山东省潍坊市青州市2019-2020学年八年级上学期数学期中试卷

试卷更新日期：2020-09-27 类型：期中考试

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一、单选题

1. 下列图形中，不是轴对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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2. 在 $\frac{6}{π}$ ， $\frac{a b^{2}}{5}$ ， $\frac{m + n}{m}$ ， $\frac{b - c}{5 + a}$ 中，分式有（）

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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3. 要使分式 $\frac{x^{2} - 4}{x + 2}$ 无意义，则 $x$ 的取值范围是（）

A、 $x = - 2$ B、 $x = 2$ C、 $x \neq - 2$ D、 $x \neq \pm 2$

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4. 如图，用直尺和圆规作已知角的平分线，要证明 $∠ C A D = ∠ D A B$ 成立的全等三角形的判定依据是（）

A、 $S A S$ B、 $S S S$ C、 $A S A$ D、 $A A S$

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5. 如图， $A B = A^{'} B^{'}$ ， $∠ A = ∠ A^{'}$ ，若 $Δ A B C ≅ Δ A^{'} B^{'} C^{'}$ ，则还需添加的一个条件有（）

A、1种 B、2种 C、3种 D、4种

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6. 若点 $A (1 + m ， 1 - n)$ 与点 $B (- 3 ， - 2)$ 关于 $x$ 轴对称，则 $m + n$ 等于（）

A、-3 B、-5 C、1 D、3

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7. 已知等腰三角形的一边长为 $2 cm$ ，另一边长为 $4 cm$ ，则它周长是（）

A、 $6 cm$ B、 $8 cm$ C、 $10 cm$ D、 $8 cm$ 或 $10 cm$

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8. 如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ A B C$ 的平分线与 $B C$ 的垂直平分线交于点 $P$ ，连接 $C P$ ，若 $∠ A = 75 °$ ， $∠ A C P = 12 °$ ，则 $∠ A B P$ 的度数为（）

A、12° B、31° C、53° D、75°

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9. 如图，若△MNP≌△MEQ，则点Q应是图中的（）

A、点A B、点B C、点C D、点D

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10. 如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝10，S_△_ABC＝60，AD⊥BC于点D，EF垂直平分AB，交AB于点E，AC于点F，在EF上确定一点P，使PB＋PD最小，则这个最小值为（）

A、10 B、11 C、12 D、13

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11. 如图， $Rt △ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， $∠ A = 50 °$ ，将其折叠，使点 $A$ 落在边 $C B$ 上 $A^{'}$ 处，折痕为 $C D$ ，则 $∠ A^{'} D B$ 等于（）

A、15° B、30° C、10° D、20°

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12. 对于非零实数 $a 、 b$ ，规定 $a \oplus b = \frac{1}{b} - \frac{1}{a}$ ，若 $2 \oplus (2 x - 1) = 1$ ，则 $x$ 的值为（）

A、 $\frac{5}{6}$ B、 $\frac{5}{4}$ C、 $\frac{3}{2}$ D、 $- \frac{1}{6}$

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二、填空题

13. 如图，在 $△ A B C$ 中，点 $E$ 为 $A C$ 的中点， $D E ⊥ A C$ ，若 $B C = 8$ ， $A D = 3$ ，则 $B D =$ .

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14. 已知：如图，△OAD≌△OBC，且∠O＝70°，∠C＝25°，则∠AEB＝度.

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15. 已知 $\frac{1}{x} - \frac{1}{y} = 5$ ，则 $\frac{2 x + 3 x y - 2 y}{x - 2 x y - y} =$ .

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16. 如图，点 $O$ 在 $△ A B C$ 内部，且到三边的距离相等，若 $∠ B O C = 130 °$ ，则 $∠ A =$ ．

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17. 关于x的方程 $\frac{x - 1}{x - 3} = 2 + \frac{k}{x - 3}$ 有增根，则k的值是.

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18. 已知 $\frac{5 x - 4}{(x - 5) (x + 2)} = \frac{A}{x - 5} + \frac{B}{x + 2}$ ，则 $A =$ ， $B =$ ．

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三、解答题

19. 计算和化简求值.

(1)、计算： $\frac{1}{x - 1} - \frac{1}{x^{2} - 1}$

(2)、计算： $\frac{m^{2} - 6 m + 9}{m^{2} - 4} \cdot \frac{m - 2}{3 - m}$

(3)、先化简再求值： $\frac{x - y}{x} \div (x - \frac{2 x y - y^{2}}{x})$ ，其中 $x = 2019$ ， $y = 2018$ .

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20. 解分式方程

(1)、 $\frac{2 (x - 2)}{x - 1} + 1 = \frac{2}{1 - x}$

(2)、 $\frac{x + 1}{4 x^{2} - 1} = \frac{3}{2 x + 1} - \frac{2}{2 x - 1}$

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21. 如图，完成下列推理过程：
如图所示，点E在 $Δ A B C$ 外部，点D在BC边上，DE交AC于F ，若 $∠ 1 = ∠ 2 = ∠ 3$ ， $A D = A B$ ，

求证： $A C = A E$ ．

证明：∵ $∠ 2 = ∠ 3$ （已知），

$∠ A F E = ∠ D F C$ （ ▲ ），

∴ $∠ E = ∠ C$ （ ▲ ），

又∵ $∠ 1 = ∠ 2$ ，

∴ ▲ $+ ∠ D A C =$ ▲ $+ ∠ D A C$ （ ▲ ），

即 $∠ B A C = ∠ D A E$ ，

在 $Δ A B C$ 和 $Δ A D E$ 中

$∠ E = ∠ C$ （已证）

∵ $A B = A D$ （已知）

$∠ B A E = ∠ D A E$ （已证）

∴ $Δ A B C ≅ Δ A D E$ （ ▲ ）.

∴ $A C = A E$ （ ▲ ）

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22. 某文化用品商店用 $2000$ 元采购一批书包，上市后发现供不应求，很快销售完了.商店又去采购第二批同样款式的书包，进货单价比第一次高 $4$ 元，商店用了 $6300$ 元，所购数量是第一次的 $3$ 倍.

(1)、求第一批采购的书包的单价是多少元？

(2)、若商店按售价为每个书包 $120$ 元，销售完这两批书包，总共获利多少元？

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23. 阅读下面的解题过程：
已知 $\frac{x}{x^{2} + 1} = \frac{1}{3}$ ，求 $\frac{x^{2}}{x^{4} + 1}$ 的值.

解：由 $\frac{x}{x^{2} + 1} = \frac{1}{3}$ 知 $x \neq 0$ 所以 $\frac{x^{2} + 1}{x} = 3$ 即 $x + \frac{1}{x} = 3$

所以， $\frac{x^{4} + 1}{x^{2}} = x^{2} + \frac{1}{x^{2}} = {(x + \frac{1}{x})}^{2} - 2 x \cdot \frac{1}{x} = 3^{2} - 2 = 7$ 所以 $\frac{x^{2}}{x^{4} + 1}$ 的值为 $\frac{1}{7}$ .

说明：该题的解法叫做“倒数法

请你利用“倒数法”解下面题目：

已知： $\frac{x}{x^{2} - 2 x - 2} = 4$ 求：

(1)、 $x - \frac{2}{x}$ 的值；

(2)、 $\frac{x^{2}}{x^{4} - 6 x^{2} + 4}$ 的值。

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24. 如图1，CA=CB，CD=CE，∠ACB=∠DCE=α.

(1)、求证：BE=AD；

(2)、当α=90°时，取AD，BE的中点分别为点P、Q，连接CP，CQ，PQ，如图②，判断△CPQ的形状，并加以证明.

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