) =$ .

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18. 已知函数 $y = \sin x$ 在区间 $[0, \frac{π}{6}]$ ， $[\frac{π}{3}, \frac{π}{2}]$ 上的平均变化率分别为 $k_{1}$ ， $k_{2}$ ，那么 $k_{1}$ ， $k_{2}$ 的大小关系为.

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19. 已知定义在R上的奇函数 $f (x)$ ，当 $x < 0$ 时， $f (x) = - 2 \cos x - \sin x$ ，则 $f (x)$ 在点 $(\frac{π}{2}, - 1)$ 处的切线方程为.

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20. 点P(4，4)为曲线C： $x^{2} = 2 p y$ 上一点，过P作直线PQ交曲线C于点Q(异于P点)，P与曲线C的焦点F的连线与Q点处的切线l垂直，直线l与曲线C的准线交于点M ，则 $\vec{F M}$ $\cdot$ $\vec{P Q} =$

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三、解答题

21. 求下列函数的导数

(1)、y=2x³﹣3x²﹣4；

(2)、y=xlnx；

(3)、 $y = \frac{c o s x}{x}$ ．

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22. 物体作直线运动的方程s=t²+2t﹣3，求物体在t=2秒时的速度和加速度．

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23. 已知函数 $f (x) ＝ 2 x^{3} ＋ 3 x^{2} － 12 x ＋ 5$ ，求曲线 $y ＝ f (x)$ 在点 $(0 ， 5)$ 处的切线方程；

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24. 已知曲线 y = x³+ x－2 在点 P₀处的切线 $l_{1}$ 平行于直线4x－y－1=0，且点 P₀在第三象限,

(1)、求P₀的坐标;

(2)、若直线 $l ⊥ l_{1}$ , 且 l 也过切点P₀,求直线l的方程.

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一、单选题

二、填空题

三、解答题

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