山东省青岛市即墨区2019-2020学年八年级上学期数学期中试卷

试卷更新日期：2020-09-27 类型：期中考试

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一、单选题

1. 在-3.14159…，2.1， $\frac{π}{2}$ ， $\sqrt{0.4}$ ， $\frac{11}{5}$ ， $- \sqrt[3]{0.001}$ 中，无理数有（）个

A、2 B、3 C、4 D、5

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2. 根据下列所给条件，能判定一个三角形是直角三角形的有（   ）
①三条边的边长之比是1:2:3    ②三个内角的度数之比是1:1:2

③三条边的边长分别是 $\frac{1}{3}$ ， $\frac{1}{4}$ ， $\frac{1}{5}$     ④三条边的边长分别是 $\sqrt{2}$ ， $\sqrt{3}$ ， $\sqrt{5}$

A、个 B、2个 C、3个 D、4个

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3. 下列计算正确的是（）

A、 $\frac{\sqrt{27} - \sqrt{12}}{3} = \sqrt{9} - \sqrt{4} = \sqrt{5}$ B、 $\sqrt{8} - \sqrt{2} = \sqrt{3}$ C、 $(2 - \sqrt{5}) (2 + \sqrt{5}) = - 1$ D、 $\frac{6 - \sqrt{2}}{\sqrt{2}} = 2 \sqrt{2}$

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4. 若点 $(m ， - 1)$ 和点 $(2 ， n)$ 关于 $x$ 轴对称，则 $m + n$ 等于（）

A、-2 B、-1 C、1 D、3

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5. 下列语句中， $y$ 与 $x$ 是一次函数关系的有（）个．
⑴汽车以80千米/时的速度匀速行驶，行驶路程 $y$ （千米）与行驶时间 $x$ （时）之间的关系；（2）圆的面积 $y$ （厘米 $^{2}$ ）与它的半径 $x$ （厘米）之间的关系；（3）一棵树现在高50厘米，每个月平均长高2厘米， $x$ 月后这棵树的高度是 $y$ 厘米， $y$ 与 $x$ 的关系；（4）猪肉的单价是60元/千克，当购买 $x$ 千克猪肉时，花费 $y$ 元， $y$ 与 $x$ 的关系．

A、1 B、2 C、3 D、4

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6. 如图，以数轴的单位长线段为边作一个正方形，以-1所在的点为旋转中心，将过-1点的对角线顺时针旋转，使对角线的另一端点落在数轴正半轴的点 $A$ 处，则点 $A$ 表示的数是（）

A、 $\sqrt{2}$ B、 $- \sqrt{2}$ C、 $\sqrt{2} - 1$ D、 $1 - \sqrt{2}$

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7. 如图，一架云梯长25米，斜靠在一面墙上，梯子底端离墙7米，如果梯子的底部在水平方向上向右滑动了8米，那么梯子的顶端下滑（）米．

A、4米 B、6米 C、8米 D、10米

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8. 已知点 $A (x_{1} ， y_{1})$ ， $B (x_{2} ， y_{2})$ ， $C (x_{3} ， y_{3})$ ， $D (2 ， - 1)$ 四点在直线 $y = k x + 4$ 的图象上，且 $x_{1} > x_{3} > x_{2}$ ，则 $y_{1} ， y_{2} ， y_{3}$ 的大小关系为（）

A、 $y_{1} > y_{2} > y_{3}$ B、 $y_{1} < y_{3} < y_{2}$ C、 $y_{2} > y_{1} > y_{3}$ D、 $y_{3} < y_{2} < y_{1}$

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9. 两个一次函数 $y_{1} = a x + b$ 与 $y_{2} = b x + a$ ，它们在同一直角坐标系中的图象可能是（）

A、 B、 C、 D、

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10. 已知，如图长方形ABCD中，AB=3cm，AD=9cm，将此长方形折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，则△ABE的面积为（）

A、6cm² B、8cm² C、10cm² D、12cm²

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二、填空题

11. 18的算术平方根是， $\sqrt{25}$ 的平方根是， -0.064的立方根是．

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12. 直线y=3x+b与y轴的交点的纵坐标为-2，则这条直线一定不过象限.

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13. $3 - \sqrt{5}$ 的相反数是，绝对值是． $3 \sqrt{2}$ 的倒数是．

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14. 如图，每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，如果用 $(- 1 ， - 3)$ 表示 $A$ 点的位置，用 $(2 ， 1)$ 表示 $B$ 点的位置，方格纸中有一点 $P$ ，且到 $B ， C$ 两点的距离相等都是 $\sqrt{17}$ ，则点 $P$ 的坐标为．

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15. 如图，数轴上 $A 、 B$ 两点表示的数分别为 $- 2$ 和 $\sqrt{5}$ ，点 $B$ 关于点 $A$ 的对称点为 $C$ ，则点 $C$ 所表示的数是．

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16. 在如图所示的平面直角坐标系中，点P是直线y=x上的动点，A（1，0），B（2，0）是x轴上的两点，则PA+PB的最小值为．

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17. 勾股定理是几何中的一个重要定理．在我国古算书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载．如图1是由边长相等的小正方形和直角三角形构成的，可以用其面积关系验证勾股定理．图2是把图1放入长方形内得到的， $∠ B A C = 90^{\circ}$ ，AB=3，AC=4，点D，E，F，G，H，I都在长方形KLMJ的边上，则长方形KLMJ的面积为．

