初中数学苏科版九年级上册第一章一元二次方程单元测试（提优）

试卷更新日期：2020-09-25 类型：单元试卷

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一、单选题

1. 若方程 $(m - 1) x^{m^{2} + 1} - (m + 1) x - 2 = 0$ 是一元二次方程，则m的值为（）

A、0 B、±1 C、1 D、–1

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2. 若 $x_{0}$ 是方程 $a x^{2} + 2 x + c = 0 (a \neq 0)$ 的一个根，设 $M = 1 - a c,$ $N = {(a x_{0} + 1)}^{2},$ 则M与N的大小关系正确的为（）

A、 $M > N$ B、 $M = N$ C、 $M < N$ D、不确定

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3. 已知方程x²﹣4x+2＝0的两根是x₁ ， x₂ ，则代数式 $\frac{x_{1}^{2} + 2}{x_{1}} + \frac{x_{2}^{2} - 4 x_{2}}{2} + 2011$ 的值是（）

A、2011 B、2012 C、2013 D、2014

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4. 关于x的一元二次方程（m-5）x²+2x+2=0有实根，则m的最大整数解是（　　）

A、2 B、3 C、4 D、5

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5. 已知a、b、c分别为Rt△ABC（∠C=90°）的三边的长，则关于x的一元二次方程（c+a）x²+2bx+（c-a）=0根的情况是（　　）.

A、方程无实数根 B、方程有两个不相等的实数根 C、方程有两个相等的实数根 D、无法判断

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6.
已知为方程 $x^{2} + 3 x + 1 = 0$ 的两实根，则的值为（）

A、 $\sqrt{5}$ B、－28 C、20 D、28

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7. 若a≠b，且 $a^{2} - 4 a + 1 = 0 ， b^{2} - 4 b + 1 = 0$ 则 $\frac{1}{1 + a^{2}} + \frac{1}{1 + b^{2}}$ 的值为（）

A、 $\frac{1}{4}$ B、1 C、.4 D、3

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8. 如图，某小区计划在一块长为32m，宽为20m的矩形空地上修建三条同样宽的道路，剩余的空地上种植草坪，使草坪的面积为570m² ．若设道路的宽为 $x m$ ，则下面所列方程正确的是（）

A、 $(32 - x) (20 - x) = 32 \times 20 - 570$ B、 $32 x + 2 \times 20 x = 32 \times 20 - 570$ C、 $32 x + 2 \times 20 x - 2 x^{2} = 570$ D、 $(32 - 2 x) (20 - x) = 570$

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9. 规定：如果关于x的一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）有两个实数根，且其中一个根是另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”现有下列结论：
①方程x²+2x-8=0是倍根方程；②若关于x的方程x²+ax+2=0是倍根方程，则a=±3；③若(x-3)(mx-n)=0是倍根方程，则n=6m或3n=2m；④若点(m，n)在反比例函数y= $\frac{2}{x}$ 的图象上，则关于x的方程mx²-3x+n=0是倍根方程。上述结论中正确的有（）

A、①② B、③④ C、②③ D、②④

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10. 对于两个不相等的实数 $a ， b$ ，我们规定符号 $max {a ， b}$ 表示 $a ， b$ 中较大的数，如 $\max {2 ， 4} = 4$ ，按这个规定，方程 $\max {x ， - x} = \frac{2 x + 1}{x}$ 的解为（）

A、 $1 - \sqrt{2}$ B、 $2 - \sqrt{2}$ C、 $1 - \sqrt{2} 或 1 + \sqrt{2}$ D、 $1 + \sqrt{2}$ 或-1

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二、填空题

11. 一元二次方程（1+3x）(x-3)=2x²+1化为一般形式为．

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12. 若 $a$ 是方程 $x^{2} - 3 x + 1 = 0$ 的根，计算： $a^{2} - 3 a + \frac{3 a}{a^{2} + 1} =$ ．

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13. 如果 $m$ 、 $n$ 是两个不相等的实数，且满足 $m^{2} - m = 3$ ， $n^{2} - n = 3$ ，那么代数式 $2 n^{2} - m n + 2 m + 2015$ =

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14. 若代数式 $\frac{x^{2} + x - 6}{| x | - 2}$ 的值为0，则x的值为.

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15. 若 $x^{2} - 5 xy + 6 y^{2} = 0$ ，其中 $y \neq 0$ ，则 $\frac{x}{y} =$ .

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16. 已知关于 $x$ 的一元二次方程 $(1 - 2 k) x^{2} - \sqrt{k} x - 1 = 0$ 有实数根，则 $k$ 的取值范围是.

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17. 若关于 $x$ 的方程 $(x - 2) (x^{2} - 4 x + m) = 0$ 有三个根，且这三个根恰好可以作为一个三角形的三条边的长，则 $m$ 的取值范围是.

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18. 方程x²-2|x+4|-27=0的所有根的和为．

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三、计算题

19. 解下列方程：

(1)、（y＋2）²－（3y－1）²＝0；

(2)、5（x－3）²＝x²－9；

(3)、t²－ $\frac{\sqrt{2}}{2}$ t＋ $\frac{1}{8}$ ＝0.

