山东省青岛市李沧区2019-2020学年八年级上学期数学期中试卷

试卷更新日期：2020-09-27 类型：期中考试

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一、单选题

1. $\sqrt{3}$ 的相反数是（）

A、 $\sqrt{3}$ B、 $- \sqrt{3}$ C、 $\pm \sqrt{3}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$

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2. 下列三角形是直角三角形的是（）

A、 B、 C、 D、

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3. $\sqrt{64}$ 的立方根是（）

A、2 B、4 C、±2 D、±8

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4. 若点P（m＋3，m－2）在直角坐标系的x轴上，则点P的坐标为（）

A、（0，5） B、（5，0） C、（－5，0） D、（0，－5）

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5. 黄金分割数 $\frac{\sqrt{5} - 1}{2}$ 是一个很奇妙的数，大量应用于艺术、建筑和统计决策等方面，请你估算 $\sqrt{5}$ ﹣1的值（）

A、在1.1和1.2之间 B、在1.2和1.3之间 C、在1.3和1.4之间 D、在1.4和1.5之间

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6. 在某次试验中，测得两个变量 $x$ 和 $y$ 之间的4组对应数据如下表：

$x$

1

2

3

4

$y$

0

3

8

15

则 $y$ 与 $x$ 之间的关系满足下列关系式（）

A、 $y = 2 x - 2$ B、 $y = 3 x - 3$ C、 $y = x^{2} - 1$ D、 $y = x + 1$

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7. 实数 $a ， b$ 在数轴上的位置如图所示，化简 $| a - b | - \sqrt{b^{2}}$ 的结果是（）

A、 $a - 2 b$ B、 $a$ C、 $2 b - a$ D、 $- a$

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8. 能表示一次函数y＝mx+n与正比例函数y＝mnx（m ， n是常数且m≠0）的图象的是（）

A、 B、 C、 D、

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二、填空题

9. 如图所示的棋盘放置在某个平面直角坐标系内，棋子①的坐标为 $(- 3 ， - 2)$ ，棋子②的坐标为 $(0 ， - 3)$ ，那么棋子③的坐标是.

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10. 已知一个直角三角形的两边长分别为12和5，则第三条边的长度为

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11. 当 $k =$ 时，函数 $y = (k + 1) x^{2 - | k |} + 4$ 是一次函数。

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12. 已知点在第四象限，且点Ｐ到ｘ轴的距离为5，到ｙ轴的距离为2，那么点Ｐ的坐标为．

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13. 已知一次函数 $y = k x + b (k \neq 0)$ 同时满足下列两个条件：①图象经过点 $(0, 3)$ ；②函数值 $y$ 随 $x$ 的增大而增大。请你写出符合要求的一次函数关系式（写出一个即可）

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14. 如图，有一个三级台阶，它的每一级的长，宽和高分别是 $16$ ， $3$ ， $1$ ，点 $A$ 和点 $B$ 是这个台阶两个相对的端点， $A$ 点有一只蚂蚁，想到 $B$ 点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶表面爬到 $B$ 点的最短路程是．

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15. 一个数的算术平方根为 $3 m - 4$ ，平方根为 $\pm (2 m - 1)$ ，则这个数是.

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16. 在平面直角坐标系中， $Δ O A B$ 的位置如图所示，其中点 $O$ 为坐标原点， $∠ O A B = 90^{0}$ ， $∠ A O B = 45^{0} ， O B = 4$ ，则点 $A$ 关于 $y$ 轴对称的点的坐标是.

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三、解答题

17. 计算

(1)、 $(2 \sqrt{3} + 1) (2 \sqrt{3} - 1)$

(2)、 $\sqrt{32} - 6 \sqrt{\frac{1}{2}} + \sqrt{2}$

(3)、 $(\sqrt{24} - \sqrt{\frac{1}{6}}) \div \sqrt{2}$

(4)、 $\frac{\sqrt{12} \times \sqrt{27}}{\sqrt{3}} - \sqrt{24} \times \sqrt{2}$

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18. 如图，正方形网格中每个小正方形的边长都是1，小正方形的顶点叫格点，以格点为顶点画一个直角三角形，使其面积为4，且至少有两边长为无理数.

