天津市南开区2019-2020学年九年级上学期数学期中试卷

试卷更新日期：2020-09-23 类型：期中考试

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一、单选题

1. 在平面直角坐标系中，与点（4，﹣5）关于原点对称的点的坐标是（　　）

A、（﹣4，﹣5） B、（﹣4，5） C、（4，﹣5） D、（4，5）

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2. 下列手机手势解锁图案中，是中心对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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3. 已知关于 $x$ 的方程 ${kx}^{2} + (1 - k) x - 1 = 0$ ，下列说法正确的是（）

A、当 $k = 0$ 时，方程无解 B、当 $k = 1$ 时，方程有一个实数解 C、当 $k = - 1$ 时，方程有两个相等的实数解 D、当 $k \neq 0$ 时，方程总有两个不相等的实数解

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4. 抛物线 $y = - （ x - 1) (x - 2 ）$ 的顶点坐标是（）

A、（1,2） B、（-1,2） C、 $(- \frac{3}{2}, \frac{1}{4})$ D、 $(\frac{3}{2}, \frac{1}{4})$

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5. 若二次函数y＝ax²＋4x＋a－1的最小值是2，则a的值为（）

A、4 B、－1 C、3 D、4或－1

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6. 如图， $A B$ 是 $⊙ O$ 的弦， $O C ⊥ A B$ 交 $⊙ O$ 于点 $C$ ，点 $D$ 是 $⊙ O$ 上一点， $∠ A D C = 30 °$ ，则 $∠ B O C$ 的度数为（）．

A、30° B、40° C、50° D、60°

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7. 在平面直角坐标系中，对于二次函数 $y = {(x - 2)}^{2} + 1$ ，下列说法中错误的是（）

A、 $y$ 的最小值为1 B、图象顶点坐标为（2，1），对称轴为直线 $x = 2$ C、当 $x < 2$ 时， $y$ 的值随 $x$ 值的增大而增大，当 $x \geq 2$ 时， $y$ 的值随 $x$ 值的增大而减小 D、它的图象可以由 $y = x^{2}$ 的图象向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度得到

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8. 如图，△ABC的内切圆⊙O与BC，CA，AB分别相切于点D，E，F，且AB＝5，BC＝13，CA＝12，则阴影部分(即四边形AEOF)的面积是（）

A、4 B、6.25 C、7.5 D、9

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9. 已知点A $(- 2, y_{1})$ ，B $(2, y_{2})$ ，C $(5, y_{3})$ 在二次函数y=-3x²+k的图象上，则y₁ ， y₂ ， y₃的大小关系是（）

A、 $y_{1} > y_{2} > y_{3}$ B、 $y_{1} < y_{2} < y_{3}$ C、 $y_{1} = y_{2} > y_{3}$ D、 $y_{1} = y_{2} < y_{3}$

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10. 如图，将 $Δ A B C$ 绕点C顺时针旋转得到 $Δ D E C$ ，使点A的对应点D恰好落在边 $A B$ 上，点B的对应点为E，连接 $B E$ ．下列结论一定正确的是（）

A、 $A C = A D$ B、 $A B ⊥ E B$ C、 $B C = D E$ D、 $∠ A = ∠ E B C$

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11. 如图，⊙O的弦BC长为8，点A是⊙O上一动点，且∠BAC=45°，点D，E分别是BC，AB的中点，则DE长的最大值是（）

A、4 B、4 $\sqrt{2}$ C、8 D、8 $\sqrt{2}$

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12. 二次函数

y = a x^{2} + b x + c

（

a ， b ， c

是常数，

a \neq 0

）的自变量x与函数值y的部分对应值如下表：

$x$	…	$- 2$	$- 1$	0	1	2	…
$y = a x^{2} + b x + c$	…	$t$	$m$	$- 2$	$- 2$	$n$	…

且当 $x = - \frac{1}{2}$ 时，与其对应的函数值 $y > 0$ ．有下列结论：① $a b c > 0$ ；②-2和3是关于x的方程 $a x^{2} + b x + c = t$ 的两个根；③ $0 < m$ $+ n < \frac{20}{3}$ ．其中，正确结论的个数是（）

A、0 B、1 C、2 D、3

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二、填空题

13. 若关于x的一元二次方程 $m x^{2} - 2 x + 1 = 0$ 有实数根，则m的取值范围是．

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14. 如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠B＝135°，则∠AOC的度数为.