(4)、2x²＋7x＋3＝0（配方法）.

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四、综合题

20. 已知关于x的一元二次方程x²+2x﹣k＝0有两个不相等的实数根.

(1)、求k的取值范围；

(2)、若方程的两个不相等的实数根是a，b，求 $\frac{a}{a + 1}$ ﹣ $\frac{1}{b + 1}$ 的值.

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21. 已知△ABC的一条边BC的长为5，另两边AB,AC的长分别为关于x的一元二次方程 $x^{2} - (2 k + 3) x + k^{2} + 3 k + 2 = 0$ 的两个实数根。

(1)、求证：无论k为何值，方程总有两个不相等的实数根；

(2)、当k=2时，请判断△ABC的形状并说明理由；

(3)、k为何值时，△ABC是等腰三角形，并求△ABC的周长。

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22. 阅读下面的材料：
我们可以用配方法求一个二次三项式的最大值或最小值，例如：求代数式 $a^{2} - 2 a + 5$ 的最小值.方法如下：

∵ $a^{2} - 2 a + 5 = a^{2} - 2 a + 1 + 4 = {(a - 1)}^{2} + 4$ ，由 ${(a - 1)}^{2} \geq 0$ ，得 ${(a - 1)}^{2} + 4 \geq 4$ ；

∴代数式 $a^{2} - 2 a + 5$ 的最小值是4.

(1)、仿照上述方法求代数式 $x^{2} + 10 x + 7$ 的最小值.

(2)、代数式 $- a^{2} - 8 a + 16$ 有最大值还是最小值？请用配方法求出这个最值.

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23. 在一元二次方程中，有著名的韦达定理：对于一元二次方程ax²+bx+c=0(a≠0)，如果方程有两个实数根x₁ ， x₂ ，那么x₁+x₂= $- \frac{b}{a}$ ，x₁+x₂= $\frac{c}{a}$ (说明：定理成立的条件△≥0).比如方程2x²-3x-1=0中，△=17，所以该方程有两个不等的实数解.记方程的两根为x₁ ， x₂ ，那么x₁+x₂= $\frac{3}{2}$ ，x₁+x₂= $- \frac{1}{2}$ .请阅读材料回答问题：

(1)、已知方程x²-3x-2=0的两根为x₁、x₂ ，求下列各式的值：
①x₁²+x₂²；② $\frac{1}{x_{1}} + \frac{1}{x_{2}}$ ；

(2)、已知x₁ ， x₂是一元二次方程4kx²-4kx+k+1=0的两个实数根.
①是否存在实数k，使(2x₁-x₂)(x₁-2x₂)= $- \frac{3}{2}$ 成立？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由；

②求使 $\frac{x_{2}}{x_{1}} + \frac{x_{1}}{x_{2}}$ -2的值为整数的实数k的整数值.

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24. 近期猪肉价格不断走高，引起了民众与政府的高度关注．当市场猪肉的平均价格每千克达到一定的单价时，政府将投入储备猪肉以平抑猪肉价格．

(1)、从今年年初至5月20日，猪肉价格不断走高，5月20日比年初价格上涨了60%．某市民在今年5月20日购买2.5千克猪肉至少要花100元钱，那么今年年初猪肉的最低价格为每千克多少元？

(2)、5月20日，猪肉价格为每千克40元.5月21日，某市决定投入储备猪肉并规定其销售价在每千克40元的基础上下调a%出售．某超市按规定价出售一批储备猪肉，该超市在非储备猪肉的价格仍为每千克40元的情况下，该天的两种猪肉总销量比5月20日增加了a%，且储备猪肉的销量占总销量的 $\frac{3}{4}$ ，两种猪肉销售的总金额比5月20日提高了 $\frac{1}{10}$ a%，求a的值．

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25. 阅读材料：各类方程的解法．
求解一元一次方程，根据等式的基本性质，把方程转化为x=a的形式，求解二元一次方程组，把它转化为一元一次方程来解；类似的，求解三元一次方程组，把它转化为解二元一次方程组。求解一元二次方程，把它转化为两个一元一次方程来解．求解分式方程，把它转化为整式方程来解，由于“去分母”可能产生增根，所以解分式方程必须检验·各类方程附解法不尽相同，但是它们有一个共同的基本数学思想：转化，把未知转化为已知，用“转化，的数学思想，我们还可以解一些新的方程．例如，一元三次方程x³+x²-2x=0，可以通过因式分解把它转化为x(x²+x-2)=0，解方程x=0和x²+x-2=0，可得方程x³+x²-2x=0的解．

(1)、问题：方程x³+x²-2x=0的解是x₁=0，x₂= ， x₃=；

(2)、拓展：用“转化”思想求方程 $\sqrt{2 x + 3} = x$ 的解；

(3)、应用：如图，已知矩形草坪ABCD的长AD=8m，宽AB=3m，小华把一根长为10m的绳子的一端固定在点B，沿草坪边沿BA，AD走到点P处，把长绳PB段拉直并固定在点P，然后沿草坪边沿PD、DC走到点C处，把长绳剩下的一段拉直，长绳的另一端恰好落在点C，求AP的长．

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三、计算题

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