黑龙江省大庆市2020年中考数学试卷

试卷更新日期：2020-09-23 类型：中考真卷

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一、单选题

1. －1，0， $π$ ， $\sqrt{3}$ 这四个数中，最大的数是（）

A、－1 B、0 C、 $π$ D、 $\sqrt{3}$

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2. 天王星围绕太阳公转的轨道半径长约为 $2 900 000 000km$ ，数字2 900 000 000用科学记数法表示为（）

A、 $2.9 \times 10^{8}$ B、 $2.9 \times 10^{9}$ C、 $29 \times 10^{8}$ D、 $0.29 \times 10^{10}$

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3. 若 $| x + 2 | + {(y - 3)}^{2} = 0$ ，则 $x - y$ 的值为（）

A、－5 B、5 C、1 D、－1

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4. 函数 $y = \sqrt{2 x}$ 的自变量 $x$ 的取值范围是（）

A、 $x \leq 0$ B、 $x \neq 0$ C、 $x \geq 0$ D、 $x \geq \frac{1}{2}$

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5. 已知正比例函数 $y = k_{1} x$ 和反比例函数 $y = \frac{k_{2}}{x}$ ，在同一直角坐标系下的图象如图所示，其中符合 $k_{1} \cdot k_{2} > 0$ 的是（）

A、①② B、①④ C、②③ D、③④

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6. 将正方体的表面沿某些棱剪开，展成如图所示的平面图形，则原正方体中与数字5所在的面相对的面上标的数字为（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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7. 在一次青年歌手比赛中，七位评委为某位歌手打出的分数如下：9.5，9.4，9.6，9.9，9.3，9.7，9.0（单位：分）．若去掉一个最高分和一个最低分，则去掉前与去掉后没有改变的一个统计量是（）

A、平均分 B、方差 C、中位数 D、极差

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8. 底面半径相等的圆锥与圆柱的高的比为1：3，则圆锥与圆柱的体积的比为（）

A、1：1 B、1：3 C、1：6 D、1：9

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9. 已知两个直角三角形的三边长分别为3，4， $m$ 和6，8， $n$ ，且这两个直角三角形不相似，则 $m + n$ 的值为（）

A、 $10 + \sqrt{7}$ 或 $5 + 2 \sqrt{7}$ B、15 C、 $10 + \sqrt{7}$ D、 $15 + 3 \sqrt{7}$

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10. 如图，在边长为2的正方形 $E F G H$ 中， $M$ ， $N$ 分别为 $E F$ 与 $G H$ 的中点，一个三角形 $A B C$ 沿竖直方向向上平移，在运动的过程中，点 $A$ 恒在直线 $M N$ 上，当点 $A$ 运动到线段 $M N$ 的中点时，点 $E$ ， $F$ 恰与 $A B$ ， $A C$ 两边的中点重合．设点 $A$ 到 $E F$ 的距离为 $x$ ，三角形 $A B C$ 与正方形 $E F G H$ 的公共部分的面积为 $y$ ，则当 $y = \frac{5}{2}$ 时， $x$ 的值为（）

A、 $\frac{7}{4}$ 或 $2 + \frac{\sqrt{2}}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{10}}{2}$ 或 $2 - \frac{\sqrt{2}}{2}$ C、 $2 \pm \frac{\sqrt{2}}{2}$ D、 $\frac{7}{4}$ 或 $\frac{\sqrt{10}}{2}$

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二、填空题

11. 点(2，3)关于y轴对称的点的坐标为．

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12. 分解因式： $a^{3} - 4 a$ =。

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13. 一个周长为 $16cm$ 的三角形，由它的三条中位线构成的三角形的周长为 $cm$ ．

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14. 将两个三角尺的直角顶点重合为如图所示的位置，若 $∠ A O D = 108 °$ ，则 $∠ C O B =$ ．

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15. 两个人做游戏：每个人都从－1，0，1这三个整数中随机选择一个写在纸上，则两人所写整数的绝对值相等的概率为．

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16. 如图，把同样大小的黑色棋子摆放在正多边形的边上，按照这样的规律摆下去，则第20个图需要黑色棋子的个数为．

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17. 已知关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2} - 2 x - a = 0$ ，有下列结论：
①当 $a > - 1$ 时，方程有两个不相等的实根；

②当 $a > 0$ 时，方程不可能有两个异号的实根；

③当 $a > - 1$ 时，方程的两个实根不可能都小于1；

④当 $a > 3$ 时，方程的两个实根一个大于3，另一个小于3．

以上4个结论中，正确的个数为．

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18. 如图，等边 $Δ A B C$ 中， $A B = 3$ ，点 $D$ ，点 $E$ 分别是边 $B C$ ， $C A$ 上的动点，且 $B D = C E$ ，连接 $A D$ 、 $B E$ 交于点 $F$ ，当点 $D$ 从点 $B$ 运动到点 $C$ 时，则点 $F$ 的运动路径的长度为．

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三、解答题

19. 计算： $| - 5 | - {(1 - π)}^{0} + {(\frac{1}{3})}^{- 1}$

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20. 先化简，再求值： $(x + 5) (x - 1) + {(x - 2)}^{2}$ ，其中 $x = \sqrt{3}$ ．

