河北省唐山市丰南区2019-2020学年九年级上学期数学期中试卷

试卷更新日期：2020-09-25 类型：期中考试

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一、单选题

1. 一元二次方程 ${(x - 1)}^{2} = 1$ 的解是（）

A、 $x_{1} = 1, x_{2} = - 1$ B、 $x_{1} = 0, x_{2} = - 1$ C、 $x = 2$ D、 $x_{1} = 2, x_{2} = 0$

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2. 已知二次函数y＝（2﹣a） $x^{a^{2} - 3}$ ，在其图象对称轴的左侧，y随x的增大而减小，则a的值为（）

A、 $\sqrt{5}$ B、± $\sqrt{5}$ C、﹣ $\sqrt{5}$ D、0

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3. 下面四个手机应用图标中是轴对称图形的是（　　）

A、 B、 C、 D、

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4. 用配方法解下列方程时，配方有错误的是（）

A、 $x^{2} - 2 x - 99 = 0$ 化为 ${(x - 1)}^{2} = 100$ B、 $2 x^{2} - 7 x - 4 = 0$ 化为 ${(x - \frac{7}{4})}^{2} = \frac{81}{16}$ C、 $x^{2} + 8 x + 9 = 0$ 化为 ${(x + 4)}^{2} = 25$ D、 $3 x^{2} - 4 x - 2 = 0$ 化为 ${(x - \frac{2}{3})}^{2} = \frac{10}{9}$

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5. 将抛物线 $y = {(x + 1)}^{2} - 2$ 向上平移 $a$ 个单位后得到的抛物线恰好与 $x$ 轴有一个交点，则a的值为（）

A、-1 B、1 C、-2 D、2

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6. 若一元二次方程 $x^{2} - (a + 1) x + a = 0$ 的两个实数根分别是 $b 、 2$ ，则 $b - a =$ （）

A、-1 B、1 C、3 D、-4

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7. 点P₁（﹣1， $y_{1}$ ），P₂（3， $y_{2}$ ），P₃（5， $y_{3}$ ）均在二次函数 $y = - x^{2} + 2 x + c$ 的图象上，则 $y_{1}$ ， $y_{2}$ ， $y_{3}$ 的大小关系是（）

A、 $y_{3} > y_{2} > y_{1}$ B、 $y_{3} > y_{1} = y_{2}$ C、 $y_{1} > y_{2} > y_{3}$ D、 $y_{1} = y_{2} > y_{3}$

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8. 如图，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ B A C = 90 °$ .将 $R t △ A B C$ 绕点 $C$ 按逆时针方向旋转 $47^{\circ}$ 得到 $R t Δ A^{'} B^{'} C$ ，点 $A$ 在边 $B^{'} C$ 上，则 $∠ B^{'}$ 的大小为（）

A、 $43^{\circ}$ B、 $47^{\circ}$ C、 $53^{\circ}$ D、 $x_{2} = - 2$

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9. 下列是抛物线y=﹣2x²﹣3x+1的图象大致是（）

A、 B、 C、 D、

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10. 关于 $x$ 的一元二次方程 $(m - 1) x^{2} - 4 x - 1 = 0$ 总有实数根，则 $m$ 的取值范围（）

A、 $m \leq 5$ 且 $m \neq 1$ B、 $m \geq - 3$ 且 $m \neq 1$ C、 $m \geq - 3$ D、 $m > - 3$ 且 $m \neq 1$

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11. 有 $2$ 人患了流感，经过两轮传染后共有 $98$ 人患了流感，设每轮传染中平均一个人传染了 $x$ 人，则 $x$ 的为（）

A、5 B、6 C、7 D、8

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12. 二次函数 $y = a x^{2} + b x + c$ 的图象如图所示，则下列判断中错误的是（）

A、图象的对称轴是直线 $x = - 1$ B、当 $x > - 3$ 时， $y$ 随 $x$ 的增大而减小 C、当 $- 3 < x < 1$ 时， $y < 0$ D、一元二次方程 $a x^{2} + b x + c = 0$ 的两个根是 $- 3 ， 1$

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13. 如图，在 $Δ A B C$ 中， $∠ C = 90^{°} ， A C = 4 ， B C = 3$ ，将 $Δ A B C$ 绕点 $A$ 逆时针旋转，使点 $C$ 落在线段 $A B$ 上的点 $E$ 处，点 $B$ 落在点 $D$ 处，则 $B ， D$ 两点间的距离为（）

A、 $\sqrt{10}$ B、 $2 \sqrt{2}$ C、3 D、 $\sqrt{5}$

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14. 如图，在 $Δ A B C$ 中， $A C = 50 m ， B C = 40 m ， ∠ C = 90 °$ ，点 $P$ 从点 $A$ 开始沿 $A C$ 边向点 $C$ 以 $2 m / s$ 的速度匀速移动，同时另一点 $Q$ 由 $C$ 点开始以 $3 m / s$ 的速度沿着射线 $C B$ 匀速移动，当 $Δ P C Q$ 的面积等于 $300 m^{2}$ 时运动时间为（）

A、10秒 B、5秒 C、20秒 D、5秒或20秒

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15. 已知学校航模组设计制作的火箭的升空高度h(m)与飞行时间t(s)满足函数表达式h＝－t²＋24t＋1.则下列说法中正确的是（）

