广东省广州市2020届高三上学期理数12月调研测试试卷

试卷更新日期：2020-09-25 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 如图，已知全集U=Z，集合 $A = {- 2 ， - 1 ， 0 ， 1 ， 2}$ ，集合 $B = {1 ， 2 ， 3 ， 4}$ ，则图中阴影部分表示的集合是（）

A、 ${2 ， 3 ， 4}$ B、 ${2 ， 3 ， 4 ， 5}$ C、 ${3 ， 4}$ D、 ${3 ， 4 ， 5}$

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2. 已知z= $\frac{{(1 - i)}^{2}}{1 + i}$ (i为虚数单位)，在复平面内，复数z的共轭复数 $\bar{z}$ 对应的点在（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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3. 已知 $a = {(\frac{1}{2})}^{\frac{1}{3}}$ ， $b = \log_{2} 3$ ， $c = \log_{4} 6$ ，则a，b，c的大小关系为（）

A、 $a > c > b$ B、 $a < b = c$ C、 $a > b > c$ D、 $a < c < b$

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4. 已知实数 $x ， y$ 满足 ${\begin{matrix} 2 x + y - 2 \geq 0 \\ 3 x - y - 3 \leq 0 \\ x - 2 y + 4 \geq 0 \end{matrix}$ ，则 $z = x - 3 y$ 的最小值为（）

A、－7 B、－6 C、1 D、6

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5. 某大学选拔新生补充进“篮球”，“电子竞技”，“国学”三个社团，据资料统计，新生通过考核选拔进入这三个社团成功与否相互独立，2019年某新生入学，假设他通过考核选拔进入该校的“篮球”，“电子竞技”，“国学”三个社团的概率依次为概率依次为m， $\frac{1}{3}$ ，n，已知三个社团他都能进入的概率为 $\frac{1}{24}$ ，至少进入一个社团的概率为 $\frac{3}{4}$ ，且m＞n．则 $m + n =$ （）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{2}{3}$ C、 $\frac{3}{4}$ D、 $\frac{5}{12}$

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6. 利用如图算法在平面直角坐标系上打印一系列点，则打印的点在圆x²+y²=25内的个数为（）

A、2 B、3 C、4 D、5

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7. 已知F为双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ 的右焦点，过F做C的渐近线的垂线FD，垂足为D，且满足 $| F D | = \frac{1}{2} | O F |$ （O为坐标原点），则双曲线的离心率为（）

A、 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ B、2 C、3 D、 $\frac{\sqrt{10}}{3}$

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8. 函数 $f (x) = \ln | x | + | \sin x |$ （ $- π \leq x \leq π ，$ 且 $x \neq 0$ ）的大致图像是（）

A、 B、 C、 D、

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9. 如图，在 $Δ A B C$ 中， $A D ⊥ A B$ ， $B C = \sqrt{3} B D$ ， $A D = 1$ ，则 $\vec{A C} \cdot \vec{A D} =$ （）

A、 $\sqrt{3}$ B、3 C、 $- \sqrt{3}$ D、-3

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10. 1772年德国的天文学家波得发现了求太阳的行星距离的法则，记地球距离太阳的平均距离为10，可以算得当时已知的六大行星距离太阳的平均距离如下表：

星名	水星	金星	地球	火星	木星	土星
与太阳的距离	4	7	10	16	52	100

除水星外，其余各星与太阳的距离都满足波得定则（某一数列规律），当时德国数学家高斯根据此定则推算，火星和木星之间距离太阳28还有一颗大行星，1801年，意大利天文学家皮亚齐经过观测，果然找到了火星和木星之间距离太阳28的谷神星以及它所在的小行星带，请你根据这个定则，估算从水星开始由近到远算，第10个行星与太阳的平均距离大约是（）

A、388 B、772 C、1540 D、3076

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11. 已知点A，B关于坐标原点O对称， $| A B | = 1$ ，以M为圆心的圆过A，B两点，且与直线 $2 y - 1 = 0$ 相切，若存在定点P，使得当A运动时， $| M A | - | M P |$ 为定值，则点P的坐标为（）

A、 $(0 ， \frac{1}{4})$ B、 $(0 ， \frac{1}{2})$ C、 $(0 ， - \frac{1}{4})$ D、 $(0 ， - \frac{1}{2})$

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12. 已知偶函数 $f (x)$ 满足 $f (x + 4) = f (4 - x)$ ，且当 $x \in [0 ， 4]$ 时， $f (x) = x e^{- \frac{x}{2}}$ ，若关于x的不等式 $f^{2} (x) + a f (x) > 0$ 在 $[- 200 ， 200]$ 上有且只有300个整数解，则实数a的取值范围是（）

A、 $(- 3 e^{- \frac{3}{2}} ， - 4 e^{- 2}]$ B、 $(- 3 e^{- \frac{3}{2}} ， - e^{- \frac{1}{2}}]$ C、 $(- 2 e^{- 1} ， - 3 e^{- \frac{3}{2}}]$ D、 $(- e^{- \frac{1}{2}} ， - 4 e^{- 2}]$

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二、填空题

13. 已知 $θ \in (0 ， π)$ ， $\tan (θ + \frac{π}{4}) = \frac{4}{3}$ ，则 $\sin θ + \cos θ =$ .

