黑龙江省鹤岗市2020年中考数学试卷

试卷更新日期：2020-09-23 类型：中考真卷

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一、单选题

1. 下列各运算中，计算正确的是（）

A、 $a^{2} + 2 a^{2} = 3 a^{4}$ B、 $x^{8} - x^{2} = x^{6}$ C、 ${(x - y)}^{2} = x^{2} - x y + y^{2}$ D、 ${(- 3 x^{2})}^{3} = - 27 x^{6}$

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2. 下列图标中是中心对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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3. 如图，由若干个相同的小正方体搭成的一个几何体的主视图和左视图，则所需的小正方体的个数最少是（）

A、2 B、3 C、4 D、5

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4. 一组从小到大排列的数据： $x$ ，3，4，4，5（ $x$ 为正整数），唯一的众数是4，则数据 $x$ 是（）

A、1 B、2 C、0或1 D、1或2

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5. 已知 $2 + \sqrt{3}$ 是关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2} - 4 x + m = 0$ 的一个实数根，则实数 $m$ 的值是（）

A、0 B、1 C、−3 D、−1

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6. 如图，正方形 $A B C D$ 的两个顶点 $B$ ， $D$ 在反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ 的图象上，对角线 $A C$ ， $B D$ 的交点恰好是坐标原点 $O$ ，已知 $B (- 1 ， 1)$ ，则 $k$ 的值是（）

A、 $-$ 5 B、 $-$ 4 C、 $-$ 3 D、 $-$ 1

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7. 已知关于 $x$ 的分式方程 $\frac{x}{x - 3} - 4 = \frac{k}{3 - x}$ 的解为非正数，则 $k$ 的取值范围是（）

A、 $k \leq - 12$ B、 $k \geq - 12$ C、 $k > - 12$ D、 $k < - 12$

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8. 如图，菱形 $A B C D$ 的对角线 $A C$ 、 $B D$ 相交于点 $O$ ，过点 $D$ 作 $D H ⊥ A B$ 于点 $H$ ，连接 $O H$ ，若 $O A = 6$ ， $O H = 4$ ，则菱形 $A B C D$ 的面积为（）

A、72 B、24 C、48 D、96

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9. 学校计划用200元钱购买 $A$ 、 $B$ 两种奖品， $A$ 种每个15元，B种每个25元，在钱全部用完的情况下，有多少种购买方案（）

A、2种 B、3种 C、4种 D、5种

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10. 如图，正方形 $A B C D$ 的边长为a，点E在边 $A B$ 上运动（不与点A，B重合）， $∠ D A M = 45 °$ ，点 $F$ 在射线 $A M$ 上，且 $A F = \sqrt{2} B E$ ， $C F$ 与 $A D$ 相交于点G，连接 $E C$ 、 $E F$ 、 $E G$ ．则下列结论：① $∠ E C F = 45 °$ ；② $Δ A E G$ 的周长为 $(1 + \frac{\sqrt{2}}{2}) a$ ；③ $B E^{2} + D G^{2} = E G^{2}$ ；④ $Δ E A F$ 的面积的最大值是 $\frac{1}{8} a^{2}$ ；⑤当 $B E = \frac{1}{3} a$ 时，G是线段 $A D$ 的中点．其中正确的结论是（）

A、①②③ B、②④⑤ C、①③④ D、①④⑤

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二、填空题

11. 2019年1月1日，“学习强国”平台全国上线，截至2019年3月17日止，重庆市党员“学习强国”APP注册人数约1180000，参学覆盖率达71%，稳居全国前列.将数据1180000用科学记数法表示为.

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12. 函数 $y = \frac{1}{\sqrt{2 x - 3}}$ 的自变量 $x$ 的取值范围是.

