山东省济南市章丘区2019-2020学年九年级上学期数学期中试卷

试卷更新日期：2020-09-27 类型：期中考试

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一、单选题

1. 如图所示是某几何体从三个方向看到的图形，则这个几何体是（）

A、三棱锥 B、圆柱 C、球 D、圆锥

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2. 下列方程一定是一元二次方程的是（）

A、 $a x^{2} + b x + c = 0$ B、 $\sqrt{x} - 3 = 5 x^{2} - \sqrt{6}$ C、 $5 x (x + 1) = 5 x^{2} - 12$ D、 $\frac{x - 1}{3} = - \frac{x^{2}}{2} - 1$

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3. 两个人的影子在两个相反的方向，这说明（　　）

A、他们站在阳光下 B、他们站在路灯下 C、他们站在路灯的两侧 D、他们站在月光下

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4. 若 $\frac{a}{2} = \frac{b}{3} = \frac{c}{4}$ ，则 $\frac{a + b}{b - c}$ 的值为（）

A、5 B、 $\frac{1}{5}$ C、-5 D、 $- \frac{1}{5}$

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5. 若 $2 + \sqrt{3}$ 是方程 $x^{2} - 4 x + c = 0$ 的一个根，则 $c$ 的值是（）

A、1 B、 $3 - \sqrt{3}$ C、 $1 + \sqrt{3}$ D、 $2 - \sqrt{3}$

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6. 如图，下列四个三角形中，与 $△ A B C$ 相似的是（）

A、 B、 C、 D、

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7. 用配方法解下列方程时，配方有错误的是（）

A、 $x^{2} - 2 x - 99 = 0$ 化为 ${(x - 1)}^{2} = 100$ B、 $2 x^{2} - 7 x - 4 = 0$ 化为 ${(x - \frac{7}{4})}^{2} = \frac{81}{16}$ C、 $x^{2} + 8 x + 9 = 0$ 化为 ${(x + 4)}^{2} = 25$ D、 $3 x^{2} - 4 x - 2 = 0$ 化为 ${(x - \frac{2}{3})}^{2} = \frac{10}{9}$

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8. 在同一平面直角坐标系内，如果直线 $y = k_{1} x$ 与双曲线 $y = \frac{k_{2}}{x}$ 没有交点，那么 $k_{1}$ 和 $k_{2}$ 的关系一定是（）.

A、 $k_{1} < 0$ ， $k_{2} > 0$ B、 $k_{1} > 0$ ， $k_{2} < 0$ C、 $k_{1}$ ， $k_{2}$ 同号 D、 $k_{1}$ ， $k_{2}$ 异号

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9. 如图，在长为100米，宽为80米的矩形场地上修建两条宽度相等且互相垂直的道路，剩余部分进行绿化，要使绿化面积为7644米² ，则道路的宽应为多少米？设道路的宽为x米，则可列方程为（）

A、100×80﹣100x﹣80x=7644 B、（80﹣x）+x²=7644 C、（80﹣x）(100-x)=7644 D、100x+80x=356

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10. 如图，Rt△ABC中， $∠ A C B = 90^{°}$ ， $∠ A B C = 60^{°}$ ， $B C = 2 c m$ ，D为BC的中点，若动点E以1cm/s的速度从A点出发，沿AB向B点运动，设E点的运动时间为t秒，连接DE，当以B、D、E为顶点的三角形与△ABC相似时，t的值为（）

A、2或3.5 B、2或3.2 C、2或3.4 D、3.2或3.4

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11. 如图，在△ABC中，中线BE、CD相交于点O ，连接DE ，下列结论：① $\frac{D E}{B C} = \frac{1}{2}$ ；② $\frac{S_{Δ D O E}}{S_{Δ C O B}} = \frac{1}{2}$ ；③ $\frac{A D}{A B} = \frac{O E}{O B}$ ；④ $\frac{S_{Δ D O E}}{S_{Δ A D C}} = \frac{1}{6}$ ；其中正确的个数有（）

