山东省威海市文登区2019-2020学年九年级上学期数学期中试卷

试卷更新日期：2020-09-27 类型：期中考试

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一、单选题

1. 某人沿着有一定坡度的坡面前进了10米，此时他与水平地面的垂直距离为2 $\sqrt{5}$ 米，则这个坡面的坡度为（　　）

A、1：2 B、1：3 C、1： $\sqrt{5}$ D、 $\sqrt{5}$ ：1

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2. 二次函数 $y = a x^{2} + b x + c (a < 0)$ ，其对称轴为 $x = - 1$ ，若 $(- \frac{14}{3}, y_{1}) (\frac{5}{2}, y_{2}) (3, y_{3})$ 是抛物线上三点，则 $y_{1}, y_{2}, y_{3}$ 的大小关系是（）

A、 $y_{1} < y_{2} < y_{3}$ B、 $y_{3} < y_{1} < y_{2}$ C、 $y_{2} < y_{1} < y_{3}$ D、 $y_{3} < y_{2} < y_{1}$

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3. 如图，在直角三角形 $A B C$ 中， $C D$ 是斜边 $A B$ 上的中线，已知 $C D = 5 ， A C = 6 ，$ 则 $t a n ∠ B C D$ 的值是（）

A、 $\frac{4}{5}$ B、 $\frac{3}{5}$ C、 $\frac{3}{4}$ D、 $\frac{4}{3}$

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4. 已知平面直角坐标系中有两个二次函数 $y = a (x - 1) (x + 7)$ 及 $y = b (x + 1) (x - 15)$ 的图象，将二次函数 $y = b (x + 1) (x - 15)$ 的图象依下列哪一种平移方式后，会使得此两图象对称轴重叠（）

A、向左平移4个单位长度 B、向右平移4个单位长度 C、向左平移10个单位长度 D、向右平移10个单位长度

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5. 王师傅在楼顶上的点 $A$ 处测得楼前一棵树 $C D$ 的顶端 $C$ 的俯角为 $a$ ，又知水平距离 $B D = a m$ ，楼高 $A B = b m$ ，则树高 $C D$ 为（）

A、 $(b - a t a n α) m$ B、 $(b + a t a n α) m$ C、 $(b - \frac{a}{c o c α}) m$ D、 $(b - \frac{a}{t a n α}) m$

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6. 如图，点 $A$ 在函数 $y = - \frac{4}{x} (x > 0)$ 的图象上，且 $O A = 4$ ，过点 $A$ 作 $A B ⊥ x$ 轴于点 $B$ ，则 $△ A B O$ 的周长为（）

A、 $2 \sqrt{3}$ B、 $2 \sqrt{3} + 4$ C、 $2 \sqrt{6}$ D、 $2 \sqrt{6} + 4$

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7. 某民俗旅游村为接待游客住宿需要，开设了有100张床位的旅馆．当每张床位每天收费100元时，床位可全部租出．若每张床位每天收费提高20元，则相应地减少了10张床位租出．如果每张床位每天以20元为单位提高收费，为使租出的床位少且租金高，那么每张床位每天最合适的收费是（）

A、140元 B、150元 C、160元 D、180元

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8. 如图，点A（a ， 1）、B（﹣1，b）都在双曲线y＝﹣ $\frac{3}{x} (x < 0)$ 上，点P、Q分别是x轴、y轴上的动点，当四边形PABQ的周长取最小值时，PQ所在直线的解析式是（）

A、y＝x B、y＝x+1 C、y＝x+2 D、y＝x+3

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9. 抛物线 $y = a x^{2} + b x + c$ 上部分点的横坐标 $x$ ，纵坐标 $y$ 的对应值如下表：

从上表可知，下列说法中正确的是（） (填写序号)

①抛物线与 $x$ 轴的一个交点为 $(3 ， 0)$ ②函数 $y = a x^{2} + b x + c$ 的最大值为6③抛物线的对称轴是直线 $x = \frac{1}{2}$ ，④在对称轴左侧， $y$ 随 $x$ 增大而增大