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13. 如图， $Rt Δ A B C$ 和 $Rt Δ E D F$ 中， $B C // D F$ ，在不添加任何辅助线的情况下，请你添加一个条件，使 $Rt Δ A B C$ 和 $Rt Δ E D F$ 全等．

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14. 一个盒子中装有标号为1，2，3，4，5的五个小球，这些球除了标号外都相同，从中随机摸出一个小球，是偶数的概率为．

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15. 若关于 $x$ 的一元一次不等式组 ${\begin{array}{l} x - 1 > 0 \\ 2 x - a > 0 \end{array}$ 的解是 $x > 1$ ，则 $a$ 的取值范围是．

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16. 如图， $A D$ 是 $Δ A B C$ 的外接圆 $⊙ O$ 的直径，若 $∠ B C A = 50 °$ ，则 $∠ A D B =$ °．

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17. 小明在手工制作课上，用面积为 $150 π c m^{2}$ ，半径为 $15 c m$ 的扇形卡纸，围成一个圆锥侧面，则这个圆锥的底面半径为 $c m$ ．

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18. 如图，在边长为4的正方形 $A B C D$ 中将 $Δ A B D$ 沿射线 $B D$ 平移，得到 $Δ E G F$ ，连接 $E C$ 、 $G C$ ．求 $E C + G C$ 的最小值为．

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19. 在矩形 $A B C D$ 中， $A B = 1$ ， $B C = a$ ，点E在边 $B C$ 上，且 $B E = \frac{3}{5} a$ ，连接 $A E$ ，将 $Δ A B E$ 沿 $A E$ 折叠．若点B的对应点 $B^{'}$ 落在矩形 $A B C D$ 的边上，则折痕的长为．

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20. 如图，直线 $A M$ 的解析式为 $y = x + 1$ 与 $x$ 轴交于点M，与y轴交于点A，以 $O A$ 为边作正方形 $A B C O$ ，点B坐标为 $(1 ， 1)$ ．过点B作 $E O_{1} ⊥ M A$ 交 $M A$ 于点E，交x轴于点 $O_{1}$ ，过点 $O_{1}$ 作x轴的垂线交 $M A$ 于点 $A_{1}$ 以 $O_{1} A_{1}$ 为边作正方形 $O_{1} A_{1} B_{1} C_{1}$ ，点 $B_{1}$ 的坐标为 $(5 ， 3)$ ．过点 $B_{1}$ 作 $E_{1} O_{2} ⊥ M A$ 交 $M A$ 于 $E_{1}$ ，交x轴于点 $O_{2}$ ，过点 $O_{2}$ 作 $x$ 轴的垂线交 $M A$ 于点 $A_{2}$ ，以 $O_{2} A_{2}$ 为边作正方形 $O_{2} A_{2} B_{2} C_{2}$ ， $\dots$ ，则点 $B_{2020}$ 的坐标．

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三、解答题

21. 先化简，再求值：（1﹣ $\frac{a}{a^{2} + a}$ ）÷ $\frac{a^{2} - 1}{a^{2} + 2 a + 1}$ ，其中a=sin30°．

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22. 如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系中， $Δ A B C$ 的三个顶点 $A (5 ， 2)$ 、 $B (5 ， 5)$ 、 $C (1 ， 1)$ 均在格点上

(1)、将 $Δ A B C$ 向左平移5个单位得到 $Δ A_{1} B_{1} C_{1}$ ，并写出点 $A_{1}$ 的坐标；

(2)、画出 $Δ A_{1} B_{1} C_{1}$ 绕点 $C_{1}$ 顺时针旋转 $90 °$ 后得到的 $Δ A_{2} B_{2} C_{1}$ ，并写出点 $A_{2}$ 的坐标；

(3)、在（2）的条件下，求 $Δ A_{1} B_{1} C_{1}$ 在旋转过程中扫过的面积（结果保留 $π$ ）．

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23. 如图，已知二次函数 $y = - x^{2} + (a + 1) x - a$ 与 $x$ 轴交于 $A$ 、 $B$ 两点（点 $A$ 位于点 $B$ 的左侧），与 $y$ 轴交于点 $C$ ，已知 $Δ B A C$ 的面积是6．

