江苏省南京、徐州名校联盟2019-2020学年高三上学期数学10月联考试卷

试卷更新日期：2020-09-27 类型：月考试卷

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一、填空题

1. 函数 $y = \sqrt{x - 1}$ 的定义域为.

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2. 已经复数 $z$ 满足 $(z - 2) i = 1 + i$ （i是虚数单位），则复数 $z$ 的模是．

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3. 某算法的流程图如图所示，则物出的n的值为．

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4. 某班50位学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是：[40，50），［50，60)，［60，70)，［70，80），［80，90），［90，100〕，则图中x的值为

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5. 有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自选择其中一个参加，且每位同学参加各个兴趣小组的可能性相同，则这两位同学参加了不同的兴趣小组的概率为

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6. 把一个底面半径为3cm，高为4 cm的钢质实心圆柱熔化，然后铸成一个实心钢球(不计损耗），则该钢球的半径为cm

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7. 在平面直角坐标系xOy中，若双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的一条准线与两条渐近线恰能围成一个等边三角形，则该双曲线的离心率为．

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8. 若函数 $f (x) = 2 \sin (ω x - \frac{π}{6}) (ω > 0)$ 的最小正周期为 $π$ ，则当 $x \in [0, \frac{π}{2}]$ 时， $f (x)$ 的值域为．

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9. 若锐角α满足tan（α＋ $\frac{π}{4}$ ）＝3tanα＋1，则tan2α的值为．

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10. 已知函数 $f (x) = \frac{x}{1 + | x |}$ ，则不等式 $f (x - 3) + f (2 x) > 0$ 的解集为．

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11. 设数列 ${a_{n}}$ 为等差数列，其前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，已知 $a_{1} + a_{4} + a_{7} = 99$ ， $a_{2} + a_{5} + a_{8} = 93$ ，若对任意 $n \in N^{*}$ 都有 $S_{n} \leq S_{k}$ 成立，则 $k$ 的值为．

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12. 在 $△ A B C$ 中，已知 $C A = 4$ ， $C P = \sqrt{3}$ ， $∠ A C B = \frac{2 π}{3}$ ，点 $P$ 是边 $A B$ 的中点，则 $\vec{C P} \cdot \vec{C A}$ 的值为.

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13. 在平面直角坐标系xOy中，已知圆M： ${(x - a)}^{2} + {(y - 2 a)}^{2} = 4$ ，圆N： ${(x - 2)}^{2} + {(y + 1)}^{2} = 4$ ，若圆M上存在一点P，使得以点P为圆心，1为半径的圆与圆N有公共点，则实数a的取值范围为．

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14. 已知函数 $f (x) = x^{3} - 3 x^{2} + 1$ ， $g (x) = {\begin{array}{l} | 2 x - 1 | + 1 ， & x > 0 \\ - \frac{1}{4} x^{2} - x ， & x ⩽ 0 \end{array}$ ，若函数 $y = g [f (x)] - a$ 有6个零点（互不相同），则实数a的取值范围为．

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二、解答题

15. 已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且asin2B＝ $\sqrt{2}$ bsinA.

(1)、求B的大小；

(2)、若cosC＝ $\frac{\sqrt{5}}{5}$ ，求 $\sin (A - C)$ 的值．

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16. 如图，在三梭柱ABC－A₁B₁C₁中，AC＝BC，E，F分别为AB，A₁B₁的中点．

(1)、求证：AF∥平面B₁CE；

(2)、若A₁B₁⊥ $B_{1} C$ ，求证：平面B₁CE⊥平面ABC.

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17. 随着城市地铁建设的持续推进，市民的出行也越来越便利．根据大数据统计，某条地铁线路运行时，发车时间间隔t（单位：分钟）满足：4≤t≤15， $t \in$ N，平均每趟地铁的载客人数p(t)（单位：人）与发车时间间隔t近似地满足下列函数关系： $p (t) = {\begin{array}{l} 1800 - 15 {(9 - t)}^{2}, 4 \leq t \leq 9 \\ 1800, 9 \leq t \leq 15 \end{array}$ ，其中 $t \in N$ .

(1)、若平均每趟地铁的载客人数不超过1500人，试求发车时间间隔t的值．

(2)、若平均每趟地铁每分钟的净收益为 $Q = \frac{6 p (t) - 7920}{t} - 100$ （单位：元），问当发车时间间隔t为多少时，平均每趟地铁每分钟的净收益最大？井求出最大净收益．

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18. 如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左、右顶点分别为A，B ，点（ $\frac{a}{2}$ ，3e)和(b ， $\sqrt{3} e$ ）都在椭圆上，其中e为椭圆的离心率．

(1)、求椭圆的标准方程；

(2)、若点C是椭圆上异于左、右顶点的任一点，线段BC的垂直平分线与直线BC，AC分别交于点P，Q ，求证： $\overset{⇀}{O B} \cdot \overset{⇀}{P Q}$ 为定值．

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19. 已知函数 $f (x) = 2 \ln x + a x^{2} - b x$ ， $a ， b \in R$ ．

(1)、若曲线 $y = f (x)$ 在 $x = 1$ 处的切线为 $y = 2 x - 3$ ，求实教a ， b的值．

(2)、若 $a = 0$ ，且 $f (x) ⩽ - 2$ 对一切正实数x值成立，求实数b的取值范围．

(3)、若 $b = 4$ ，求函数 $f (x)$ 的单调区间．

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20. 已知数列｛ $a_{n}$ ｝的首项a₁＝2，前n项和为 $S_{n}$ ，且数列｛ $\frac{S_{n}}{n}$ ｝是以 $\frac{1}{2}$ 为公差的等差数列

(1)、求数列｛ $a_{n}$ ｝的通项公式；

(2)、设 $b_{n} = 2^{n} a_{n}$ ， $n \in N *$ ，数列｛ $b_{n}$ ｝的前n项和为 $T_{n}$ ，
①求证：数列｛ $\frac{T_{n}}{n}$ ｝为等比数列，

②若存在整数m，n(m＞n＞1)，使得 $\frac{T_{m}}{T_{n}} = \frac{m (S_{m} + λ)}{n (S_{n} + λ)}$ ，其中 $λ$ 为常数，且 $λ \geq$ －2，求 $λ$ 的所有可能值．

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