A、点火后9 s和点火后13 s的升空高度相同 B、点火后24 s火箭落于地面 C、点火后10 s的升空高度为139 m D、火箭升空的最大高度为145 m

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16. 如图，抛物线y＝﹣2x²+4x与x轴交于点O、A，把抛物线在x轴及其上方的部分记为C₁ ，将C₁以y铀为对称轴作轴对称得到C₂ ， C₂与x轴交于点B，若直线y＝x+m与C₁ ， C₂共有3个不同的交点，则m的取值范围是（）

A、0<m< $\frac{9}{8}$ B、 $\frac{9}{8}$ ＜m＜ $\frac{25}{8}$ C、0＜m＜ $\frac{25}{8}$ D、m＜ $\frac{9}{8}$ 或m＜ $\frac{25}{8}$

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二、填空题

17. 方程 ${(x - 2)}^{2} - (x - 2) = 1$ 化为一般式为．

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18. 二次函数 $y = a x^{2} + b x + c$ 的图象如图所示，以下结论：① $a b c > 0$ ；② $4 a c < b^{2}$ ；③ $2 a + b > 0$ ；④其顶点坐标为 $(\frac{1}{2} ， - 2)$ ；⑤当 $x < 0$ 时， $y$ 随 $x$ 的增大而减小；⑥ $a + b + c > 0$ 中，正确的有(只填序号)

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19. 如图，在长为 $32$ 米，宽为 $20$ 米的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下的部分种上小草．要使草坪的面积为 $540$ 平方米，则道路的宽为米．

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20. 如图所示，点阵 $M$ 的层数用 $n$ 表示，点数总和用 $S$ 表示，当 $S = 66$ 时，则 $n =$ . $n$ 层点阵的点数 $S =$ ．

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三、解答题

21. 二次函数 $y = 6 - 4 x - 2 x^{2}$

(1)、写出函数图象的开口方向、顶点坐标和对称轴.

(2)、判断点 $(3, - 4)$ 是否在该函数图象上，并说明理由.

(3)、求出以该抛物线与两坐标轴的交点为顶点的三角形的面积.

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22. 如图， $A (0 ， 1) ， B (3 ， 3) ， C (1 ， 3)$ $B_{1} (- 2 ， 4) ， C_{1} (- 2 ， 2)$

(1)、 $△ A B C$ 绕点逆时针旋转度得到 $△ A B_{1} C_{1}$ ；

(2)、画出 $△ A B C$ 绕原点 $O$ 顺时针旋转 $90^{\circ}$ 的 $△ A_{2} B_{2} C_{2}$ ，直接写出点 $C_{2}$ 坐标；若 $△ A B C$ 内一点 $P (m ， n)$ 在 $△ A_{2} B_{2} C_{2}$ 的对应.，点为 $Q$ ，则 $Q$ 的坐标为_ _.(用含 $m ， n$ 的式子表示)

(3)、在 $x$ 轴上描出点 $M$ ，使 $A M + B M$ 最小，此时 $A M + B M =$ .

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23. 如图，是一座古拱桥的截面图，拱桥桥洞的上沿是抛物线形状，当水面的宽度为10m时，桥洞与水面的最大距离是5m.

(1)、经过讨论，同学们得出三种建立平面直角坐标系的方案（如图），你选择的方案是（填方案一，方案二，或方案三），则B点坐标是，求出你所选方案中的抛物线的表达式；

(2)、因为上游水库泄洪，水面宽度变为6m，求水面上涨的高度.

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24. 如图，点O是等边三角形ABC内的一点，∠BOC＝150°，将△BOC绕点C按顺时针旋转得到△ADC ，连接OD ， OA ．

(1)、求∠ODC的度数；

(2)、若OB＝2，OC＝3，求AO的长．

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25. 某商场一种商品的进价为每件30元，售价为每件50元.每天可以销售48件，为尽快减少库存，商场决定降价促销.

(1)、若该商品连续两次下调相同的百分率后售价降至每件40.5元，求两次下降的百分率;

(2)、经调查,若该商品每降价2元，每天可多销售16件,那么每天要想获得最大利润，每件售价应多少元?最大利润是多少?

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26. 如图，二次函数 $y = x^{2} + b x + c$ 的图象与 $x$ 轴交于 $A 、 B$ 两点，与 $y$ 轴交于点 $C ， O B = O C$ .点 $D$ 在函数图象上， $C D / / x$ 轴，且 $C D = 2$ ，直线 $l$ 是抛物线的对称轴， $E$ 是抛物线的顶点.

(1)、求 $b 、 c$ 的值；

(2)、如图①，连接 $B E$ ，线段 $O C$ 上的点 $F$ 关于直线 $l$ 的对称点F'恰好在线段BE上，求点 $F$ 的坐标；

(3)、如图②，动点 $P$ 在线段 $O B$ 上，过点 $P$ 作 $x$ 轴的垂线分别与 $B C$ 交于点 $M$ ，与抛物线交于点 $N$ .试问：直线 $P N$ 右侧的抛物线上是否存在点 $Q$ ，使得 $△ P Q N$ 与 $Δ A P M$ 的面积相等，且线段 $N Q$ 的长度最小?如果存在，求出点 $Q$ 的坐标；如果不存在，说明理由.

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