江苏省“百校大联考”2019-2020学年高三上学期数学第一次考试试卷

试卷更新日期：2020-09-27 类型：月考试卷

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一、填空题

1. 已知全集 $U = R$ ，集合 $A = {x | - 1 < x \leq 2}$ ，集合 $B = {x | x > 0}$ ，则 $A \cap (C_{U} B) =$ .

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2. 已知复数 $z = \frac{2}{1 + i} + 2 i$ ， $i$ 为虚数单位，则 $z$ 的虚部为.

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3. 函数： $y = \lg (1 - \sqrt{x})$ 的定义域是.

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4. 执行如图所示的伪代码，其结果为.

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5. 在甲、乙两个盒子中都各有大小相同的红、黄、白三个小球，现从甲、乙两个盒子中各取一个小球，则两个小球颜色相同的概率为.

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6. 从某小学随机抽取100名同学，将他们的身高（单位：厘米）数据绘制成频率分布直方图（如下图）.若要从身高在 $[120 ， 130)$ ， $[130 ， 140)$ ， $[140 ， 150]$ 三组内的学生中，用分层抽样的方法选取24人参加一项活动，则从身高在 $[140 ， 150]$ 内的学生中选取的人数应为.

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7. 已知圆 $x^{2} + y^{2} = 4$ 过椭圆 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的焦点与短轴端点，则椭圆 $C$ 的标准方程为.

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8. 如图，在体积为12的三棱锥 $A - B C D$ 中，点 $M$ 在 $A B$ 上，且 $A M = 2 M B$ ，点 $N$ 为 $C D$ 的中点，则三棱锥 $C - A M N$ 的体积为.

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9. 已知 ${a_{n}}$ 为等比数列，设数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $a_{6} - a_{3} = 28$ ， $S_{3} = 7$ ，则 ${a_{n}}$ 的通项公式为.

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10. 若 $f (x)$ 为 $R$ 上的奇函数，当 $x > 0$ 时， $f (x) = - x^{2} + 3 x$ ，则 $f (x) \geq 0$ 的解集为.

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11. 已知非零向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 满足 $| 2 \vec{a} + \vec{b} | = | \vec{a} + 2 \vec{b} | = \sqrt{3} | \vec{a} |$ ，则 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 的夹角为．

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12. 若 $5 \cos 2 α + 6 \sin (α + \frac{π}{4}) = 0$ ， $α \in (\frac{π}{2} ， π)$ ，则 $\sin 2 α =$ .

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13. 已知函数 $f (x) = {\begin{cases} x^{2} + (2 m + 3) x + m^{2} + 3 m + 2 ， x \leq 0 \\ \frac{4 \ln x}{x} - \frac{m + 2}{e} ， x > 0 \end{cases}$ 在区间 $R$ 上有四个不同的零点，则实数 $m$ 的取值范围为.

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14. 已知正实数 $x$ ， $y$ 满足 $x y (x - y) = 4$ ，则 $x + y$ 的最小值为.

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二、解答题

15. 已知函数 $f (x) = \sin (ω x + φ) (ω > 0 ， | φ | < \frac{π}{2})$ 的图象上两个相邻的最高点之间的距离为 $2 π$ ，且直线 $x = \frac{π}{6}$ 是函数 $f (x)$ 图象的一条对称轴.

(1)、求 $f (x)$ 的解析式；

(2)、若 $α$ 满足 $f (α) = 3 f (α + \frac{π}{3})$ ，求 $\tan 2 α$ .

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16. 在直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $D$ 是棱 $A_{1} B_{1}$ 的中点.

(1)、证明：直线 $B_{1} C / /$ 平面 $A C_{1} D$ ；

(2)、若 $A C = A A_{1}$ ， $A_{1} B_{1} ⊥ A_{1} C_{1}$ ，证明：平面 $A C_{1} D ⊥$ 平面 $A_{1} B_{1} C$ .

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17. 如图，在平面直角坐标系 $x O y$ 中，已知椭圆 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ，点 $A ， B ， A_{1}$ 分别为椭圆 $C$ 与坐标轴的交点，且 $A B = \sqrt{5}$ .过 $x$ 轴上定点 $E (1 ， 0)$ 的直线与椭圆 $C$ 交于 $M$ ， $N$ 两点，点 $Q$ 为线段 $M N$ 的中点.

(1)、求椭圆 $C$ 的方程；

(2)、求 $△ Q A B$ 面积的最大值.

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18. 某农场灌溉水渠长为1000米，横截面是等腰梯形，如图，在等腰梯形 $A B C D$ 中， $B C / / A D$ ， $A B = C D$ ，其中渠底 $B C$ 宽为1米，渠口 $A D$ 宽为3米，渠深 $\frac{3}{4}$ 米.根据国家对农田建设补贴的政策，该农场计划在原水渠的基础上分别沿射线 $A D$ 方向加宽、 $A B$ 方向加深，若扩建后的水渠横截面 $A B_{1} C_{1} D_{1}$ 仍是等腰梯形，且面积是原面积的2倍.设扩建后渠深为 $h$ 米，若挖掘费用为每立方米 $a h^{2}$ 万元，水渠的内壁（渠底和梯形两腰， $A B$ 端也要重新铺设）铺设混凝土的费用为每平方米 $3 a$ 万元.

(1)、用 $h$ 表示渠底 $B_{1} C_{1}$ 的长度，并求出 $h$ 的取值范围；

(2)、问渠深 $h$ 为多少米时，建设费用最低？

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19. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ， $a_{1} = 2 ， a_{2} = 4$ 且满足： $a_{n} + a_{n + 1} = 3 S_{n - 1} + 6 (n \geq 2)$

(1)、证明： ${a_{n}}$ 是等比数列，并求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式.

(2)、设 $b_{n} = t^{n} (2 n - 1) a_{n} ， (t \neq 0)$ ，若数列 ${b_{n}}$ 是等差数列，求实数 $t$ 的值；

(3)、在(2)的条件下，设 $c_{n} = \frac{2^{n + 1}}{2^{2 n + 1} - 3 \cdot 2^{n} + 1} (n \in N^{*}) ，$ 记数列 ${c_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $T_{n}$ ，若对任意的 $n ， k \in N^{*} ，$ 存在实数 $λ$ ，使得 $λ \cdot T_{n} < b_{k + 1}$ ，求实数 $λ$ 的最大值.

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20. 已知函数 $f_{k} (x) = x \ln x - a (x + \frac{{(- 1)}^{k}}{x})$ .

(1)、当 $a = 1$ 时，求 $f_{1} (x)$ 在 $x = 1$ 处的切线方程；

(2)、对于任意 $x \in [1 ， + \infty)$ ， $f_{1} (x) \geq 0$ 恒成立，求 $a$ 的取值范围；

(3)、试讨论函数 $F (x) = f_{0} (x) - x$ 的极值点的个数.

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