A、①②③ B、①②④ C、①②③④ D、①③④

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10. 如图， $O$ 为坐标原点，点 $B$ 在 $x$ 轴的正半轴上，四边形 $O B C A$ 是平行四边形， $s i n ∠ A O B = \frac{4}{5}$ ，反比例函数 $y = \frac{m}{x} (m > 0)$ 在第一象限内的图像经过点 $A$ ，与 $B C$ 交于点 $F$ ，若点 $F$ 为 $B C$ 的中点，且 $△ A O F$ 的面积为12，则 $m$ 的值为（）

A、16 B、24 C、36 D、48

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11. 如图，二次函数y=ax²+bx+c的图象经过点A（﹣1，0）、点B（3，0）、点C（4，y₁），若点D（x₂ ， y₂）是抛物线上任意一点，有下列结论：①二次函数y=ax²+bx+c的最小值为﹣4a；②若﹣1≤x₂≤4，则0≤y₂≤5a；③若y₂＞y₁ ，则x₂＞4；④一元二次方程cx²+bx+a=0的两个根为﹣1和 $\frac{1}{3}$ 其中正确结论的个数是（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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12. 如图1中， $∠ A = 30 °$ ，点 $P$ 从点 $A$ 出发以 $2 c m ／ s$ 的速度沿折线 $A \to C \to B$ 运动，点 $Q$ 从点 $A$ 出发以 $v c m ／ s$ 的速度沿 $A B$ 运动， $P ， Q$ 两点同时出发，当某一点运动到点 $B$ 时，两点同时停止运动．设运动时间为 $x (s)$ ， $△ A P Q$ 的面积为 $y (c m^{2})$ )， $y$ 关于 $x$ 的函数图象由 $C_{1} ， C_{2}$ 两段组成，如图2所示，有下列结论：① $v = 1$ ；② $s i n B = \frac{1}{3}$ ：③图象 $C_{2}$ 段的函数表达式为 $y=- \frac{1}{3} x^{2} + \frac{10}{3} x$ ；④ $△ A P Q$ 面积的最大值为8，其中正确的个数有（）个

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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二、填空题

13. 函数 $y = \frac{{(x + 1)}^{0}}{\sqrt{3 x}} - 1$ 的自变量 $x$ 的取值范围是．

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14. 三角形 $A B C$ 中， $A B = 2 ， A C = \sqrt{2} ， ∠ B = 30 °$ ，则 $∠ B A C$ 值为．

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15. 如图，是一学生掷铅球时，铅球行进高度 $y (c m)$ 的函数图象，点 $B$ 为抛物线的最高点，则该同学的投掷成绩为米．

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16. 如图，在四边形 $A B C D$ 中， $A B ∥ C D$ ，连接 $A C$ ， $B D$ ．若 $∠ A C B = 90 °$ ， $A C = B C$ ， $A B = B D$ ，则 $∠ A D C =$ $°$ ．

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17. 如图，点 $P (x_{1} ， y_{1})$ ，点 $P (x_{2} ， y_{2})$ ，…点 $P (x_{n} ， y_{n})$ 在函数 $y = \frac{9}{x} (x > 0)$ 的图象上， $△ P_{1} O A_{1} ， △ P_{2} A_{1} A_{2} ， △ P_{3} A_{2} A_{3} \cdot \cdot \cdot △ P_{n} A_{n - 1} A_{n}$ 都是等腰直角三角形，斜边 $O A_{1} ， A_{1} A_{2} ， A_{2} A_{3} ， \cdot \cdot \cdot A_{n - 1} A_{n}$ 都在 $x$ 轴上(n是大于或等于2的正数数)，则 $y_{1} + y_{2} + \cdot \cdot \cdot + y_{n} =$ .（用含 $n$ 的式子表示）

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18. 已知二次函数 $y = x^{2} + b x + c + 1$ 1的图象过点 $(2, 1)$ 则 $b c$ 的最大值为．

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三、解答题

19. ${(s i n 30^{o})}^{- 1} \times (s i n 60 ° - c o s 45 °) - \sqrt{{(1 - t a n 60 °)}^{2}}$

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20. 为了维护海洋权益，新组建的国家海洋局加大了在南海的巡逻力度．一天，我两艘海监船刚好在我某岛东西海岸线上的A、B两处巡逻，同时发现一艘不明国籍的船只停在C处海域．如图所示，AB＝60 $(\sqrt{6} + \sqrt{2})$ 海里，在B处测得C在北偏东45º的方向上，A处测得C在北偏西30º的方向上，在海岸线AB上有一灯塔D，测得AD＝120 $(\sqrt{6} - \sqrt{2})$ 海里．

