广东省惠州市2020届高三上学期理数第一次调研试卷

试卷更新日期：2020-09-25 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 已知集合 $M = {x | x^{2} - 2 x < 0}$ ， $N = {- 2, - 1, 0, 1, 2}$ ，则 $M \cap N =$ （）

A、∅ B、 ${1}$ C、 ${0 ， 1}$ D、 ${- 1 ， 0 ， 1}$

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2. 设 $(2 + i) (3 - x i) = 3 + (y + 5) i$ ( $i$ 为虚数单位），其中 $x ， y$ 是实数，则 $| x + y i |$ 等于（）

A、5 B、 $\sqrt{13}$ C、 $2 \sqrt{2}$ D、2

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3. 某高校调查了320名学生每周的自习时间（单位：小时），制成了下图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是 $f (x) = 2 \sin (2 x + φ) (0 < φ < π)$ ，样本数据分组为 $f (x) = 2 \sin (2 x + φ) (0 < φ < π)$ ， $f (x) = 2 \sin (2 x + φ) (0 < φ < π)$ ， $f (x) = 2 \sin (2 x + φ) (0 < φ < π)$ ， $f (x) = 2 \sin (2 x + φ) (0 < φ < π)$ ， $f (x) = 2 \sin (2 x + φ) (0 < φ < π)$ .根据直方图，这320名学生中每周的自习时间不足22.5小时的人数是（）

A、68 B、72 C、76 D、80

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4. 七人并排站成一行，如果甲乙两个必须不相邻，那么不同的排法种数是（）

A、3600种 B、1440种 C、4820种 D、4800种

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5. 正方形 $A B C D$ 中，点 $E$ ， $F$ 分别是 $C D$ ， $B C$ 的中点，那么 $\overset{⇀}{E F} =$ （）

A、 $\frac{1}{2} \overset{⇀}{A B} + \frac{1}{2} \overset{⇀}{A D}$ B、 $- \frac{1}{2} \overset{⇀}{A B} - \frac{1}{2} \overset{⇀}{A D}$ C、 $- \frac{1}{2} \overset{⇀}{A B} + \frac{1}{2} \overset{⇀}{A D}$ D、 $\frac{1}{2} \overset{⇀}{A B} - \frac{1}{2} \overset{⇀}{A D}$

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6. 等比数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，公比为 $q$ ，若 $S_{6} = 9 S_{3}$ ， $S_{5} = 62$ ，则 $a_{1} =$ （）

A、 $\sqrt{2}$ B、2 C、 $\sqrt{5}$ D、3

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7. 设双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （ $a > 0$ ， $b > 0$ ）的一条渐近线为 $y = 2 x$ ，且一个焦点与抛物线 $y^{2} = 4 x$ 的焦点相同，则此双曲线的方程为（）

A、 $\frac{5}{4} x^{2} - 5 y^{2} = 1$ B、 $5 y^{2} - \frac{5}{4} x^{2} = 1$ C、 $5 x^{2} - \frac{5}{4} y^{2} = 1$ D、 $\frac{5}{4} y^{2} - 5 x^{2} = 1$

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8. 将函数 $y = \sin x$ 的图象向左平移 $\frac{π}{2}$ 个单位，得到函数 $y = f (x)$ 的函数图象，则下列说法正确的是（）

A、 $y = f (x)$ 是奇函数； B、 $y = f (x)$ 的周期是 $π$ ； C、 $y = f (x)$ 的图象关于直线 $x = \frac{π}{2}$ 对称； D、 $y = f (x)$ 的图象关于点 $(\frac{π}{2} ， 0)$ 对称.

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9. 设 $a ， b$ 是两条不同的直线， $α ， β$ 是两个不同的平面，则 $α / / β$ 的一个充分条件是（）

A、存在两条异面直线 $a ， b$ ， $a \subset α ， b \subset β ， a / / β ， b / / α$ . B、存在一条直线 $a$ ， $a / / α ， a / / β$ . C、存在一条直线 $a$ ， $a \subset a ， a / / β$ . D、存在两条平行直线 $a ， b$ ， $a \subset α ， b \subset β ， a / / β ， b / / a$ .

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10. 已知 $F$ 是抛物线 $C : y = 2 x^{2}$ 的焦点， $N$ 是 $x$ 轴上一点，线段 $F N$ 与抛物线 $C$ 相交于点 $M$ ，若 $2 \vec{F M} = \vec{M N}$ ，则 $| F N | =$ （）

A、 $\frac{5}{8}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{3}{8}$ D、1

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11. 关于圆周率 $π$ ，数学发展史上出现过许多有创意的求法，如著名的普丰实验和查理斯实验．受其启发，我们也可以通过设计下面的实验来估计 $π$ 的值：先请120名同学每人随机写下一个x，y都小于1的正实数对 $(x ， y)$ ，再统计其中x，y能与1构成钝角三角形三边的数对 $(x ， y)$ 的个数m，最后根据统计个数m估计 $π$ 的值．如果统计结果是 $m = 34$ ，那么可以估计 $π$ 的值为（）

A、 $\frac{23}{7}$ B、 $\frac{47}{15}$ C、 $\frac{17}{15}$ D、 $\frac{53}{17}$

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12. 已知函数 $f (x) = | ln (\sqrt{x^{2} + 1} - x) |$ ，设 $a = f ({log}_{3} 0.2)$ ， $b = f (3^{- 0.2})$ ， $c = f (- 3^{1.1})$ ，则（）

A、 $a > b > c$ B、 $b > a > c$ C、 $c > b > a$ D、 $c > a > b$

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二、填空题

13. 已知 $x > \frac{5}{4}$ ，则函数 $y = 4 x + \frac{1}{4 x - 5}$ 的最小值为.