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19. 如图，已知 $C D = 6 ， A D = 8 ， ∠ A D C = 90^{0} ， B C = 24 ， A B = 26$ 。求图中阴影部分的面积。

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20. 某一品牌的乒乓球在甲、乙两个商场的标价都是每个3元，在销售时都有一定的优惠。甲商场的优惠条件是购买不超过10个按原价销售，超过10个，超出部分按8折优惠；乙商场的优惠条件是无论买多少个都按9折优惠。

(1)、分别写出在甲、乙两个商场购买这种乒乓球应付金额 $y$ 元与购买个数 $x (x > 10)$ 个之间的函数关系式；

(2)、若要购买30个乒乓球，到哪家商场购买合算？请说明理由。

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21. 一列动车从甲地开往乙地，一列普通列车从乙地开往甲地，两车同时出发，设普通列车行驶的时间为 $x$ （小时），两车之间的距离为 $y$ （千米），图中的折线表示 $y$ 与 $x$ 之间的函数关系。
根据图象回答下列问题：

(1)、甲地与乙地相距千米，两车出发后小时相遇；

(2)、普通列车到达终点共需小时，普通列车的速度是千米/小时；

(3)、动车的速度是千米/小时；

(4)、t的值为.

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22. 如图，在长方形 $A B C D$ 中，点 $E$ 在边 $A B$ 上，把长方形 $A B C D$ 沿直线 $D E$ 折叠，点 $A$ 落在边 $B C$ 上的点 $F$ 处。若 $A E = 5 ， B F = 3$ .

(1)、求 $A B$ 的长；

(2)、求 $Δ C D F$ 的面积。

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23. 我们已经知道，形如 $\frac{c}{\sqrt{a} \pm \sqrt{b}}$ 的无理数的化简要借助平方差公式：
例如： $\frac{3}{2 - \sqrt{3}} = \frac{3 \times (2 + \sqrt{3})}{(2 - \sqrt{3}) (2 + \sqrt{3})} = \frac{6 + 3 \sqrt{3}}{{(2)}^{2} - {(\sqrt{3})}^{2}} = \frac{6 + 3 \sqrt{3}}{4 - 3} = 6 + 3 \sqrt{3}$ 。

下面我们来看看完全平方公式在无理数化简中的作用。

问题提出： $\sqrt{7 + 4 \sqrt{3}}$ 该如何化简？

建立模型：形如 $\sqrt{m \pm 2 \sqrt{n}}$ 的化简，只要我们找到两个数 $a, b$ ，使 $a + b = m, a b = n$ ，这样 ${(\sqrt{a})}^{2} + {(\sqrt{b})}^{2} = m$ ， $\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{n}$ ，那么便有： $\sqrt{m \pm 2 \sqrt{n}} = \sqrt{{(\sqrt{a} \pm \sqrt{b})}^{2}} = \sqrt{a} \pm \sqrt{b} (a > b)$ ，

问题解决：化简 $\sqrt{7 + 4 \sqrt{3}}$ ，

解：首先把 $\sqrt{7 + 4 \sqrt{3}}$ 化为 $\sqrt{7 + 2 \sqrt{12}}$ ，这里 $m = 7$ ， $n = 12$ ，由于4+3=7， $4 \times 3 = 12$ ，

即（ ${(\sqrt{4})}^{2} + {(\sqrt{3})}^{2} = 7$ ， $\sqrt{4} \times \sqrt{3} = \sqrt{12}$ ，

∴ $\sqrt{7 + 4 \sqrt{3}} = \sqrt{7 + 2 \sqrt{12}} = \sqrt{{(\sqrt{4} + \sqrt{3})}^{2}} = 2 + \sqrt{3}$

模型应用1：

利用上述解决问题的方法化简下列各式：

(1)、 $\sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}$ ；

(2)、 $\sqrt{11 - 4 \sqrt{6}}$ ；
模型应用2：

(3)、在 $R t Δ A B C$ 中， $∠ C = 90^{0}$ ， $A B = 4 - \sqrt{3}$ ， $A C = \sqrt{3}$ ，那么 $B C$ 边的长为多少？（结果化成最简）。

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24. 如图，一次函数 $y = x + 2$ 的图象分别与 $x$ 轴和 $y$ 轴交于 $C$ ， $A$ 两点，且与正比例函数 $y = k x$ 的图象交于点 $B (- 1 ， m)$ .

(1)、求 $m$ 的值；

(2)、求正比例函数的表达式；

(3)、点 $D$ 是一次函数图象上的一点，且 $Δ O C D$ 的面积是3，求点 $D$ 的坐标；

(4)、在 $x$ 轴上是否存在点 $P$ ，使 $B P + A P$ 的值最小？若存在，求出点 $P$ 的坐标，若不存在，说明理由.

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$x$	1	2	3	4
$y$	0	3	8	15