福建省龙岩市永定区2019-2020学年九年级上学期数学期中试卷

试卷更新日期：2020-09-28 类型：期中考试

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一、单选题

1. 下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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2. 下列方程属于一元二次方程的是（）

A、 $(x^{2} - 2) \cdot x = x^{2}$ B、 $a x^{2} + b x + c = 0$ C、 $x + \frac{1}{x} = 5$ D、 $x^{2} = 0$

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3. 平面直角坐标系内一点P（2，-3）关于原点对称点的坐标是（）

A、（3，-2） B、（2，3） C、（-2，3） D、（2，-3）

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4. 二次函数y＝ $\frac{1}{2}$ (x－4)²＋5的图象的开口方向、对称轴、顶点坐标分别是（）

A、向上，直线x＝4，(4，5) B、向上，直线x＝－4，(－4，5) C、向上，直线x＝4，(4，－5) D、向下，直线x＝－4，(－4，5)

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5. 将一元二次方程x²﹣4x﹣7＝0配方，所得的方程是（）

A、（x﹣2）²＝11 B、（x﹣2）²＝3 C、（x+2）²＝11 D、（x+2）²＝3

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6. 某厂一月份生产某机器100台，计划三月份生产144台．设二、三月份每月的平均增长率为x，根据题意列出的方程是（）

A、100（1+x）²＝144 B、100（1﹣x）²＝144 C、144（1+x）²＝100 D、144（1﹣x）²＝100

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7. 如图，四边形ABCD内接于⊙O ，若∠BCD＝110°，则∠BOD的度数为（）

A、35° B、70° C、110° D、140°

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8. 过⊙O内一点M的最长弦长为10 cm ，最短弦长为8 cm ，那么OM为（）

A、6 cm B、3 cm C、 $\sqrt{41}$ cm D、9 cm

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9. 若函数y= $x^{2}$ +2x-b的图像与坐标轴有三个交点，则b的取值范围是（）

A、b>1且b≠0 B、b<1且b≠0 C、b≤1且b≠0 D、b≥-1且b≠0

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10. 我们知道，一元二次方程x²＝﹣1没有实数根，即不存在一个实数的平方等于﹣1．若我们规定一个新数“i”，使其满足i²＝﹣1（即方程x²＝﹣1有一个根为i）．并且进一步规定：一切实数可以与新数进行四则运算，且原有运算律和运算法则仍然成立，于是有i¹＝i，i²＝﹣1，i³＝i²×i＝（﹣1）×i＝﹣i，i⁴＝（i²）²＝（﹣1）²＝1，从而对任意正整数n，我们可以得到i⁴ⁿ⁺¹＝i⁴ⁿ×i＝（i⁴）ⁿ×i＝i，i⁴ⁿ⁺²＝﹣1，i⁴ⁿ⁺³＝﹣i，i⁴ⁿ＝1．那么i+i²⁺i³⁺i⁴+…+i²⁰¹²+i²⁰¹³+…+i²⁰¹⁹的值为（）

A、0 B、1 C、﹣1 D、i

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二、填空题

11. 一元二次方程3x（x﹣3）＝2x²﹣1化为一般形式为．

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12. 在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A的坐标为（4，1），将OA绕原点逆时针方向旋转90°得OB，则点B的坐标为．

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13. 点A（2，y₁）、B（3，y₂）是二次函数y＝x²﹣2x+m的图象上两点，则y₁与y₂的大小关系为y₁y₂（填“＞”、“＜”、“＝”）．

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14. 在平面直角坐标系中，将抛物线y= $x^{2}$ 先向右平移两个单位，再向上平移两个单位，得到的抛物线关系式是.

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15. 如图，点 $A$ ， $B$ ， $C$ ， $D$ 在 $⊙ O$ 上， $\overset{⌢}{C B} = \overset{⌢}{C D}$ ， $∠ C A D = 30 °$ ， $∠ A C D = 50 °$ ，则 $∠ A D B =$ .

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16. 如图所示，在四边形ABCD中，∠ABC=30°，将△DCB绕点C顺时针旋转60°后，点D的对应点恰好与点A重合，得到△ACE，若AB=6，BC=8，则BD=.