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14. 若 ${(3 x + \frac{1}{\sqrt{x}})}^{n}$ 展开式的二项式系数之和是64，则展开式中的常数项的值是.

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15. 已知某正三棱锥的侧棱长大于底边长，其外接球体积为 $\frac{125 π}{6}$ ，三视图如图所示，则其侧视图的面积为.

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16. 在△ABC中，设角A，B，C对应的边分别为 $a, b, c$ ，记△ABC的面积为S，且 $4 a^{2} = b^{2} + 2 c^{2}$ ，则 $\frac{S}{a^{2}}$ 的最大值为.

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三、解答题

17. 已知 ${a_{n}}$ 为单调递增的等差数列， $a_{2} + a_{5} = 18$ ， $a_{3} \cdot a_{4} = 80$ ，设数列 ${b_{n}}$ 满足 $2 b_{1} + 2^{2} b_{2} + 2^{3} b_{3} + \dots + 2^{n} b_{n} = 2^{a_{n}} - 4$ ， $n \in N^{*}$ .

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项；

(2)、求数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ .

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18. 如图，已知四边形 $A B C D$ 是边长为2的菱形， $∠ A B C = 60 °$ ，平面 $A E F C$ $⊥$ 平面 $A B C D$ ， $E F // A C$ ， $A E = A B$ ， $A C = 2 E F$ .

(1)、求证：平面 $B E D$ $⊥$ 平面 $A E F C$ ；

(2)、若四边形 $A E F C$ 为直角梯形，且 $E A ⊥ A C$ ，求二面角 $B - F C - D$ 的余弦值.

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19. 某城市美团外卖配送员底薪是每月1800元，设每月配送单数为X，若 $X \in [1 ， 300]$ ，每单提成3元，若 $X \in (300 ， 600)$ ，每单提成4元，若 $X \in (600 ， + \infty)$ ，每单提成4.5元，饿了么外卖配送员底薪是每月2100元，设每月配送单数为Y,若 $Y \in [1 ， 400]$ ，每单提成3元，若 $Y \in (400 ， + \infty)$ ，每单提成4元，小想在美团外卖和饿了么外卖之间选择一份配送员工作，他随机调查了美团外卖配送员甲和饿了么外卖配送员乙在2019年4月份（30天）的送餐量数据，如下表：
表1：美团外卖配送员甲送餐量统计

日送餐量x（单）

13

14

16

17

18

20

天数

2

6

12

6

2

2

表2：饿了么外卖配送员乙送餐量统计

日送餐量x（单）

11

13

14

15

16

18

天数

4

5

12

3

5

1

(1)、设美团外卖配送员月工资为 $f (X)$ ，饿了么外卖配送员月工资为 $g (Y)$ ，当 $X = Y \in [300 ， 600]$ 时，比较 $f (X)$ 与 $g (Y)$ 的大小关系

(2)、将4月份的日送餐量的频率视为日送餐量的概率
（ⅰ）计算外卖配送员甲和乙每日送餐量的数学期望E（X）和E（Y）

（ⅱ）请利用所学的统计学知识为小王作出选择，并说明理由．

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20. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{3} = 1 (a > 0)$ 的右焦点F到左顶点的距离为3.

(1)、求椭圆C的方程；

(2)、设O是坐标原点，过点F的直线与椭圆C交于A，B两点（A，B不在x轴上），若 $\vec{O E} = \vec{O A} + \vec{O B}$ ，延长AO交椭圆与点G，求四边形AGBE的面积S的最大值.

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21. 已知函数 $f (x) = x^{2} - x + k \ln x .$

(1)、讨论函数 $f (x)$ 的单调性；

(2)、若函数 $f (x)$ 有两个极值点 $x_{1} ， x_{2}$ ，证明： $| f (x_{1}) - f (x_{2}) | < \frac{1}{4} - 2 k .$

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22. 在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为 ${\begin{matrix} x = m + \frac{1}{m} \\ y = m - \frac{1}{m} \end{matrix}$ （m为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线 $l$ 的极坐标方程为 $\sqrt{3} ρ \sin θ - ρ \cos θ - \sqrt{3} = 0.$

(1)、求曲线C和直线 $l$ 的直角坐标系方程；

(2)、已知 $P (0, 1)$ 直线 $l$ 与曲线C相交于A，B两点，求 $\frac{1}{| P A |} + \frac{1}{| P B |}$ 的值.

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23. 已知 $f (x) = | x - a | (x - 2) + | x - 2 | (x - a) .$

(1)、当 $a = 2$ 时，求不等式 $f (x) < 0$ 的解集；

(2)、若 $x \in (- \infty, a)$ 时， $f (x) < 0$ ，求 $a$ 的取值范围.

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日送餐量x（单）	13	14	16	17	18	20
天数	2	6	12	6	2	2

日送餐量x（单）	11	13	14	15	16	18
天数	4	5	12	3	5	1