福建省福州市台江区2019-2020学年九年级上学期数学期中试卷

试卷更新日期：2020-09-28 类型：期中考试

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一、单选题

1. 抛物线 y＝（x﹣1）²﹣2 的顶点是（）

A、（1，﹣2） B、（﹣1，2） C、（1，2） D、（﹣1，﹣2）

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2. 将二次函数 $y = x^{2} - 6 x + 5$ 用配方法化成 $y = {(x - h)}^{2} + k$ 的形式，下列结果中正确的是（）

A、 $y = {(x - 6)}^{2} + 5$ B、 $y = {(x - 3)}^{2} + 5$ C、 $y = {(x - 3)}^{2} - 4$ D、 $y = {(x + 3)}^{2} - 9$

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3. 在△ABC中，∠C=90°，以点B为圆心，以BC长为半径作圆，点A与该圆的位置关系为（）

A、点A在圆外 B、点A在圆内 C、点A在圆上 D、无法确定

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4. 如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，连接BD.则∠CBD的度数是（）

A、30° B、45° C、60° D、90°

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5. 根据圆规作图的痕迹，可用直尺成功找到三角形外心的是（）

A、 B、 C、 D、

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6. 已知抛物线 $y = - x^{2} + b x + 4$ 经过 $(- 2, n)$ 和 $(4, n)$ 两点，则n的值为（）

A、﹣2 B、﹣4 C、2 D、4

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7. 要得到抛物线y＝2（x﹣4）²+1，可以将抛物线y＝2x²（）

A、向左平移4个单位长度，再向上平移1个单位长度 B、向左平移4个单位长度，再向下平移1个单位长度 C、向右平移4个单位长度，再向上平移1个单位长度 D、向右平移4个单位长度，再向下平移1个单位长度

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8. 如图，已知A，B，C，D是圆上的点，弧AD＝弧BC，AC，BD交于点E，则下列结论正确的是（）

A、AB＝AD B、BE＝CD C、AC＝BD D、BE＝AD

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9. 如图，点 $A$ 是半圆上的一个三等分点，点 $B$ 为弧 $A D$ 的中点， $P$ 是直径 $C D$ 上一动点，⊙O的半径是2，则 $P A + P B$ 的最小值为（）

A、2 B、 $\sqrt{5}$ C、 $\sqrt{3} + 1$ D、 $2 \sqrt{2}$

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10. 已知二次函数y=（x﹣h）²+1（h为常数），在自变量x的值满足1≤x≤3的情况下，与其对应的函数值y的最小值为5，则h的值为（）

A、1或﹣5 B、﹣1或5 C、1或﹣3 D、1或3

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二、填空题

11. 已知一个二次函数的图象开口向上，顶点坐标为（2，3），那么这个二次函数的解析式可以是．

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12. 已知圆锥的底面半径为 $10$ ，母线长为 $30$ ，则圆锥侧面积是．

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13. 如图，点 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 、 $D$ 、 $E$ 在 $⊙ O$ 上，且弧 $A B$ 为 $50 °$ ，则 $∠ E + ∠ C =$ ．

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14. 某二次函数的几组对应值如下表所示，若 x₁＜x₂＜x₃＜x₄＜x₅ ，则该函数图象的开口方向是．

x

x₁

x₂

x₃

x₄

x₅

y

﹣3

﹣ $\frac{5}{4}$

0

2

﹣1

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15. 如图，在平面直角坐标系中，已知 $C (3 ， 4)$ ，以点 $C$ 为圆心的圆与 $y$ 轴相切．点 $A$ 、 $B$ 在 $x$ 轴上，且 $O A = O B$ ．点 $P$ 为 $⊙ C$ 上的动点， $∠ A P B = 90^{\circ}$ ，则 $A B$ 长度的最大值为．

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16. 如图，平行于x轴的直线AC分别交抛物线y₁＝x²（x≥0）与y₂＝ $\frac{x^{2}}{3}$ （x≥0）于B、C两点，过点C作y轴的平行线交y₁于点D，直线DE∥AC，交y₂于点E，则 $\frac{D E}{B C}$ ＝．

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三、解答题

17. 已知抛物线的顶点坐标（2，3）且过点（3，4），求抛物线的解析式．

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18. 如图，以BC为直径，在半径为2，圆心角为90°的扇形内作半圆，交弦AB于点D，连接CD，求图中阴影部分的面积．

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19. 在平面直角坐标系xOy中，已知一次函数 $y = - \frac{1}{2} x + 1$ 的图象与x轴交于点 $A$ ，与 $y$ 轴交于点 $B$ ．

(1)、求 $A$ ， $B$ 两点的坐标；

(2)、在给定的坐标系中画出该函数的图象；

(3)、点M（ $-$ 1，y₁），N（3，y₂）在该函数的图象上，比较y₁与y₂的大小.

