福建省福州市闽侯县2019-2020学年九年级上学期数学期中试卷

试卷更新日期：2020-09-28 类型：期中考试

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一、单选题

1. 下列各点在抛物线 $y = x^{2} + 1$ 上的是（）

A、 $(0, 1)$ B、 $(- 1, 0)$ C、 $(0, 0)$ D、 $(1, 1)$

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2. 抛物线 $y = \frac{1}{2} x^{2}$ 向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的抛物线是（）

A、 $y = \frac{1}{2} {(x + 2)}^{2} - 1$ B、 $y = \frac{1}{2} {(x + 2)}^{2} + 1$ C、 $y = \frac{1}{2} {(x - 2)}^{2} - 1$ D、 $y = \frac{1}{2} {(x - 2)}^{2} + 1$

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3. 如图， $A B$ 是 $⊙ O$ 的弦，点 $C$ 在 $⊙ O$ 上，已知 $∠ A O B = 80 °$ ，则 $∠ C$ 等于（）

A、40° B、50 C、60° D、80°

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4. 如图， $P M$ 与 $⊙ O$ 相切于点 $M$ ， $∠ O P M = 30 °$ ， $O M = 2$ ，则 $P M$ 长为（）

A、4 B、 $2 \sqrt{3}$ C、2 D、 $3 \sqrt{2}$

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5. 下列等式变形错误的是（）

A、 $x^{2} + 2 x = x (x + 2)$ B、 $(x + 2 a) (x - 2 a) = x^{2} - 2 a^{2}$ C、 $2 x^{2} + 3 x - 5 = (2 x + 5) (x - 1)$ D、 $x^{2} + 2 x + 3 = {(x + 1)}^{2} + 2$

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6. 关于抛物线 $y = {(x + 6)}^{2} + 3$ ，下列判断正确的个数是（）
⑴图象开口向上（2）图象对称轴是直线 $x = - 6$ （3）图象与 $x$ 轴没有交点（4）当 $x < - 6$ 时， $y$ 随 $x$ 增大而减小

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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7. 已知命题“关于x的一元二次方程x²+bx+1=0，必有实数解”是假命题，则在下列选项中，b的值可以是（　　）

A、b=﹣3 B、b=﹣2 C、b=﹣1 D、b=2

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8. 平面直角坐标系中，点 $P$ 坐标为 $(3, - 2)$ ，把线段 $O P$ 绕坐标原点 $O$ 顺时针旋转180°后，得到线段 $O Q$ ，则点 $Q$ 的坐标是（）

A、 $(2, 3)$ B、 $(- 3, - 2)$ C、 $(- 3, 2)$ D、 $(- 2, - 3)$

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9. 如图，将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△EDC ．若点A ， D ， E在同一条直线上，∠ACB=20°，则∠ADC的度数是（）

A、55° B、60° C、65° D、70°

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10. 如图，有一块圆形的花圃，中间有一块正方形水池．测量出除水池外圆内可种植的面积恰好 $72 m^{2}$ ，从水池边到圆周，每边相距 $3 m$ ．设正方形的边长是 $x m$ ，则列出的方程是（）

A、 ${(x + 3)}^{2} - x^{2} = 72$ B、 $π {(\frac{x}{2} + 3)}^{2} = 72$ C、 ${(\frac{x}{2} + 3)}^{2} - x^{2} = 72$ D、 $π {(\frac{x}{2} + 3)}^{2} - x^{2} = 72$

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二、填空题

11. 时钟上的分针匀速旋转一周需要60分钟，则经过10分钟，分针旋转了度．

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12. 如图， $R t △ A B C$ ， $∠ C = 90 °$ ，以斜边 $A B$ 为直径画圆，则点 $C$ 与此圆的位置关系是．

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13. 已知抛物线 $y = x^{2} + b x + 2$ 的顶点为 $P (2, - 2)$ ，则 $b =$ ．

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14. 二次函数 $y = \frac{1}{2} {(x + 3)}^{2} - 2$ 图像记为 $C_{1}$ ， $y = \frac{1}{2} {(x - h)}^{2} + k$ 的图像记为 $C_{2}$ ，如果 $C_{2}$ 与 $C_{1}$ 关于 $y$ 轴对称，则 $C_{2}$ 的解析式是．

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15. 如图，圆锥侧面展开得到扇形，此扇形半径 CA=6，圆心角∠ACB=120°，则此圆锥高 OC 的长度是．

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16. 如图，将正方形 $A B C D$ 绕点 $A$ 按逆时针方向旋转30°得到正方形 $A E F G$ ，已知 $E F$ 交 $C D$ 于点 $N$ ， $A B = \sqrt{2}$ ，则四边形 $A E N D$ 的内切圆半径为．

