浙江省浙北G22019-2020学年高一上学期数学期中考试试卷

试卷更新日期：2020-09-30 类型：期中考试

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一、单选题

1. 已知集合 $P = {x | x^{2} = 1}$ ， $Q = {x | x^{2} - x = 0}$ ，那么 $P \cup Q$ =（）

A、 ${- 1 ， 1}$ B、 ${1}$ C、 ${- 1 ， 0 ， 1}$ D、 ${0 ， 1}$

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2. 函数 $f (x) = \sqrt{x + 1} - \frac{1}{x}$ 的定义域是（）

A、 $R$ B、 $[- 1 ， + \infty)$ C、 $(- \infty ， 0) \cup (0 ， + \infty)$ D、 $[- 1 ， 0) \cup (0 ， + \infty)$

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3. 函数 $f (x) = \log_{\frac{1}{2}} (2 - x)$ 的单调递增区间是（）

A、 $(- \infty ， 2)$ B、 $(- \infty ， 0)$ C、 $(2 ， + \infty)$ D、 $(0 ， + \infty)$

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4. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} x + \frac{2}{x} + 2 ， x < 0 \\ - x^{2} - 1 ， x \geq 0 \end{array}$ ，则 $f (x)$ 的最大值是（）

A、 $2 + 2 \sqrt{2}$ B、 $2 - 2 \sqrt{2}$ C、-1 D、1

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5. 函数 $y = x + a$ 与 $y = a^{x}$ ，其中 $a > 0$ ，且 $a \neq 1$ ，它们的大致图象在同一直角坐标系中有可能是（）

A、 B、 C、 D、

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6. 若实数 $a ， b$ 满足 $\log_{a} (a - b) > 1$ ，其中 $a > 0$ ，且 $a \neq 1$ ，则（）

A、 $(a - 1) (b - 1) < 0$ B、 $(a - 1) (b - 1) > 0$ C、 $(a - 1) b < 0$ D、 $(a - 1) b > 0$

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7. 已知实数 $x_{0}$ 是函数 $f (x) = \sqrt{x} - \frac{6}{x}$ 的一个零点，若 $0 < x_{1} < x_{0} < x_{2}$ ，则（）

A、 $f (x_{1}) < 0 ， f (x_{2}) < 0$ B、 $f (x_{1}) < 0 ， f (x_{2}) > 0$ C、 $f (x_{1}) > 0 ， f (x_{2}) < 0$ D、 $f (x_{1}) > 0 ， f (x_{2}) > 0$

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8. 设函数 $f (x)$ 为定义在 $R$ 上的奇函数，且当 $x \leq 0$ 时， $f (x) = {(\frac{1}{2})}^{x} + 2 x + b$ （其中 $b$ 为实数），则 $f (1)$ 的值为（）

A、-3 B、-1 C、1 D、3

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9. 若函数 $f (x) = \frac{a x^{2} + b x + 2019}{x^{2}}$ 在区间 $[2019 ， 2020]$ 上的最大值是 $M$ ，最小值是 $m$ ，则 $M - m$ （）

A、与 $a$ 无关，但与 $b$ 有关 B、与 $a$ 无关，且与 $b$ 无关 C、与 $a$ 有关，但与 $b$ 无关 D、与 $a$ 有关，且与 $b$ 有关

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10. 已知函数 $f (x) = 2019^{x} + \ln (\sqrt{x^{2} + 1} + x) - 2019^{- x} + 1$ ，则关于 $x$ 的不等式 $f (2 x - 1) + f (2 x) > 2$ 的解集为（）

A、 $(- \infty ， \frac{1}{4})$ B、 $(- \infty ， \frac{1}{2})$ C、 $(\frac{1}{4} ， + \infty)$ D、 $(\frac{1}{2} ， + \infty)$

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二、双空题

11. 已知全集 $U = {1, 2, 3, 4, 5}$ ， $A = {1, 3}$ ， $B = {1, 2, 5}$ ，则 $A \cap B =$ ， $(C_{U} A) \cup B =$ ．

