山东省泰安市高新区2019-2020学年九年级上学期数学期中试卷

试卷更新日期：2020-09-27 类型：期中考试

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一、单选题

1. 在 $△ A B C$ 中，若 $\cos A = \frac{1}{2}$ ， $\tan B = \frac{\sqrt{3}}{2}$ ，则这个三角形一定是（）．

A、锐角三角形 B、直角三角形 C、钝角三角形 D、等腰三角形

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2. 若反比例函数 $y = \frac{k}{x} (k \neq 0)$ 的图象经过点(-3，2)，则这个函数的图象一定经过点（）

A、(2，-4) B、(-2，-3) C、 $(- \frac{1}{2} ， 12)$ D、 $(\frac{1}{2} ， 12)$

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3. 对于抛物线 $y = - 4 {(x - 5)}^{2} + 3$ ，下列说法正确的是（）．

A、开口向下，顶点坐标 $(5, 3)$ B、开口向上，顶点坐标 $(5, 3)$ C、开口向下，顶点坐标 $(- 5, 3)$ D、开口向上，顶点坐标 $(- 5, 3)$

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4. 对于反比例函数 $y = - \frac{3}{x}$ ，下列说法错误的是（）

A、图象分布在第二、四象限 B、当 $x < 0$ 时， $y$ 随 $x$ 的增大而增大 C、图象经过点(3，-1) D、若点 $A (x_{1} ， y_{1}) ， B (x_{2} ， y_{2})$ 都在图象上，且 $x_{1} < x_{2}$ ，则 $y_{1} < y_{2}$

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5. 在同一平面直角坐标系中，函数 $y = x - k$ 与 $y = \frac{k}{x}$ ( $k$ 为常数，且 $k \neq 0$ )的图象大致（）

A、 B、 C、 D、

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6. 反比例函数 $y = \frac{3}{x}$ 图象上三个点的坐标为 $(x_{1}, y_{1})$ 、 $(x_{2}, y_{2})$ 、 $(x_{3}, y_{3})$ ，若 $x_{1} < x_{2} < 0 < x_{3}$ ，则 $y_{1}, y_{2}, y_{3}$ 的大小关系是（）

A、 $y_{1} < y_{2} < y_{3}$ B、 $y_{2} < y_{1} < y_{3}$ C、 $y_{2} < y_{3} < y_{1}$ D、 $y_{1} < y_{3} < y_{2}$

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7. 下列说法错误的是（）．

A、二次函数 $y = 3 x^{2}$ 中，当 $x > 0$ 时， $y$ 随 $x$ 的增大而增大 B、二次函数 $y = - 6 x^{2}$ 中，当 $x = 0$ 时， $y$ 有最大值 C、 $a$ 越大图象开口越小， $a$ 越小图象开口越大 D、不论 $a$ 是正数还是负数，抛物线 $y = a x^{2} (a \neq 0)$ 的顶点一定是坐标原点

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8. 平面直角坐标系中。抛物线 $y = (x + 2) (x - 6)$ 经变换后得到抛物线 $y = (x + 6) (x - 2)$ ，则这个变换可以是（）

A、向左平移4个单位 B、向右平移4个单位 C、向左平移8个单位 D、向右平移8个单位

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9. 如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形ABC的顶点A，B分别在x轴、y轴的正半轴上，∠ABC=90°，CA⊥x轴，点C在函数y= $\frac{k}{x}$ （x＞0）的图象上，若AB=2，则k的值为（）

A、4 B、2 $\sqrt{2}$ C、2 D、 $\sqrt{2}$

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10. 在下列函数图象上任取不同两点 $P_{1} (x_{1} ， y_{1}) ， P_{2} (x_{2} ， y_{2})$ ，一定能使 $\frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}} < 0$ 成立的是（）

A、 $y = 2 x + 3 (x < 0)$ B、 $y = - x^{2} + 4 x - 1 (x > 0)$ C、 $y = - \frac{1}{x} (x > 0)$ D、 $y = x^{2} - 2 x - 1 (x < 0)$

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11. 如图，在矩形ABCD中，点E是边BC的中点，AE⊥BD，垂足为F，则tan∠BDE的值是（）

A、 $\frac{\sqrt{2}}{4}$ B、 $\frac{1}{4}$ C、 $\frac{1}{3}$ D、 $\frac{\sqrt{2}}{3}$

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12. 二次函数 $y = a x^{2} + b x + c$ 图象如图所示，下列结论错误的是（）

A、 $b > 0$ B、 $a - b + c < 0$ C、 $b^{2} + 8 a > 4 a c$ D、 $2 a + b > 0$

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二、填空题

13. 如图，矩形 $O A B C$ 的顶点 $B$ 在反比例函数 $y = \frac{5}{x}$ 的图象上．则 $S_{矩形 O A B C}$ = ．

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14. 抛物线y=x²–6x+5的顶点坐标为．

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15. 如图，抛物线 $y = a x^{2} + c$ 与直线 $y = m x + n$ 交于 $A (- 1 ， p) ， B (3 ， q)$ 两点，则不等式 $a x^{2} - m x + c > n$ 的解集是．

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16. 如图，正比例函数y=kx与反比例函数y= $\frac{6}{x}$ 的图象有一个交点A(2，m)，AB⊥x轴于点B，平移直线y=kx使其经过点B，得到直线l，则直线l对应的函数表达式是 .