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14. 在 $Δ A B C$ 中， $∠ A B C = \frac{π}{4}$ ， $A B = \sqrt{2}$ ， $B C = 3$ ，则 $\sin ∠ B A C =$ ．

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15. 设 ${a_{n}}$ 是公差不为零的等差数列， $S_{n}$ 为其前 $n$ 项和.已知 $S_{1}, S_{2}, S_{4}$ 成等比数列，且 $a_{3} = 5$ ，则数列 ${a_{n}}$ 的通项公式为.

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16. 在三棱锥 $A - B C D$ 中，底面为 $R t Δ$ ，且 $B C ⊥ C D$ ，斜边 $B D$ 上的高为 $1$ ，三棱锥 $A - B C D$ 的外接球的直径是 $A B$ ，若该外接球的表面积为 $16 π$ ，则三棱锥 $A - B C D$ 的体积的最大值为．

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三、解答题

17. 已知△ABC的内角A，B，C满足 $\frac{\sin A - \sin B + \sin C}{\sin C} = \frac{\sin B}{\sin A + \sin B - \sin C}$ ．

(1)、求角A；

(2)、若△ABC的外接圆半径为1，求△ABC的面积S的最大值．

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18. 如图，三棱锥 $P - A B C$ 中， $P C ⊥$ 平面

$A B C$ ， $P C = 3$ ， $∠ A C B = \frac{π}{2}$ ． $D ， E$ 分别为线段 $A B ， B C$ 上的点，且 $C D = D E = \sqrt{2} ， C E = 2 E B = 2$ ．

(1)、证明： $D E ⊥$ 平面 $P C D$ ；

(2)、求二面角 $A - P D - C$ 的余弦值．

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19. 已知定点 $A (- 3, 0)$ ， $B (3, 0)$ ，直线 $A M$ 、 $B M$ 相交于点 $M$ ，且它们的斜率之积为 $- \frac{1}{9}$ ，记动点 $M$ 的轨迹为曲线 $C$ 。

(1)、求曲线 $C$ 的方程；

(2)、过点 $T (1, 0)$ 的直线与曲线 $C$ 交于 $P$ 、 $Q$ 两点，是否存在定点 $S (x_{0}, 0)$ ，使得直线 $S P$ 与 $S Q$ 斜率之积为定值，若存在，求出 $S$ 坐标；若不存在，请说明理由。

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20. 已知函数 $f (x) = 2 \ln (x - 1) - {(x - 1)}^{2}$ .

(1)、求函数 $f (x)$ 的单调递增区间；

(2)、若关于 $x$ 的方程 $f (x) + x^{2} - 3 x - a = 0$ 在区间 $[2 ， 4]$ 内恰有两个相异的实根，求实数 $a$ 的取值范围.

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21. 某种大型医疗检查机器生产商，对一次性购买2台机器的客户，推出两种超过质保期后两年内的延保维修优惠方案：方案一：交纳延保金7000元，在延保的两年内可免费维修2次，超过2次每次收取维修费2000元；方案二：交纳延保金10000元，在延保的两年内可免费维修4次，超过4次每次收取维修费1000元.某医院准备一次性购买2台这种机器。现需决策在购买机器时应购买哪种延保方案，为此搜集并整理了50台这种机器超过质保期后延保两年内维修的次数，得下表：

维修次数

0

1

2

3

台数

5

10

20

15

以这50台机器维修次数的频率代替1台机器维修次数发生的概率，记X表示这2台机器超过质保期后延保的两年内共需维修的次数。

(1)、求X的分布列；

(2)、以所需延保金及维修费用的期望值为决策依据，医院选择哪种延保方案更合算？

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22. 在直角坐标系 $x O y$ 中，曲线 $C_{1}$ 的参数方程为 ${\begin{array}{l} x = t \\ y = 3 - t \end{array}$ （ $t$ 为参数）.在以坐标原点为极点， $x$ 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线 $C_{2}$ 的极坐标方程为 $ρ = 4 \cos θ$ .

(1)、写出 $C_{1}$ 的普通方程和 $C_{2}$ 的直角坐标方程；

(2)、若 $C_{1}$ 与 $C_{2}$ 相交于 $A$ ､ $B$ 两点，求 $Δ O A B$ 的面积.

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23. 已知 $f (x) = | x + 1 | + | a x - a + 1 |$ ．

(1)、当 $a = 1$ 时，求不等式 $f (x) \geq 3$ 的解集;

(2)、若 $x \geq 1$ 时，不等式 $f (x) \geq x + 2$ 恒成立，求a的取值范围．

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维修次数	0	1	2	3
台数	5	10	20	15