江苏省如皋市2019-2020学年高三上学期理数教学质量调研（三)试卷

试卷更新日期：2020-09-27 类型：月考试卷

进入出卷网下载

一、填空题

1. 已知集合 $A = {x | {(\frac{1}{2})}^{x} < 1}$ ，集合 $B = {x | \lg x > 0}$ ，则 $A \cup B =$

查看试题解析
2. 若复数 $z$ 满足 $z (1 + 2 i) = - 3 + 4 i$ （ $i$ 是虚数单位），则复数 $z$ 的实部是.

查看试题解析
3. 下图是某算法的程序框图，则程序运行后输出的结果是_.

查看试题解析
4. 现把某类病毒记作 $X_{m} Y_{n}$ ，其中正整数 $m, n (m \leq 6, n \leq 8)$ 可以任意选取，则 $m$ ， $n$ 都取到奇数的概率为.

查看试题解析
5. 若双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} － \frac{y^{2}}{b^{2}}$ ＝1(a>0，b>0)与直线y＝ $\sqrt{3}$ x无交点，则离心率e的取值范围是．

查看试题解析
6. 等比数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{1} = 1$ ，前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，满足 $S_{6} - 3 S_{5} + 2 S_{4} = 0$ ，则 $S_{5} =$ .

查看试题解析
7. 已知 $\sin α + \cos α = \frac{1}{5}$ ， $0 < α < π$ ，则 $\sin^{2} α + \sin 2 α =$ .

查看试题解析
8. 已知 $a \in R$ ，实数 $x$ ， $y$ 满足方程 $x^{2} - 2 \ln x + y = 0$ ，则 ${(a - x)}^{2} + {(a - 2 - y)}^{2}$ 的最小值为.

查看试题解析
9. 已知函数 $y = a_{n + 1} x^{3} - a_{n} x^{2} (a_{n} \neq 0 ， n \in N^{*})$ 的图像在 $x = 1$ 处的切线斜率为 $a_{n} + 3$ ，且当 $n = 1$ 时其图像过点 $(2 ， 16)$ ，则 $a_{7} =$ .

查看试题解析
10. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，点 $M (x_{0} ， y_{0})$ 是椭圆 $C$ ： $\frac{x^{2}}{6} + \frac{y^{2}}{3} = 1$ 在第一象限上的一点，从原点 $O$ 向圆 $M$ ： ${(x - x_{0})}^{2} + {(y - y_{0})}^{2} = 2$ 作两条切线 $l_{1}$ ， $l_{2}$ ，若 $l_{1} ⊥ l_{2}$ ，则圆 $M$ 的方程是.

查看试题解析
11. 定义：如果函数 $y = f (x)$ 在区间 $[a, b]$ 上存在 $x_{0} (a < x_{0} < b)$ ，满足 $f (x_{0}) = \frac{f (b) - f (a)}{b - a}$ ，则称 $x_{0}$ 是函数 $y = f (x)$ 在区间 $[a, b]$ 上的一个均值点，已知函数 $f (x) = 4^{x} - 2^{x + 1} - m$ 在区间 $[0, 1]$ 上存在均值点，则实数 $m$ 的取值范围是.

查看试题解析
12. 已知 $0 < a < 1$ ， $0 < b < 1$ ，且 $4 a b - 4 a - 4 b + 3 = 0$ ，则 $\frac{1}{a} + \frac{2}{b}$ 的最小值是.

查看试题解析
13. 已知 $Δ A B C$ 中， $A B = 3$ ， $A C = 1$ ，且 $| λ \overset{⇀}{A B} + 3 (1 - λ) \overset{⇀}{A C} | (λ \in R)$ 的最小值为 $\frac{3 \sqrt{3}}{2}$ ，若 $P$ 为边 $A B$ 上任意一点，则 $\overset{⇀}{P B} \cdot \overset{⇀}{P C}$ 的最小值是.

查看试题解析
14. 已知函数 $f (x) = - x^{3} + a x^{2} + 4 x + 1$ 在 $(0 ， 2]$ 上是增函数，函数 $g (x) = | \ln x - a | - 2 \ln x$ ，若 $\forall x_{1} ， x_{2} \in [e ， e^{3}]$ （ $e$ 为自然对数的底数）时，不等式 $| g (x_{1}) - g (x_{2}) | \leq 5$ 恒成立，则实数 $a$ 的取值范围是.