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20. 如图，⊙O的直径AB=10，弦AC=8，连接BC。

(1)、尺规作图：作弦CD，使CD=BC（点D不与B重合），连接AD；（保留作图痕迹，不写作法）

(2)、在（1）所作的图中，求四边形ABCD的周长。

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21. 在画二次函数

y = a x^{2} + b x + c (a \neq 0)

的图象时，甲写错了一次项的系数，列表如下

$x$	……	﹣1	0	1	2	3	……
$y_{甲}$	……	6	3	2	3	6	……

乙写错了常数项，列表如下：

$x$	……	﹣1	0	1	2	3	……
$y_{乙}$	……	﹣2	﹣1	2	7	14	……

通过上述信息，解决以下问题：

(1)、求原二次函数

y = a x^{2} + b x + c (a \neq 0)

的表达式；

(2)、对于二次函数

y = a x^{2} + b x + c (a \neq 0)

，当

x

时，

y

的值随

x

的值增大而增大；

(3)、若关于

x

的方程

a x^{2} + b x + c = k (a \neq 0)

有两个不相等的实数根，求

k

的取值范围．

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22. 如图，已知⊙O的直径AB＝10，AC是⊙O的弦．过点C作⊙O的切线DE交AB的延长线于点E，过点A作AD⊥DE，垂足为D，与⊙O交于点F，设∠DAC、∠CEA的度数分别为α，β，且0°＜α＜45°

(1)、用含α的代数式表示β；

(2)、连结OF交AC于点G，若AG＝CG，求AC的长．

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23. 超市销售某种儿童玩具，如果每件利润为40元（市场管理部门规定，该种玩具每件利润不能超过60元），每天可售出50件.根据市场调查发现，销售单价每增加2元，每天销售量会减少1件.设销售单价增加 $x$ 元，每天售出 $y$ 件.

(1)、请写出 $y$ 与 $x$ 之间的函数表达式；

(2)、当 $x$ 为多少时，超市每天销售这种玩具可获利润2250元？

(3)、设超市每天销售这种玩具可获利 $w$ 元，当 $x$ 为多少时 $w$ 最大，最大值是多少？

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24. 对于平面上两点A ， B ，给出如下定义：以点A或B为圆心，AB长为半径的圆称为点A ， B的“确定圆”．如图为点A ， B的“确定圆”的示意图．

(1)、已知点A的坐标为（－1，0），点B的坐标为（3，3），则点A ， B的“确定圆”的面积为；

(2)、已知点A的坐标为（0，0），若直线y＝x＋b上只存在一个点B ，使得点A ， B的“确定圆”的面积为9π，求点B的坐标；

(3)、已知点A在以P（m ， 0）为圆心，以1为半径的圆上，点B在直线 $y = - \frac{\sqrt{3}}{3} x + \sqrt{3}$ 上，若要使所有点A ， B的“确定圆”的面积都不小于9π，直接写出m的取值范围．

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25. 已知抛物线y＝ax²+（3b+1）x+b﹣3（a＞0），若存在实数m ，使得点P（m ， m）在该抛物线上，我们称点P（m ， m）是这个抛物线上的一个“和谐点”．

(1)、当a＝2，b＝1时，求该抛物线的“和谐点”；

(2)、若对于任意实数b ，抛物线上恒有两个不同的“和谐点”A、B ．
①求实数a的取值范围；

②若点A ， B关于直线y＝﹣x﹣（ $\frac{1}{a^{2}}$ +1）对称，求实数b的最小值．

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x	x₁	x₂	x₃	x₄	x₅
y	﹣3	﹣ $\frac{5}{4}$	0	2	﹣1