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17. 如图所示，铁路的路基横断面为一个等腰梯形 $A B C D$ ， $A B = D C$ ，若腰 $A B$ 的坡度为 $i = 2 ： 3$ ，顶宽 $A D = 3 m$ ，路基高 $A E = 4 m$ ，则路基的下底宽是．

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18. 某商店经营一种水产品，成本为每千克40元的水产品，据市场分析，若按每千克50元销售，一个月能售出500千克，销售价每涨1元，月销售量就减少10千克，针对这种水产品的销售情况，销售单价定为元时，获得的利润最多．

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19. 如图。在 $4 \times 4$ 的正方形方格图形中，小正方形的顶点称为格点. $Δ A B C$ 的顶点都在格点上，则 $∠ B A C$ 的正弦值是.

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20. 如图，点 $P_{1} (x_{1} ， y_{1}) ， P_{2} (x_{2} ， y_{2}) ， \dots ， P_{n} (x_{n} ， y_{n})$ 在函数 $y = \frac{1}{x} (x > 0)$ 的图象上， $△ P_{1} O A_{1} ， △ P_{2} A_{1} A_{2} ，$ $， △ P_{3} A_{2} A_{3} ， \dots △ P_{n} A_{n - 1} A_{n}$ 都是等腰直角三角形.斜边 $O A_{1} ， A_{1} A_{2} ， A_{2} A_{3} ， \dots ， A_{n - 1} A_{n}$ 都在 $x$ 轴上( $n$ 是大于或等于2的正整数)，点 $P_{n}$ 的坐标是．

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三、解答题

21. 计算：

(1)、 $2 c o s 30 ° - t a n 60 ° + t a n 45 ° - \frac{1}{2} s i n 60 °$ ；

(2)、 $\sqrt{12} - 2 \cos 60 ° + {(s i n 45 °)}^{2} + 2^{- 1}$ ．

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22. 直线 $y = k x + b$ 过 $x$ 轴上的点 $A (\frac{3}{2}, 0)$ ，且与双曲线 $y = \frac{m}{x}$ 相交于 $B 、 C$ 两点，已知 $B$ 点坐标为(2,-1) ．

(1)、求直线和双曲线的表达式；

(2)、求 $△ A O B$ 的面积．

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23. 如图，在平面直角坐标系 $x O y$ 中，二次函数图象的顶点坐标为 $(4 ， - 3)$ ，该图象与 $x$ 轴相交于点 $A$ 、 $B$ ，与 $y$ 轴相交于点 $C$ ，其中点 $A$ 的横坐标为1．

(1)、求该二次函数的表达式；

(2)、求 $\tan ∠ A B C$ ．

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24. 今年，我国海关总署严厉打击“洋垃圾”违法行动，坚决把“洋垃圾”拒于国门之外．如图，某天我国一艘海监船巡航到A港口正西方的B处时，发现在B的北偏东60°方向，相距150海里处的C点有一可疑船只正沿CA方向行驶，C点在A港口的北偏东30°方向上，海监船向A港口发出指令，执法船立即从A港口沿AC方向驶出，在D处成功拦截可疑船只，此时D点与B点的距离为75 $\sqrt{2}$ 海里．

(1)、求B点到直线CA的距离；

(2)、执法船从A到D航行了多少海里？（结果保留根号）

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25.
如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的对角线OB，AC相交于点D，且BE∥AC，AE∥OB

(1)、求证：四边形AEBD是菱形；

(2)、如果OA=3，OC=2，求出经过点E的反比例函数解析式．

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26. 怡然美食店的A，B两种菜品，每份成本均为14元，售价分别为20元、18元，这两种菜品每天的营业额共为1120元，总利润为280元．

(1)、该店每天卖出这两种菜品共多少份？

(2)、该店为了增加利润，准备降低A种菜品的售价，同时提高B种菜品的售价，售卖时发现，A种菜品售价每降0.5元可多卖1份；B种菜品售价每提高0.5元就少卖1份，如果这两种菜品每天销售总份数不变，那么这两种菜品一天的总利润最多是多少？

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27. 如图，抛物线y＝－x²＋bx＋c与x轴相交于A（－1，0），B（5，0）两点．

(1)、求抛物线的解析式；

(2)、在第二象限内取一点C，作CD垂直x轴于点D，链接AC，且AD＝5，CD＝8，将Rt△ACD沿x轴向右平移m个单位，当点C落在抛物线上时，求m的值；

(3)、在（2）的条件下，当点C第一次落在抛物线上记为点E，点P是抛物线对称轴上一点．试探究：在抛物线上是否存在点Q，使以点B、E、P、Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

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