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12. 已知 $f (x) = x^{2} + (b - 2) x$ 是定义在 $R$ 上的偶函数，则实数 $b =$ ，此函数 $f (x)$ 的单调增区间为．

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13. 已知幂函数 $f (x)$ 的图象经过点 $(4, 2)$ ，则函数 $f (x) =$ ，若 $f (2 - a) > f (a - 1)$ ，则实数 $a$ 的取值范围是．

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14. 设函数 $f (x) = {\begin{array}{l} {(x + 1)}^{2}, x < 1 \\ 4 - \sqrt{x - 1}, x \geq 1 \end{array}$ ，则 $f (f (0)) =$ ，使得 $f (a) \geq 4 a$ 的实数 $a$ 的取值范围是．

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三、填空题

15. 已知函数 $f (x) = | \lg x | + 2$ ,若实数 $a, b$ 满足 $b > a > 0$ ，且 $f (a) = f (b)$ ，则 $a + 2 b$ 的取值范围是．

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16. 已知实数 $a, b$ 满足 $\log_{2} b - 3 \log_{2} a = 2$ ，且 $a^{a} = b^{b}$ ，且 $a + b =$ .

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17. 已知集合 $P = {1, 2, 3, 4, 5}$ ，若 $A, B$ 是 $P$ 的两个非空子集，则所有满足 $A$ 中的最大数小于 $B$ 中的最小数的集合对 $(A, B)$ 的个数为．

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四、解答题

18. 已知 $A = {x | \frac{6 - x}{x - 2} > 0}$ ， $B = {x | (x - 1 - a) (x - 1 + a) \leq 0}$ ．
（Ⅰ）当 $a = 2$ 时，求 $A \cap B$ ；

（Ⅱ）当 $a > 0$ 时，若 $A \cup B = B$ ，求实数a的取值范围．

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19. 已知函数 $f (x) = (x - a) (2 x + 3) - 6$
（Ⅰ）若 $a = - 1$ ，求 $f (x)$ 在 $[- 3, 0]$ 上的最大值和最小值；

（Ⅱ）若关于 $x$ 的方程 $f (x) + 14 = 0$ 在 $(0, + \infty)$ 上有两个不相等实根，求实数 $a$ 的取值范围．

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20. 已知实数 $a > 0$ ，定义域为 $R$ 的函数 $f (x) = \frac{e^{x}}{a} + \frac{a}{e^{x}}$ 是偶函数，其中 $e$ 为自然对数的底数．
（Ⅰ）求实数 $a$ 值；

（Ⅱ）判断该函数 $f (x)$ 在 $(0, + \infty)$ 上的单调性并用定义证明；

（Ⅲ）是否存在实数 $m$ ，使得对任意的 $t \in R$ ，不等式 $f (t - 2) < f (2 t - m)$ 恒成立．若存在，求出实数 $m$ 的取值范围；若不存在，请说明理由．

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21. 已知函数 $f (x) = \log_{3} \frac{m x^{2} + 8 x + n}{x^{2} + 1}$ ．
（Ⅰ）若 $m = 4, n = 4$ ，求函数 $f (x)$ 的定义域和值域；

（Ⅱ）若函数 $f (x)$ 的定义域为 $R$ ，值域为 $[0, 2]$ ，求实数 $m, n$ 的值．

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22. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} 2 - 2 x, 0 \leq x < 1, \\ \ln x, 1 \leq x \leq e \end{array}$ ，其中 $e$ 为自然对数的底数．
（Ⅰ）求 $f (f (\sqrt{e}))$ 的值；

（Ⅱ）写出函数 $F (x) = | f (x) - 1 |$ 的单调递减区间(无需证明) ；

（Ⅲ）若实数 $x_{0}$ 满足 $f (f (x_{0})) = x_{0}$ ，则称 $x_{0}$ 为 $f (x)$ 的二阶不动点，求函数 $f (x)$ 的二阶不动点的个数．

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