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三、解答题

17. 选用适当的方法，解下列方程：

(1)、x²﹣2x﹣3=0；

(2)、2x（x﹣2）=x﹣2．

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18. 现将进货为40元的商品按50元售出时，就能卖出500件．已知这批商品每件涨价1元，其销售量将减少10个．问为了赚取8000元利润，同时尽量照顾到顾客的利益，售价应定为多少？这时应进货多少件？

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19. 如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（1，﹣4）、B（3，﹣3）、C（1，﹣1）（每个小方格都是边长为一个单位长度的正方形）．

(1)、请画出△ABC关于原点对称的△A₁B₁C₁ ，并写出A₁ ， B₁ ， C₁的坐标；

(2)、请画出△ABC绕点B逆时针旋转90°后的△A₂B₂C₂ ．

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20. 如图，已知抛物线y=x²+x﹣6与x轴两个交点分别是A、B（点A在点B的左侧）．

(1)、求A、B的坐标；

(2)、利用函数图象，写出y＜0时，x的取值范围．

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21. 如图，⊙O的直径AB为10cm，弦AC为6cm，

(1)、用尺规作图画出∠ACB的平分线交⊙O于点D．（不要写作法，保留作图痕迹）

(2)、分别连接点AD和BD，求弦BC、AD、BD的长．

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22. 参与两个数学活动，再回答问题：
活动 $①$ ：观察下列两个两位数的积 $($ 两个乘数的十位上的数都是9，个位上的数的和等于 $10)$ ，猜想其中哪个积最大？

$91 \times 99$ ， $92 \times 98$ ， $93 \times 97$ ， $94 \times 96$ ， $95 \times 95$ ， $96 \times 94$ ， $97 \times 93$ ， $98 \times 92$ ， $99 \times 91$ ．

活动 $②$ ：观察下列两个三位数的积 $($ 两个乘数的百位上的数都是9，十位上的数与个位上的数组成的数的和等于 $100)$ ，猜想其中哪个积最大？

$901 \times 999$ ， $902 \times 998$ ， $903 \times 997$ ， $\dots$ ， $997 \times 903$ ， $998 \times 902$ ， $999 \times 901$ ．

(1)、分别写出在活动 $①$ 、 $②$ 中你所猜想的是哪个算式的积最大？

(2)、对于活动 $①$ ，请用二次函数的知识证明你的猜想．

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23. 已知关于x的一元二次方程x²﹣x+ $\frac{1}{4}$ m＝0有两个实数根．

(1)、若m为正整数，求此方程的根．

(2)、设此方程的两个实数根为a、b，若y＝a（a﹣1）﹣2b²+2b+1，求y的取值范围．

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24. 如图

(1)、如图1，点P是等边△ABC内一点，已知PA＝3，PB＝4，PC＝5，求∠APB的度数．
分析：要直接求∠A的度数显然很因难，注意到条件中的三边长恰好是一组勾股数，因此考虑借助旋转把这三边集中到一个三角形内．

解：如图2，作∠PAD＝60°使AD＝AP，连接PD，CD，则△PAD是等边三角形．

∴＝AD＝AP＝3，∠ADP＝∠PAD＝60°

∵△ABC是等边三角形

∴AC＝AB，∠BAC＝60°∴∠BAP＝

∴△ABP≌△ACD

∴BP＝CD＝4，＝∠ADC

∵在△PCD中，PD＝3，PC＝5，CD＝4，PD²+CD²＝PC²

∴∠PDC＝°

∴∠APB＝∠ADC＝∠ADP+∠PDC＝60°+90°＝150°

(2)、如图3，在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝90°，点P是△ABC内一点，PA＝1，PB＝2，PC＝3，求∠APB的度数．

(3)、拓展应用．如图4，△ABC中，∠ABC＝30°，AB＝4，BC＝5，P是△ABC内部的任意一点，连接PA，PB，PC，则PA+PB+PC的最小值为．

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25. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，直线 $y = 4 x + 4$ 与 $x$ 轴、 $y$ 轴分别交于点 $A$ ， $B$ ，抛物线 $y = a x^{2} + b x - 3 a$ 经过点 $A$ ，将点 $B$ 向右平移5个单位长度，得到点 $C$ ．

(1)、求点 $C$ 的坐标；

(2)、求抛物线的对称轴；

(3)、若抛物线与线段 $B C$ 恰有一个公共点，结合函数图象，求 $a$ 的取值范围．

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