浙江省“七彩阳光”新高考研究联盟2019-2020学年高一上学期数学期中联考试卷

试卷更新日期：2020-09-30 类型：期中考试

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一、单选题

1. 设集合 $A = {x | x > 0}$ ， $B = {x | x \leq - 1}$ ，则 $A \cap ∁_{R} B =$ （）

A、 $\emptyset$ B、 ${x | - 1 < x < 0}$ C、 ${x | x > 0}$ D、 ${x | x > - 1}$

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2. 以下形式中，不能表示“ $y$ 是 $x$ 的函数”的是（）

A、 B、 C、 $y = x^{2}$ D、 $(x + y) (x - y) = 0$

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3. 设函数 $f (x) = \log_{\frac{1}{2}} (x - 1)$ ，则（）

A、 $f (x)$ 在 $(0, + \infty)$ 单调递增 B、 $f (x)$ 在 $(0, + \infty)$ 单调递减 C、 $f (x)$ 在 $(1, + \infty)$ 单调递增 D、 $f (x)$ 在 $(1, + \infty)$ 单调递减

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4. 下列函数中，值域是 $[0, + \infty)$ 的是（）

A、 $y = 2^{x}$ B、 $y = \sqrt{x^{2} + 1}$ C、 $y = \ln (x^{2} + 1)$ D、 $y = {(\frac{1}{x})}^{2}$

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5. 函数 $f (x) = \frac{\ln (1 - x^{2})}{x}$ 的图象关于（）

A、 $x$ 轴对称 B、原点对称 C、 $y$ 轴对称 D、直线 $y = x$ 对称

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6. 函数 $y = a^{x} - a^{2} + a$ （ $a > 0$ 且 $a \neq 1$ ）的图象不可能是（）

A、 B、 C、 D、

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7. 设 $a \in (0, \frac{1}{2})$ ，则 $\log_{\frac{1}{2}} a, \log_{a} (\log_{\frac{1}{2}} a), \log_{a} \frac{1}{2}$ 之间的大小关系是（）

A、 $\log_{\frac{1}{2}} a > \log_{a} \frac{1}{2} > \log_{a} (\log_{\frac{1}{2}} a)$ B、 $\log_{\frac{1}{2}} a > \log_{a} (\log_{\frac{1}{2}} a) > \log_{a} \frac{1}{2}$ C、 $\log_{a} \frac{1}{2} > \log_{\frac{1}{2}} a > \log_{a} (\log_{\frac{1}{2}} a)$ D、 $\log_{a} \frac{1}{2} > \log_{a} (\log_{\frac{1}{2}} a) > \log_{\frac{1}{2}} a$

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8. 设函数 $f (x) = x^{2} + \ln (| x | + 1)$ ，则使得 $f (x) > f (2 x - 1)$ 的 $x$ 的取值范围是（）

A、 $(- \infty, 1)$ B、 $(\frac{1}{3}, + \infty)$ C、 $(- \infty, \frac{1}{3}) \cup (1, + \infty)$ D、 $(\frac{1}{3}, 1)$

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9. 若一系列函数的解析式和值域相同，但其定义域不同，则称这些函数为“同族函数”，例如函数 $y = x^{2}$ ， $x \in [1, 2]$ 与函数 $y = x^{2}$ ， $x \in [- 2, - 1]$ 即为“同族函数”.下面函数解析式中也能够被用来构造“同族函数”的是（）

A、 $y = x$ B、 $y = x + \frac{1}{x}$ C、 $y = 2^{x} - 2^{- x}$ D、 $y = \log_{0.5} x$

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10. 已知函数 $f (x) = | \frac{4}{x - 1} - t |$ 在区间 $[2, 5]$ 的最大值为2，则 $t$ 的值为（）

A、2 B、3 C、2或3 D、-1或6

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二、填空题

11. 已知 $f (x)$ 为幂函数，且图象过 $(3, \frac{\sqrt{3}}{3})$ ，则 $f (4) =$

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12. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} - \lg x + 1, 0 < x \leq 1 \\ a^{x} + 3 - 2 a, x > 1 \end{array}$ ，其中 $a > 0$ 且 $a \neq 1$ ，若 $f (x)$ 的值域为 $[1, + \infty)$ ，则实数 $a$ 的取值范围是

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13. 已知二次函数 $f (x) = 2 x^{2} + a x + b (a, b \in R)$ ， $M, m$ 分别是函数 $f (x)$ 在区间 $[0, 2]$ 的最大值和最小值，则 $M - m$ 的最小值是

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三、双空题

14. $\sqrt{4 - 2 \sqrt{3}} - \frac{\sqrt{27}}{3} + \sqrt{{(- \frac{2}{3})}^{2}} =$ ； $2^{2 - \log_{2} 3} =$

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15. 函数 $f (x) = \sqrt{8 - 2^{x}}$ 的定义域，值域为

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16. 函数 $f (x) = {\begin{array}{l} 3^{x + 1} + a, x \geq 0 \\ b \cdot 3^{- x} + c, x < 0 \end{array}$ 为奇函数，则 $a =$ ， $9 b + c =$

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四、解答题

17. 已知集合 $A = {x | x \leq - 3$ 或 $x \geq 4}$ ， $B = {x | 4 a \leq x \leq a + 3}$ .

(1)、若 $a = - 1$ ，求 $A \cap B$ ， $A \cup B$

(2)、若 $B \subseteq A$ ，求实数 $a$ 的取值范围.

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18. 已知函数 $f (x) = \frac{x}{x^{2} - 4}$ .

(1)、判断函数 $f (x)$ 在 $(2, + \infty)$ 上的单调性并证明；

(2)、判断函数 $f (x)$ 的奇偶性，并求 $f (x)$ 在区间 $[- 6, - 3]$ 上的最大值与最小值.

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19. 已知函数 $f (x) = \frac{a \cdot 2^{x} + 1}{2^{x} - 1}$ .

(1)、当 $a = 1$ 时，解方程 $lg f (2 x) - \lg f (x) = 1 - \lg 18$ .

(2)、当 $x \in (0, 1]$ 时， $| f (2 x) - f (x) | \geq 1$ 恒成立，求实数 $a$ 的取值范围.

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20. 设函数 $f (x) = a x^{2} - 2 | x - a |$ .

(1)、当 $a = \frac{1}{2}$ 时，求函数 $f (x)$ 的值域；

(2)、若对任意 $x \in [1, 2]$ ，恒有 $f (x) \geq - 1$ ，求实数 $a$ 的取值范围.

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