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15. 已知△ABC的三条边长分别为6cm，8cm，10cm，则这个三角形的外接圆的面积为cm² ．（结果用含 $π$ 的代数式表示）

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16. 有一个二次函数的图象，三位同学分别说了它的一些特点：
甲：与 $x$ 轴只有一个交点；

乙：对称轴是直线 $x = 3$ ；

丙：与y轴的交点到原点的距离为3.

满足上述全部特点的二次函数的解析式为.

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17. 有x支球队参加篮球比赛，每两队之间都比赛一场，共比赛了45场，则根据题意列出方程．

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三、解答题

18. 如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，△ABC的顶点A在格点上，B是小正方形边的中点，经过点A ， B的圆的圆心在边AC上．

(1)、弦AB的长等于；

(2)、请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，找出经过出点A ， B的圆的圆心O ，并简要说明点O的位置是如何找到的（不要求证明）．

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19. 关于x的一元二次方程2x²﹣mx+n＝0．

(1)、当m﹣n＝4时，请判断方程根的情况；

(2)、若方程有两个相等的实数根，当n＝2时，求此时方程的根．

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20. 已知二次函数y＝﹣x²+bx+c ，函数值y与自变量x之间的部分对应值如下表：

x

…

﹣4

﹣1

0

1

…

y

…

﹣2

﹣1

﹣2

﹣7

…

(1)、此二次函数图象的对称轴是直线，此函数图象与x轴交点个数为．

(2)、求二次函数的函数表达式；

(3)、当﹣5＜x＜﹣1时，请直接写出函数值y的取值范围．

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21. 如图，有一座圆弧形拱桥，桥下水面宽度AB为12m，拱高CD为4m.

(1)、求拱桥的半径；

(2)、有一艘宽为5m的货船，船舱顶部为长方形，并高出水面3.4m，则此货船是否能顺利通过此圆弧形拱桥，并说明理由；

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22. 已知PA ， PB分别与⊙O相切于点A ， B ， ∠APB＝76°，C为⊙O上一点．

(1)、如图①，求∠ACB的大小；

(2)、如图②，AE为⊙O的直径，AE与BC相交于点D ，若AB＝AD ．求∠EAC的大小．

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23. 如图，利用一面长为34米的墙，用铁栅栏围成一个矩形自行车场地ABCD，在AB和BC边各有一个2米宽的小门（不用铁栅栏）．设矩形ABCD的边AD长为x米，AB长为y米，矩形的面积为S平方米，且x＜y．

(1)、若所用铁栅栏的长为40米，求y与x的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围；

(2)、在（1）的条件下，求S与x的函数关系式，并求出怎样围才能使矩形场地的面积为192平方米？

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24. 如图，在矩形ABCD中，AB＝8，AD＝6，将矩形ABCD绕点A逆时针旋转得到矩形AEFG ．

(1)、如图1，若在旋转过程中，点E落在对角线AC上，AF ， EF分别交DC于点M ， N ．
①求证：MA＝MC；

②求MN的长；

(2)、如图2，在旋转过程中，若直线AE经过线段BG的中点P ，连接BE ， GE ，求△BEG的面积

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25. 在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线 $y = x^{2} - 2 (k - 1) x + k^{2} - \frac{5}{2} k$ (k为常数）.

(1)、若抛物线经过点(1,k²)，求k的值；

(2)、若抛物线经过点(2k,y₁)和点(2,y₂)，且y₁>y₂ ，求k的取值范围；

(3)、若将抛物线向右平移1个单位长度得到新抛物线，当1≤x≤2时，新抛物线对应的函数有最小值 $- \frac{3}{2}$ ，求k的值.

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x	…	﹣4	﹣1	0	1	…
y	…	﹣2	﹣1	﹣2	﹣7	…