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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12. 如图，在 $x$ 轴正半轴上依次截取 $O A_{1} = A_{1} A_{2} = A_{2} A_{3} = \dots = A_{n - 1} A_{p} = 1$ ，过点 $A_{1}$ 、 $A_{2}$ 、 $A_{3}$ 、…… $A_{n}$ 分别作 $x$ 轴的垂线，与反比例函数 $y = \frac{2}{x} (x > 0)$ 交于点 $P_{1}$ 、 $P_{2}$ 、 $P_{3}$ 、…、 $P_{n}$ ，连接 $P_{1} P_{2}$ 、 $P_{2} P_{3}$ 、… $P_{n - 1} P_{n}$ ，过点 $P_{2}$ 、 $P_{3}$ 、…、 $P_{n}$ 分别向 $P_{1} A$ 、 $P_{2} A_{2}$ 、…、 $P_{n - 1} A_{n - 1}$ 作垂线段，构成的一系列直角三角形（图中阴影部分）的面积和等于（）.

A、 $2^{n}$ B、 $\frac{n - 1}{n}$ C、 $2 n + 1$ D、 $\frac{n + 2}{2 n}$

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二、填空题

13. 方程x(x+2)=2(x+2) 的解是．

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14. 在一个不透明的盒子里装有除颜色外其余均相同的2个黄色兵乓球和若干个白色兵乓球，从盒子里随机摸出一个兵乓球，摸到黄色兵乓球的概率为 $\frac{1}{3}$ ，那么盒子内白色兵乓球的个数为.

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15. 如图，在 $△ ABC$ 中， $AD ： DB = 2 ： 3$ ， $E$ 为 $CD$ 的中点， $AE$ 的延长线交 $BC$ 于点 $F$ ，则 $BF ： FC =$ ．

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16. 一个几何体的三视图如图所示，这个几何体的侧面积为．

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17. 如图，在 $△ A B C$ 中， $A$ ， $B$ 两个顶点在 $x$ 轴的上方，顶点 $C$ 的坐标是 $(- 1 ， 0)$ ．以点 $C$ 为位似中心，在 $x$ 轴的下方作 $△ A B C$ 的位似图形 $△ A' B' C^{'}$ ，并且 $Δ A' B' C'$ 是把 $△ A B C$ 放大到原来的2倍后得到的设点 $B$ 的对应点 $B'$ 的横坐标是 $a$ ，则点 $B$ 的横坐标是．

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18. 如图，已知点A是一次函数 $y = \frac{1}{2} x$ （x≥0）图象上一点，过点A作x轴的垂线l ， B是l上一点（B在A上方），在AB的右侧以AB为斜边作等腰直角三角形ABC ，反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ （x＞0）的图象过点B ， C ，若△OAB的面积为6，则△ABC的面积是．

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三、解答题

19. 解方程：

(1)、 ${(x - 3)}^{2} + 2 x (x - 3) = 0$ ；

(2)、 $4 x^{2} - 8 x - 1 = 0$ （用配方法解）

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20. 如图， $B D$ ， $C E$ 是 $Δ A B C$ 的高.求证： $B A \cdot A E = A C \cdot A D$ .

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21. 已知关于x的一元二次方程mx²−(m+1)x+1=0.

(1)、求证：此方程总有两个实数根；

(2)、若m为整数，当此方程的两个实数根都是整数时，求m的值.

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22. 如图，在 $Rt Δ A B C$ 中， $∠ B = 90^{°}$ ， $A B = 6 cm$ ， $B C = 8 cm$ ，点P由点A出发沿 $A B$ 方向向终点B以每秒 $1 cm$ 的速度匀速移动，点Q由点B出发沿 $B C$ 方向向终点C以每秒 $2 cm$ 的速度匀速移动，速度为 $2 cm / s$ .如果动点同时从点A，B出发，当点P或点Q到达终点时运动停止.则当运动几秒时，以点Q，B，P为顶点的三角形与 $Δ A B C$ 相似？