(1)、分别求出A与C及B与C的距离AC，BC（结果保留根号）

(2)、已知在灯塔D周围100海里范围内有暗礁群，我在A处海监船沿AC前往C处盘查，途中有无触礁的危险？
（参考数据： $\sqrt{2}$ ＝1.41， $\sqrt{3}$ ＝1.73， $\sqrt{6}$ ＝2.45）

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21. 某商场经营某种品牌的童装，购进时的单价是60元.根据市场调查，在一段时间内，销售单价是80元时，销售量是200件，而销售单价每降低1元，就可多售出20件.

(1)、写出销售量y件与销售单价x元之间的函数关系式；

(2)、写出销售该品牌童装获得的利润w元与销售单价x元之间的函数关系式；

(3)、若童装厂规定该品牌童装销售单价不低于76元，且商场要完成不少于240件的销售任务，则商场销售该品牌童装获得的最大利润是多少？

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22. 某公司营销 $A ， B$ 两种产品，根据市场调研，确定两条信息：
信息1：销售 $A$ 种产品所获利润 $y$ (万元)与所销售产品 $x$ (吨)之间存在二次函数关系，如图所示

信息2：销售 $B$ 种产品所获利润 $y$ (万元)与销售产品 $x$ (吨)之间存在正比例函数关系 $y = 0.3 x$

根据以上信息，解答下列问题：

(1)、求二次函数的表达式；

(2)、该公司准备购进 $A ， B$ 两种产品共10吨，请设计一个营销方案使销售 $A ， B$ 两种产品获得的利润之和最大，最大利润是多少万元?

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23. 如图1，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ，边 $B C$ 的长为 $20 c m$ 边 $A C$ 的长为 $h c m$ ，在此三角形内有一个矩形 $C F E D$ ；点 $D ， E ， F$ 分别在 $A C ， A B ， B C$ 上，设 $A D$ 的长为 $x c m$ ，矩形 $C F E D$ 的面积为 $y$ (单位： $c m^{2}$ )

(1)、当 $h$ 等于30时，求 $y$ 与 $x$ 的函数关系式：(不要求写出自变量 $x$ 的取值范围)

(2)、在（1）的条件下，矩形 $C F E D$ 的面积能否为 $180 c m^{2}$ ?请说明理由?

(3)、若 $y$ 与 $x$ 的函数图象如图2所示，求此时 $h$ 的值

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24. 如图，已知抛物线y= $\frac{1}{3}$ x²+bx+c经过△ABC的三个顶点，其中点A（0，1），点B（-9，10），AC∥x轴，点P是直线AC下方抛物线上的动点.

(1)、求抛物线的解析式；

(2)、过点P且与y轴平行的直线l与直线AB、AC分别交于点E、F，当四边形AECP的面积最大时，求点P的坐标；

(3)、当点P为抛物线的顶点时，在直线AC上是否存在点Q，使得以C、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似，若存在，求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由.

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25. 如图1，抛物线 $y = a x^{2} + (a + 3) x + 3 (a \neq 0)$ 与 $x$ 轴交于点 $A (4 ， 0)$ ，与y轴交于点 $B$ ，在 $x$ 轴上有一动点 $E (m ， 0) (0 < m < 4)$ ，过点E作x轴的垂线交直线 $A B$ 于点N，交抛物线于点P，过点P作 $P M ⊥ A B$ 于点M.

(1)、求a的值和直线 $A B$ 的函数表达式；

(2)、设 $Δ P M N$ 的周长为 $C_{1}$ ， $Δ A E N$ 的周长为 $C_{2}$ ，若 $\frac{C_{1}}{C_{2}} = \frac{6}{5}$ ，求m的值；

(3)、如图2，在（2）条件下，将线段 $O E$ 绕点O逆时针旋转得到 $O E^{'}$ ，旋转角为 $α (0 ° < α < 90 °)$ ，连接 $E^{'} A$ 、 $E^{'} B$ ，求 $A E^{'} + \frac{2}{3} B E^{'}$ 的最小值.

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