查看试题解析

二、解答题

15. 已知函数 $f (x) = 1 + \sqrt{3} \cos 2 x - \sin^{2} (\frac{π}{4} - x)$ ，

(1)、求 $f (x)$ 的最小正周期和单调递减区间。

(2)、若方程 $f (x) - m = 0$ 在区间 $[\frac{π}{4}, π]$ 上有两个不同的实数解，求实数m的取值范围。

查看试题解析
16. 在公差不为零的等差数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{1} = 1$ ， $a_{2}$ ， $a_{4}$ ， $a_{8}$ 成等比数列.

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、设 $b_{n} = a_{n} \cdot 2^{a_{n}}$ ， $S_{n} = b_{1} + b_{2} + \cdot \cdot \cdot + b_{n}$ ，求 $S_{n}$ .

查看试题解析
17. 某沿海特区为了缓解建设用地不足的矛盾，决定进行围海造陆以增加陆地面积.如图，两海岸线 $O A$ ， $O B$ 所成角为 $\frac{2 π}{3}$ ，现欲在海岸线 $O A$ ， $O B$ 上分别取点 $P$ ， $Q$ 修建海堤，以便围成三角形陆地 $O P Q$ ，已知海堤 $P Q$ 长为6千米.

(1)、如何选择 $P$ ， $Q$ 的位置，使得 $Δ O P Q$ 的面积最大；

(2)、若需要进一步扩大围海造陆工程，在海堤 $P Q$ 的另一侧选取点 $M$ ，修建海堤 $M P$ ， $M Q$ 围成四边形陆地.当海堤 $M P$ 与 $M Q$ 的长度之和为10千米时，求四边形 $M P O Q$ 面积的最大值.

查看试题解析
18. 已知直线 $l$ 为椭圆 $\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{3} = 1$ 的右准线，直线 $l$ 与 $x$ 轴的交点记为 $P$ ，过右焦点 $F$ 的直线与椭圆交于 $A$ ， $B$ 两点.

(1)、设点 $M$ 在直线上，且满足 $M F ⊥ A B$ ，若直线 $O M$ 与线段 $A B$ 交于点 $D$ ，求证：点 $D$ 为线段 $A B$ 的中点；

(2)、设 $Q$ 点的坐标为 $(\frac{5}{2} ， 0)$ ，直线 $B Q$ 与直线 $l$ 交于点 $E$ ，试问 $\overset{⇀}{E A} \cdot \overset{⇀}{E P}$ 是否为定值，若是，求出这个定值，若不是，请说明理由.

查看试题解析
19. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ 满足 $2 S_{n} = 3 (a_{n} - 1) (n \in N^{*})$ .

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、记 $b_{n} = \frac{a_{n}}{(a_{n} - 1) (a_{n + 1} - 1)}$ ， $T_{n}$ 是数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和，若对任意的 $n \in N^{*}$ ，不等式 $T_{n} > \frac{1}{4} - \frac{k}{n + 1}$ 都成立，求实数 $k$ 的取值范围；

(3)、记 $c_{n} = \frac{a_{n}}{a_{n} + 2}$ ，是否存在互不相等的正整数 $m$ ， $s$ ， $t$ ，使 $m$ ， $s$ ， $t$ 成等差数列，且 $c_{m} - 1$ ， $c_{s} - 1$ ， $c_{t} - 1$ 成等比数列？如果存在，求出所有符合条件的 $m$ ， $s$ ， $t$ ；如果不存在，请说明理由.

查看试题解析
20. 已知函数 $f (x) = x^{3} + | a x - 3 | - 2$ ， $a > 0$ .

(1)、当 $a = 2$ 时，求函数 $y = f (x)$ 的单调递增区间；

(2)、若函数 $y = f (x)$ 只有一个零点，求实数 $a$ 的取值范围；

(3)、当 $0 < a < 1$ 时，试问：过点 $P (2, 0)$ 存在几条直线与曲线 $y = f (x)$ 相切？

查看试题解析