浙江省湖州市2019-2020学年高一上学期数学期中考试试卷

试卷更新日期：2020-09-30 类型：期中考试

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一、单选题

1. 设集合 $A = {x | (x - 1) (x + 1) = 0}$ ，则（）

A、 $\emptyset \in A$ B、 $1 \in A$ C、 ${- 1} \in A$ D、 ${- 1, 1} \in A$

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2. 函数 $f (x) = \log_{2} (x + 1) + \frac{1}{\sqrt{1 - x}}$ 的定义域为（）

A、 $[- 1 ， 1]$ B、 $(- 1 ， 1]$ C、 $[- 1 ， 1)$ D、 $(- 1 ， 1)$

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3. 设 $A = {a, b}$ ，集合 $B = {a - 1, 5}$ ，若 $A \cap B = {2}$ ，则 $A \cup B =$ （）

A、 ${2, 3}$ B、 ${2, 5}$ . C、 ${3, 5}$ D、 ${2, 3, 5}$

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4. 下列函数中，既是偶函数，又在 $(0 ， + \infty)$ 上是增函数的是（）

A、 $y = x^{\frac{1}{2}}$ B、 $y = \ln | x |$ C、 $y = x | x |$ D、 $y = - x^{2}$

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5. 函数 $f (x) = \ln x + 2 x - 3$ 的零点所在的区间是（）

A、(0,1) B、(1,2) C、(2,3) D、(3,4)

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6. 设 $f (\log_{2} x) = 2^{x} (x > 0)$ ，则 $f (3)$ 的值是（）

A、128 B、256 C、512 D、1024

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7. 下列对应关系是从集合 $A$ 到集合 $B$ 的函数的是（）

A、 $A = R$ ， $B = {x | x > 0}$ ， $f$ ： $x \to y = | x |$ B、 $A = R$ ， $B = {x | x > 0}$ ， $f$ ： $x \to y = \ln x$ C、 $A = Z$ ， $B = N$ ， $f$ ： $x \to y = \sqrt{x}$ D、 $A = Z$ ， $B = N$ ， $f$ ： $x \to y = x^{2}$

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8. 下列各式中错误的是（）

A、 $3^{0.8} > 3^{0.7}$ B、 $\log_{0.5} 0.4 > \log_{0.5} 0.6$ C、 ${0.75}^{- 0.1} < {0.75}^{0.1}$ D、 $\log_{2} \sqrt{3} > \log_{3} \sqrt{2}$

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9. 在同一平面直角坐标系中，函数 $f (x) = x^{a} (x > 0)$ ， $g (x) = \log_{\frac{1}{a}} (x + \frac{1}{2})$ （ $a > 0$ 且 $a \neq 1$ ）的部分图象可能是（）

A、 B、 C、 D、

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10. 已知函数 $f (x)$ 在定义域 $(0, + \infty)$ 内单调且对任意 $x \in (0, + \infty)$ 时，都有 $f (f (x) - \log_{2} x) = 3$ ，若方程 $| f (x) - 2 | = - x^{2} + 2 x + a$ 在区间 $(0, 2)$ 上有2个解，则实数 $a$ 的取值范围（）

A、 $(- 1, 1)$ B、 $(- 1, 1]$ C、 $[- 1, 1)$ D、 $(- 1, + \infty)$

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二、双空题

11.

(1)、 $\log_{2} 3 \cdot \log_{3} 2 =$ ，

(2)、 $π^{0} + \sqrt{{(1 - π)}^{2}} =$ .

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12. 若定义域为 $[2 a - 10, 3 a]$ 的函数 $f (x) = 5 x^{2} + 2 b x - 3 a + 1$ 是偶函数，则 $a =$ ， $b =$ .

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13. 函数 $f (x) = \log_{\frac{1}{2}} (- x^{2} - 2 x + 3)$ 的定义域为，最小值为.

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14. 定义 $m a x {a, b} = {\begin{array}{l} a, a \geq b \\ b, a < b \end{array}$ ，已知函数 $f (x) = m a x {{(\frac{1}{2})}^{x}, \frac{1}{2} x - \frac{3}{4}}$ ，则 $f (x)$ 最小值为，不等式 $f (x) < 2$ 的解集为.

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三、填空题

15. 定义在 $R$ 上的函数 $f (x) = {\begin{array}{l} \log_{2} (x - 1), x \geq 3 \\ f (x + 1), x < 3 \end{array}$ ，则 $f (1) =$ .

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16. 已知函数 $f (x) = a^{x} - \frac{1}{a^{x}} (0 < a < 1)$ ，若对任意 $x \in R$ ，不等式 $f (m x^{2}) + f (x - 1) > 0$ 恒成立，则实数 $m$ 的取值范围.

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17. 已知函数 $f (x) = {\begin{matrix} 4 x - 1, 0 < x < 1 \\ 3^{x} - 1, x \geq 1 \end{matrix}$ ，设 $b > a \geq 0$ ，若 $f (a) = f (b)$ ，则 $a \cdot f (b)$ 的取值范围是.

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四、解答题

18. 设集合 $A = {x | x^{2} - 2 x - 3 < 0}$ ， $B = {x | a \leq x \leq a + 5}$ .

(1)、求 $C_{R} A$ ；

(2)、若 $A \subseteq B$ ，求实数 $a$ 的取值范围.

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19. 函数 $f (x)$ 是定义在 $R$ 上的奇函数，当 $x > 0$ 时， $f (x) = x^{2} - 4 x$ .

(1)、设 $g (x) = f (x)$ ， $x \in [- 4, 4]$ ，求函数 $g (x)$ 的值域；

(2)、当 $m > 0$ 时，若 $| f (m) | = 3$ ，求实数 $m$ 的值.

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20. 已知函数 $f (x) = a \cdot 2^{x + 1} - \frac{1}{2^{x}} + 1$ .

(1)、当 $a = - \frac{1}{2}$ 时，求函数 $f (x)$ 在 $x \in [- 1, 1]$ 上的值域；

(2)、若函数 $f (x)$ 在实数集 $R$ 上存在零点，求实数 $a$ 的取值范围.

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21. 设函数 $f (x) = \log_{\frac{1}{2}} \frac{1 + x}{a x - 1} + x$ 为奇函数， $a$ 为常数.

(1)、求 $a$ 的值，并指出函数 $f (x)$ 在 $(1, + \infty)$ 上的单调性（无需证明）；

(2)、若在区间 $[2, 3]$ 上存在 $x$ 使得不等式 $\log_{\frac{1}{2}} (x + 1) > {(\frac{1}{2})}^{x} + \log_{\frac{1}{2}} (x - 1) \cdot 2^{x} + m$ 成立，求实数 $m$ 的取值范围.

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22. 已知函数 $f (x) = | x - a | - 2, a \in R$

(1)、若函数 $f (x)$ 在 $x \in [- 1, 1]$ 时的最大值为1，求实数 $a$ 的值；

(2)、若函数 $g (x) = x \cdot f (x) + 2 a$ ，记 $g (x)$ 在 $x \in [- 2, 2]$ 时的最大值为 $M (a)$ ，求 $M (a)$ .

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