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21. 解方程： $\frac{2 x}{x - 1} - 1 = \frac{4}{x - 1}$

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22. 如图， $A B$ ，CD为两个建筑物，两建筑物底部之间的水平地面上有一点 $M$ ．从建筑物 $A B$ 的顶点 $A$ 测得 $M$ 点的俯角为45°，从建筑物 $C D$ 的顶点 $C$ 测得 $M$ 点的俯角为75°，测得建筑物 $A B$ 的顶点 $A$ 的俯角为30°．若已知建筑物 $A B$ 的高度为20米，求两建筑物顶点 $A$ 、 $C$ 之间的距离（结果精确到 $1m$ ，参考数据： $\sqrt{2} \approx 1.414$ ， $\sqrt{3} \approx 1.732$ ）

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23. 为了了解某校某年级1000名学生一分钟的跳绳次数，从中随机抽取了40名学生的一分钟跳绳次数（次数为整数，且最高次数不超过150次），整理后绘制成如下的频数直方图，图中的 $a$ ， $b$ 满足关系式 $2 a = 3 b$ ．后由于保存不当，部分原始数据模糊不清，但已知缺失数据都大于120．请结合所给条件，回答下列问题．

(1)、求问题中的总体和样本容量；

(2)、求 $a$ ， $b$ 的值（请写出必要的计算过程）；

(3)、如果一分钟跳绳次数在125次以上（不含125次）为跳绳成绩优秀，那么估计该校该年级学生跳绳成绩优秀的人数大约是多少人？（注：该年级共1000名学生）

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24. 如图，在矩形 $A B C D$ 中， $O$ 为对角线 $A C$ 的中点，过点 $O$ 作直线分别与矩形的边 $A D$ ， $B C$ 交于 $M$ ， $N$ 两点，连接 $C M$ ， $A N$ ．

(1)、求证：四边形 $A N C M$ 为平行四边形；

(2)、若 $A D = 4$ ， $A B = 2$ ，且 $M N ⊥ A C$ ，求 $D M$ 的长

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25. 期中考试后，某班班主任对在期中考试中取得优异成绩的同学进行表彰．她到商场购买了甲、乙两种笔记本作为奖品，购买甲种笔记本15个，乙种笔记本20个，共花费250元．已知购买一个甲种笔记本比购买一个乙种笔记本多花费5元．

(1)、求购买一个甲种、一个乙种笔记本各需多少元？

(2)、两种笔记本均受到了获奖同学的喜爱，班主任决定在期末考试后再次购买两种笔记本共35个，正好赶上商场对商品价格进行调整，甲种笔记本售价比上一次购买时减价2元，乙种笔记本按上一次购买时售价的8折出售．如果班主任此次购买甲、乙两种笔记本的总费用不超过上一次总费用的90%？至多需要购买多少个甲种笔记本？并求购买两种笔记本总费用的最大值．

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26. 如图，反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ 与一次函数 $y = - x - (k + 1)$ 的图象在第二象限的交点为 $A$ ，在第四象限的交点为 $C$ ，直线 $A O$ （ $O$ 为坐标原点）与函数 $y = \frac{k}{x}$ 的图象交于另一点 $B$ ．过点 $A$ 作 $y$ 轴的平行线，过点 $B$ 作 $x$ 轴的平行线，两直线相交于点 $E$ ， $△ A E B$ 的面积为6．

(1)、求反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ 的表达式；

(2)、求点 $A$ ， $C$ 的坐标和 $△ A O C$ 的面积．

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27. 如图，在 $Δ A B C$ 中， $A B = A C$ ，以 $A B$ 为直径的 $⊙ O$ 交 $B C$ 于点 $D$ ，连接 $A D$ ，过点 $D$ 作 $D M ⊥ A C$ ，垂足为 $M$ ， $A B$ 、 $M D$ 的延长线交于点 $N$ ．

(1)、求证： $M N$ 是 $⊙ O$ 的切线；

(2)、求证： $D N^{2} = B N \cdot (B N + A C)$ ；

(3)、若 $B C = 6$ ， $\cos C = \frac{3}{5}$ ，求 $D N$ 的长．

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28. 如图，抛物线 $y = a x^{2} + b x + 12$ 与 $x$ 轴交于 $A$ ， $B$ 两点（ $B$ 在 $A$ 的右侧），且经过点 $C (- 1 ， 7)$ 和点 $D$ $(5 ， 7)$ ．

(1)、求抛物线的函数表达式；

(2)、连接 $A D$ ，经过点 $B$ 的直线 $l$ 与线段 $A D$ 交于点 $E$ ，与抛物线交于另一点 $F$ ．连接 $C A$ ， $C E$ ， $C D$ ， $△ C E D$ 的面积与 $△ C A D$ 的面积之比为1：7．点 $P$ 为直线 $l$ 上方抛物线上的一个动点，设点 $P$ 的横坐标为 $t$ ．当 $t$ 为何值时， $△ P F B$ 的面积最大？并求出最大值；

(3)、在抛物线 $y = a x^{2} + b x + 12$ 上，当 $m \leq x \leq n$ 时， $y$ 的取值范围是 $12 \leq y \leq 16$ ，求 $m - n$ 的取值范围．（直接写出结果即可）

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