河北省石家庄市正定县2019-2020学年九年级上学期数学期中试卷

试卷更新日期：2020-09-25 类型：期中考试

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一、单选题

1. 小明在最近五次数学测试中，前四次的成绩分别是96分、98分、94分和92分，第五次因病只得了45分，则代表小明数学学习水平的数据是这五次数学成绩的( )

A、平均数 B、方差 C、众数 D、中位数

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2. 若关于 $x$ 的方程 $a x^{2} + 4 x = 2 x^{2} - 3$ 是一元二次方程，则 $a$ 的值不可能是（）

A、2 B、 $- 2$ C、0 D、3

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3. 已知线段 $a = 4$ ， $b = 9$ ，线段 $x$ 是 $a$ ， $b$ 的比例中项，则 $x$ 等于（）

A、36 B、6 C、-6 D、6或-6

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4. 在 $Rt △ A B C$ 中， $∠ C = 90^{\circ}$ ，如果 $\cos B = \frac{1}{2}$ ，那么 $\sin A$ 的值是（）

A、1 B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$

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5. 为考察甲、乙、丙、丁四种小麦的长势，在同一时期分别从中随机抽取部分麦苗，获得苗高（单位：cm）的平均数与方差为： $\bar{x_{甲}}$ = $\bar{x_{丙}}$ =13， $\bar{x_{乙}}$ = $\bar{x_{丁}}$ =15：s_甲²=s_丁²=3.6，s_乙²=s_丙²=6.3．则麦苗又高又整齐的是（）

A、甲 B、乙 C、丙 D、丁

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6. 用配方法解方程 $x^{2} + x - 1 = 0$ ，配方后所得方程是（）

A、 ${(x - \frac{1}{2})}^{2} = \frac{3}{4}$ B、 ${(x + \frac{1}{2})}^{2} = \frac{3}{4}$ C、 ${(x + \frac{1}{2})}^{2} = \frac{5}{4}$ D、 ${(x - \frac{1}{2})}^{2} = \frac{5}{4}$

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7. 在Rt△ABC中，∠C＝90°，各边都扩大2倍，则锐角A的锐角三角函数值（）

A、扩大2倍 B、缩小 $\frac{1}{2}$ C、不变 D、无法确定

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8. 如图，已知直线 $l_{1}$ ， $l_{2}$ ， $l_{3}$ 分别交直线 $l_{4}$ 于点A，B，C，交直线l，于点D，E，F，且 $l_{1} ∥ l_{2} ∥ l_{3}$ ，若 $A B = 4$ ， $A C = 6$ ， $D F = 9$ ，则DE的长为（）

A、5 B、6 C、7 D、8

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9. 若 $α$ ， $β$ 是一个三角形的两个锐角，且满足 $| sinα - \frac{\sqrt{3}}{2} | + {(\sqrt{3} - tanβ)}^{2} = 0$ ，则此三角形为（）

A、等腰三角形 B、直角三角形 C、等边三角形 D、等腰直角三角形

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10. 某商店今年1月份的销售额是2万元，3月份的销售额是4.5万元，从1月份到3月份，该店销售额平均每月的增长率是（）

A、20% B、25% C、50% D、62.5%

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11. 三角形的两边长分别为4和5，第三边的长是方程 $x^{2} - 12 x + 20 = 0$ 的根，则三角形的周长是（）

A、19 B、11或19 C、13 D、11

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12. 甲、乙两组各有12名学生，组长绘制了本组5月份家庭用水量的统计图表如图，比较5月份两组家庭用水量的中位数，下列说法正确的是（）
甲组12户家庭用水量统计表

用水量（吨）

4

5

6

9

户数

4

5

2

1

A、甲组比乙组大 B、甲、乙两组相同 C、乙组比甲组大 D、无法判断

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13. 下列4×4的正方形网格中，小正方形的边长均为1，三角形的顶点都在格点上，则与△ABC相似的三角形所在的网格图形是（）

A、 B、 C、 D、

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14. 如图，在△ABC中，点D，E分别是边AC，AB的中点，BD与CE交于点O，连接DE．下列结论：① $\frac{O E}{O B} = \frac{O D}{O C}$ ；② $\frac{D E}{B C} = \frac{1}{2}$ ；③ $\frac{S_{Δ D O E}}{S_{Δ B O C}} = \frac{1}{2}$ ；④ $\frac{S_{Δ D O E}}{S_{Δ D B E}} = \frac{1}{3}$ ．其中正确的个数有（）

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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15. 如图，已知 $△ A B C$ ， $A B = 6$ ， $A C = 4$ ， $D$ 为 $A B$ 边上一点，且 $A D = 2$ ， $E$ 为 $A C$ 边上一点（不与 $A$ 、 $C$ 重合），若 $△ A D E$ 与 $△ A B C$ 相似，则 $A E = ($ $)$

A、2 B、 $\frac{4}{3}$ C、3或 $\frac{3}{4}$ D、3或 $\frac{4}{3}$

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16. 小刚在解关于x的方程ax²+bx+c＝0（a≠0）时，只抄对了a＝1，b＝3，解出其中一个根是x＝﹣1．他核对时发现所抄的c比原方程的c值小2．则原方程的根的情况是（）