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23. 某商场销售某种冰箱，每台进货价为2500元，标价为3000，

(1)、若商场连续两次降价，每次降价的百分率相同，最后以2430元售出，求每次降价的百分率；

(2)、市场调研表明：当每台售价为2900元时，平均每天能售出8台，当每台售价每降50元时，平均每天就能多售出4台，若商场要想使这种冰箱的销售利润平均每天达到5000元，则每台冰箱的定价应为多少元？

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24. 如图所示，网格纸中的每个小方格都是边长为1的正方形，我们把以格点间连线为边的三角形称为“格点三角形”，图中的 $△ A B C$ 是格点三角形．在建立平面直角坐标系后，点 $B$ 的坐标为 $(- 1 ， - 1)$ ．

(1)、把 $△ A B C$ 向下平移5格后得到 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ ，写出点 $A_{1}$ ， $B_{1}$ ， $C_{1}$ 的坐标，并画出 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ ；

(2)、把 $△ A B C$ 绕点 $O$ 按顺时针方向旋转 $180 °$ 后得到 $△ A_{2} B_{2} C_{2}$ ，写出点 $A_{2}$ ， $B_{2}$ ， $C_{2}$ 的坐标，并画出 $△ A_{2} B_{2} C_{2}$ ；

(3)、把 $△ A B C$ 以点 $O$ 为位似中心放大得到 $△ A_{3} B_{3} C_{3}$ ，使放大前后对应线段的比为 $1 ： 2$ ，写出点 $A_{3}$ ， $B_{3}$ ， $C_{3}$ 的坐标，并画出 $△ A_{3} B_{3} C_{3}$ ．

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25. 某中学为了解学生对新闻、体育、娱乐、动画四类电视节目的喜爱情况，进行了统计调查 $.$ 随机调查了某班所有同学最喜欢的节目 $($ 每名学生必选且只能选择四类节目中的一类 $)$ 并将调查结果绘成如下不完整的统计图 $.$ 根据两图提供的信息，回答下列问题：

(1)、最喜欢娱乐类节目的有人，图中 $x =$ ；

(2)、请补全条形统计图；

(3)、根据抽样调查结果，若该校有1800名学生，请你估计该校有多少名学生最喜欢娱乐类节目；

(4)、在全班同学中，有甲、乙、丙、丁等同学最喜欢体育类节目，班主任打算从甲、乙、丙、丁4名同学中选取2人参加学校组织的体育知识竞赛，请用列表法或树状图求同时选中甲、乙两同学的概率．

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26. 根据下图回答问题：

(1)、（提出问题）
如图1，在等边△ABC中，点M是BC上的任意一点（不含端点B、C），连结AM，以AM为边作等边△AMN，连结CN．求证：∠ABC=∠ACN．

(2)、（类比探究）
如图2，在等边△ABC中，点M是BC延长线上的任意一点（不含端点C），其它条件不变，（1）中结论∠ABC=∠ACN还成立吗？请说明理由．

(3)、（拓展延伸）
如图3，在等腰△ABC中，BA=BC，点M是BC上的任意一点（不含端点B、C），连结AM，以AM为边作等腰△AMN，使顶角∠AMN=∠ABC．连结CN．试探究∠ABC与∠ACN的数量关系，并说明理由．

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27. 如图

如图1，已知直线y=3x分别与双曲线y= $\frac{12}{x}$ 、y= $\frac{k}{x}$ （x＞0）交于P、Q两点，且OP=2OQ ．

(1)、求k的值．

(2)、如图2，若点A是双曲线y= $\frac{12}{x}$ 上的动点，AB∥x轴，AC∥y轴，分别交双曲线y= $\frac{k}{x}$ （x＞0）于点B、C ，连接BC．请你探索在点A运动过程中，△ABC的面积是否变化？若不变，请求出△ABC的面积；若改变，请说明理由；

(3)、如图3，若点D是直线y=3x上的一点，请你进一步探索在点A运动过程中，以点A、B、C、D为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，求出此时点A的坐标；若不能，请说明理由．

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