(1)、求 $a$ 的值；

(2)、在抛物线上是否存在一点 $P$ ，使 $S_{Δ A B P} = S_{Δ A B C}$ ．存在请求出 $P$ 坐标，若不存在请说明理由．

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24. 某公司工会组织全体员工参加跳绳比赛，工会主席统计了公司50名员工一分钟跳绳成绩，列出的频数分布直方图如图所示，（每个小组包括左端点，不包括右端点）．

求：

(1)、该公司员工一分钟跳绳的平均次数至少是多少；

(2)、该公司一名员工说：“我的跳绳成绩是我公司的中位数”请你给出该员工跳绳成绩的所在范围；

(3)、若该公司决定给每分钟跳绳不低于140个的员工购买纪念品，每个纪念品300元，则公司应拿出多少钱购买纪念品．

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25. 为抗击疫情，支持武汉，某物流公司的快递车和货车每天往返于物流公司、武汉两地，快递车比货车多往返一趟，如图表示两车离物流公司的距离y（单位：千米）与快递车所用时间x（单位：时）的函数图象，已知货车比快递车早1小时出发，到达武汉后用2小时装卸货物，按原速、原路返回，货车比快递车最后一次返回物流公司晚1小时．

(1)、求 $M E$ 的函数解析式；

(2)、求快递车第二次往返过程中，与货车相遇的时间．

(3)、求两车最后一次相遇时离武汉的距离．（直接写出答案）

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26. 以 $Rt Δ A B C$ 的两边 $A B$ 、 $A C$ 为边，向外作正方形 $A B D E$ 和正方形 $A C F G$ ，连接 $E G$ ，过点 $A$ 作 $A M ⊥ B C$ 于 $M$ ，延长 $M A$ 交 $E G$ 于点 $N$ ．
　

(1)、如图1，若 $∠ B A C = 90 °$ ， $A B = A C$ ，易证： $E N = G N$ ；

(2)、如图2， $∠ B A C = 90 °$ ；如图3， $∠ B A C \neq 90 °$ ，（1）中结论，是否成立，若成立，选择一个图形进行证明；若不成立，写出你的结论，并说明理由．

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27. 某农谷生态园响应国家发展有机农业政策，大力种植有机蔬菜，某超市看好甲、乙两种有机蔬菜的市场价值，经调查甲种蔬菜进价每千克 $m$ 元，售价每千克16元；乙种蔬菜进价每千克 $n$ 元，售价每千克18元．

(1)、该超市购进甲种蔬菜10千克和乙种蔬菜5千克需要170元；购进甲种蔬菜6千克和乙种蔬菜10千克需要200元．求 $m$ ， $n$ 的值．

(2)、该超市决定每天购进甲、乙两种蔬菜共100千克，且投入资金不少于1160元又不多于1168元，设购买甲种蔬菜 $x$ 千克，求有哪几种购买方案．

(3)、在（2）的条件下，超市在获得的利润取得最大值时，决定售出的甲种蔬菜每千克捐出 $2 a$ 元，乙种蔬菜每千克捐出 $a$ 元给当地福利院，若要保证捐款后的利润率不低于20%，求 $a$ 的最大值．

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28. 如图，在平面直角坐标系中，矩形 $A B C D$ 的边 $A B$ 长是方程 $x^{2} - 3 x - 18 = 0$ 的根，连接 $B D$ ， $∠ D B C = 30 °$ ，并过点 $C$ 作 $C N ⊥ B D$ ，垂足为 $N$ ，动点P从点B以每秒2个单位长度的速度沿 $B D$ 方向匀速运动到点D为止；点M沿线段 $D A$ 以每秒 $\sqrt{3}$ 个单位长度的速度由点D向点A匀速运动，到点A为止，点P与点M同时出发，设运动时间为t秒 $(t > 0)$

(1)、线段 $C N =$ ；

(2)、连接 $P M$ 和 $M N$ ，求 $Δ P M N$ 的面积s与运动时间 $t$ 的函数关系式；

(3)、在整个运动过程中，当 $Δ P M N$ 是以 $P N$ 为腰的等腰三角形时，直接写出点P的坐标．

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