A、不存在实数根 B、有两个不相等的实数根 C、有一个根是x＝﹣1 D、有两个相等的实数根

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二、填空题

17. 若 $\frac{x}{2} = \frac{y}{3} = \frac{z}{4}$ （ $x$ ， $y$ ， $z$ 均不为0），则 $\frac{x + 2 y - z}{z}$ 的值为

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18. 已知m是方程 $x^{2} + x - 1 = 0$ 的一个根，则代数式 $m^{3} + 2 m^{2} + 2019 =$ ．

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19. 如图，在平行四边形 $A B C D$ 中， $A B = 8$ ， $A D = 5$ ， $\sin A = \frac{4}{5}$ ， $E$ 是 $D C$ 上的一点，且 $B E = B C$ ，则 $D E$ 的长为

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20. 如图，小红作出了边长为1的第1个正三角形 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ ，算出了正 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ 的面积，然后分别取 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ 三边的中点 $△ A_{2} B_{2} C_{2}$ ，作出了第二个正三角形 $△ A_{2} B_{2} C_{2}$ ，算出第2个正 $△ A_{2} B_{2} C_{2}$ 的面积，用同样的方法作出了第3个正 $△ A_{3} B_{3} C_{3}$ ，算出第3个正 $△ A_{3} B_{3} C_{3}$ 的面积，依此方法作下去，由此可得第 $n$ 个作出的正 $△ A_{n} B_{n} C_{n}$ 的面积是

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三、解答题

21.

(1)、解方程 $3 x^{2} + 7 x + 2 = 0$

(2)、计算： $\frac{1}{4} \tan 45 ° + \frac{\sqrt{2}}{2} \cos 45 ° + \sin 60 ° \cos 30 °$

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22. 某班级从甲、乙两位同学中选派一人参加知识竞赛，老师对他们的五次模拟成绩（单位：分）进行了整理，并计算出甲成绩的平均数是80分，甲、乙成绩的方差分别是320，40，但绘制的统计图表尚不完整．

甲、乙两人模拟成绩统计表

	第一次	第二次	第三次	第四次	第五次
甲成绩	90	100	90	50	$a$
乙成绩	80	70	80	90	80

甲、乙两人模拟成绩折线图

根据以上信息，请你解答下列问题：

(1)、a=

(2)、请完成图中表示甲成绩变化情况的折线；

(3)、求乙成绩的平均数；

(4)、从平均数和方差的角度分析，谁将被选中．

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23. 如图，△ABC中，A（﹣4，4），B（﹣4，﹣2），C（﹣2，2）．

(1)、请画出将△ABC向右平移8个单位长度后的△A₁B_lC₁；

(2)、求出∠A₁B_lC₁的余弦值；

(3)、以O为位似中心，将△A₁B_lC₁缩小为原来的 $\frac{1}{2}$ ，得到△A₂B₂C₂ ，请在y轴右侧画出△A₂B₂C₂ ．

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24. 油井A位于油库P南偏东75°方向，主输油管道AP=12km，一新建油井B位于点P的北偏东75°方向，且位于点A的北偏西15°方向．

(1)、求∠PBA；

(2)、求A，B间的距离；

(3)、要在AP上选择一个支管道连接点C，使从点B到点C处的支输油管道最短，求这时BC的长．（结果保留根号）

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25. 某水果店销售一种水果的成本价是5元/千克，在销售中发现，当这种水果的价格定为7元/千克时，每天可以卖出160千克，在此基础上，这种水果的单价每提高1元/千克，该水果店每天就会少卖出20千克，设这种水果的单价为 $x$ 元（ $x > 7$ ），

(1)、请用含 $x$ 的代数式表示：每千克水果的利润元及每天的销售量千克．

(2)、若该水果店一天销售这种水果所获得的利润是420元，为了让利于顾客，单价应定为多少元？

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26. 阅读下面材料：
小腾遇到这样一个问题：如图1，在 $△ A B C$ 中，点 $D$ 在线段 $B C$ 上． $∠ B A D = 75 °$ ， $∠ C A D = 30 °$ ， $A D = 2$ ， $B D = 2 D C$ ．求 $A C$ 的长．

小腾发现，过点 $C$ 作 $C E ∥ A B$ ，交 $A D$ 的延长线于点 $E$ ，通过构造 $△ A C E$ ，经过推理和计算能够使问题得到解决（如图2）．

(1)、发现： $∠ A C E$ 的度数为， $A C$ 的长为

(2)、探究：参考小腾思考问题的方法，解决问题：
如图3，在四边形 $A B C D$ 中， $∠ B A C = 90 °$ ， $∠ C A D = 30 °$ ， $∠ A D C = 75 °$ ， $A C$ 与 $B D$ 交于点 $E$ ， $A E = 2$ ， $B E = 2 E D$ ，求 $A D$ ， $B C$ 的长．

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用水量（吨）	4	5	6	9
户数	4	5	2	1