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三、解答题

18. 如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形，建立平面直角坐标系后，点 $A$ 的坐标为 $(- 6 ， 1)$ ，点 $B$ 的坐标为 $(- 2 ， - 1)$ ，点 $C$ 的坐标为 $(- 4 ， 3)$ ．

(1)、在所给的坐标系里画出 $Δ A B C$ 关于 $y$ 轴对称的图形；

(2)、 $Δ A B C$ 的面积是．

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19. 计算：

(1)、 $2 \sqrt{12} - 3 \sqrt{48}$

(2)、 ${(2 \sqrt{3} - 1)}^{2} - (\sqrt{5} + \sqrt{2}) (\sqrt{5} - \sqrt{2})$

(3)、 $3 \sqrt{45} - 2 \sqrt{20} + \sqrt{\frac{1}{5}}$

(4)、 $\frac{\sqrt{10} \times \sqrt{20}}{\sqrt{2}} - \sqrt[3]{64}$

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20. 如图，为了更好的固定电线杆，工人准备从离地面 $6 m$ 高处向地面拉一条缆绳，地面的固定点距离电线杆底部 $7 m$ 远，如果不计连接处的损耗，一条 $9 m$ 长的缆绳够用吗？

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21. 如图表示甲和乙沿相同路线相向行驶， $l_{1}$ ， $l_{2}$ 表示两人离 $A$ 地行驶的路程 $S$ （千米）与经过的时间 $t$ （小时）之间的函数关系．甲先出发， $A 、 B$ 两地相距90千米．请根据这个行驶过程中的图象填空：

(1)、表示甲离 $A$ 地的距离与时间的关系的图象是（填 $l_{1}$ 或 $l_{2}$ ），甲的速度是，乙的速度是：．

(2)、甲出发多少时间两人恰好相距 $15 k m$ ？

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22. 甲乙两商店出售同样的茶壶和茶杯，茶壶每只定价20元，茶杯每只定价5元，两家商店搞促销活动，甲店：买一只茶壶赠一只茶杯；乙店：按定价的9折优惠，某顾客需购买茶壶4只，茶杯若干只（不少于4只）．

(1)、设购买茶杯数为 $x$ （只），在甲店购买的付款为 $y_{甲}$ （元），在乙店购买的付款数为 $y_{乙}$ （元），分别写出在两家商店购物的付款数与茶杯数 $x$ 之间的关系式；

(2)、当购买多少只茶杯时，两家商店的花费相同？

(3)、当购买20只茶杯时，去哪家商店购物比较合算？

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23. 如图，直线y=2x+3与x轴相交于点A，与y轴相交于点B.

(1)、求A，B两点的坐标；

(2)、过B点作直线BP与x轴相交于P，且使OP=2OA，求ΔABP的面积.

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24. （数学问题）在同一直角坐标系内直线 $y = k_{1} x (k_{1} \neq 0)$ 与 $y = k_{2} x (k_{2} \neq 0)$ ，当 $k_{1} ， k_{2}$ 满足什么条件时，这两条直线互相垂直？
探究问题：我们采取一般问题特殊化的策略来进行探究．

探究一：如图①，在同一直角坐标系内直线 $y = x$ 与 $y = - x$ 有怎样的位置关系？

解：如图①，设点 $A (t ， t) (t > 0)$ 在直线 $y = x$ 上，则点 $B (- t ， t)$ 一定在直线 $y = - x$ 上．过点 $A 、 B$ 分别作 $x$ 的垂线，垂足分别为 $C ， D$ ．

则 $O C = A C = t$ ， $O D = B D = t$

∴ $∠ A O C = ∠ B O D = 45^{\circ}$

∵ $∠ D O C = 180^{\circ}$

∴ $∠ A O B = 90^{\circ}$

所以，在同一直角坐标系内直线 $y = x$ 与 $y = - x$ 互相垂直．

探究二：如图②，在同一直角坐标系内直线 $y = 2 x$ 上，则点 $B (- 2 t ， t)$ 一定在直线 $y = - \frac{1}{2} x$ 上．过点 $A 、 B$ 分别作 $x$ 轴的垂线，垂足分别为 $C ， D$ ．

∵ $O C = t$ ， $A C = 2 t$ ， $O D = 2 t$ ， $B D = t$

∴ $O C = B D$ ， $A C = O D$

又∵ $∠ A C O = ∠ O D B = 90^{\circ}$

∴ $Δ A O C ≅ Δ O D B$

∴ $∠ A O C = ∠ O B D$

又∵ $∠ B O D = ∠ O B D = 90^{\circ}$

∴ $∠ B O D + ∠ A O C = 90^{\circ}$

∵ $∠ D O C = 180^{\circ}$

∴ $∠ A O B = 90^{\circ}$

所以，在同一直角坐标系内直线 $y = 2 x$ 与 $y = - \frac{1}{2} x$ 互相垂直．

探究三：如图③，在同一直角坐标系内直线 $y = 3 x$ 与 $y = - \frac{1}{3} x$ 有怎样的位置关系？

（仿照上述方法解答，写出探究过程）

(1)、在同一直角坐标系内直线 $y = k_{1} x (k_{1} \neq 0)$ 与 $y = k_{2} x (k_{2} \neq 0)$ ，当 $k_{1} ， k_{2}$ 满足数量关系为时，这两条直线互相垂直．

(2)、在同一直角坐标系内已知直线 $y = k x + 10.4 (k \neq 0)$ 与直线 $y = 0.2 x$ ，使它与直线 $y = 0.2 x$ 互相垂直， $k$ 的值为：；两直线垂足的坐标为：．

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