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三、解答题

17. 用公式法解一元二次方程： $x^{2} - 3 x + 1 = 0$ ．

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18. 如图，每个小方格边长为1，点 $A$ ， $B$ ， $C$ 都在格点上．画出 $△ A B C$ 关于原点 $O$ 对称的 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ ，并写出 $A_{1}$ ， $B_{1}$ ， $C_{1}$ 的三点坐标．

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19. 如图， $A D$ 是 $⊙ O$ 直径， $B$ ， $C$ 是圆上点且在 $A D$ 同侧．

(1)、如果 $∠ C O D = 30^{°}$ ，则 $∠ A C O =$ °．

(2)、如果 $∠ B O C = 2 ∠ C O D$ ， $∠ B A D = 45 °$ ，求 $∠ B A C$ 度数．

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20. 如图，已知等腰直角 $△ A B C$ ， $∠ B A C = 90 °$ ，将 $△ A B C$ 绕点 $A$ 逆时针旋转得到 $△ A D E$ ， $A D$ 与 $B C$ 交于点 $F$ ， $D E$ 与 $A C$ 交于点 $G$ ．
求证 $△ A B F ≌ △ A E G$ ．

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21. 已知二次函数 $y = {(x - 1)}^{2} - 4$ 中的 $x$ ， $y$ 满足下表

$x$

…

$- 1$

0

1

2

3

…

$y$

…

0

$a$

$- 4$

$- 3$

$b$

…

(1)、 $a =$ ， $b =$ ；

(2)、函数图象对称轴是；

(3)、如果点 $P_{1} (c ， 9)$ ， $P_{2} (d ， 9)$ 是图象上点，则 $c + d =$ ；

(4)、函数图象与 $x$ 轴交于点 $A$ 、点 $B$ ， $△ M A B$ 是等腰直角三角形， $∠ A M B = 90^{°}$ ，则点 $M$ 坐标为．

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22. 如图，有长为 $30 m$ 的篱笆，一面利用墙（墙的最大长 $a$ 为 $10 m$ ），围成中间隔有一道篱笆的矩形花圃，设花圃的宽 $A B$ 为 $x m$ ，面积为 $S m^{2}$ ．

(1)、求 $S$ 与 $x$ 的函数解析式并求出 $x$ 的取值范围．

(2)、当 $x$ 为多少时，矩形花圃面积 $S$ 最大，并求出最大值．

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23. 如图， $A B$ 是 $⊙ O$ 的直径，点 $C$ 在 $⊙ O$ 上， $∠ A C B$ 的平分线交 $A B$ 于点 $D$ ，交 $⊙ O$ 于点 $E$ ．过点 $C$ 作 $⊙ O$ 的切线 $C P$ 交 $B A$ 的延长线于点 $P$ ，连接 $A E$ ， $O E$ ．

(1)、求证： $O E ⊥ A B$ ， $P C = P D$ ；

(2)、过点 $E$ 分别作直线 $A C$ ， $B C$ 垂线，垂足为 $F$ ， $H$ ．若 $A C = 6$ ， $B C = 8$ ，请你完成示意图并求线段 $C F$ 的长．

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24. 如图，矩形 $A B C D$ 中， $A B = 2$ ，点 $E$ 在 $A D$ 边上，过点 $E$ 作 $A B$ 的平行线，交 $B C$ 于点 $F$ ，易得矩形 $A B F E$ ．将矩形 $A B F E$ 绕着点 $E$ 逆时针旋转，使点 $F$ 的对应点 $M$ 落在边 $C D$ 上，点 $B$ 的对应点 $N$ 落在边 $B C$ 上， $A B$ 的对应边 $N H$ 交 $E F$ 于点 $G$ ．

(1)、求证： $G F = G H$ ；（提示：连接 $E B$ ， $E N$ ）

(2)、当旋转角为30°时，求 $C N$ 的长．

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25. 已知二次函数 $y_{1} = a x^{2} + 2 a x + b (a \neq 0)$ ， $y_{1}$ 的最小值为0； $y_{2} = x$ ．当 $x = 1$ 时有 $y_{1} \geq y_{2}$ ；且对于任意实数 $x$ ， $y_{1} \leq {(\frac{x + 1}{2})}^{2}$ ．

(1)、 $y_{1} = a x^{2} + 2 a x + b$ 的对称轴为，顶点坐标为；

(2)、当 $x = 1$ 时，求 $y_{1}$ 的值；

(3)、令 $y_{3} = a {(x + t)}^{2} + 2 a (x + t) + b$ ，试求实数 $t$ ，使得实数 $m$ 最大，当 $1 ⩽ x ⩽ m$ 时 $y_{3} ⩽ y_{2}$ 成立．

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$x$	…	$- 1$	0	1	2	3	…
$y$	…	0	$a$	$- 4$	$- 3$	$b$	…