河南省豫西名校2019-2020学年高二上学期数学第一次联考试卷

试卷更新日期：2020-09-22 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 在 $Δ A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，若 $A = \frac{π}{3}$ ， $B = \frac{π}{4}$ ， $a = 3 \sqrt{2}$ ，则 $b =$ （）

A、 $2 \sqrt{3}$ B、2 C、3 D、 $3 \sqrt{3}$

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2. 设等差数列 ${a_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，若 $2 + a_{5} = a_{6} + a_{3}$ ，则 $S_{7} =$ （）

A、28 B、14 C、7 D、2

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3. 当太阳光与水平面的倾斜角为 $60 °$ 时，一根长为2 m的竹竿如图所示放置，要使它的影子最长，则竹竿与地面所成的角为（）

A、30° B、60° C、45° D、90°

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4. 在等比数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{1} + a_{3} = 1$ ， $a_{5} + a_{7} + a_{9} + a_{11} = 20$ ，则 $a_{1} =$ （）

A、 $\frac{1}{6}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、2 D、4

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5. 已知数列 ${a_{n}}$ 的通项公式为 $a_{n} = 26 - 2 n$ ，要使数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ 最大，则 $n$ 的值为（）

A、14 B、13或14 C、12或11 D、13或12

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6. 在 $△ A B C$ 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 $2 b = c \cos B + b \cos C$ ，则 $\frac{a}{b} =$ （）

A、1 B、2 C、3 D、4

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7. 数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{n + 1} = 2 a_{n} + 1$ ， $a_{1} = 1$ ，则 $a_{6} =$ （）

A、32 B、62 C、63 D、64

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8. 设 $Δ A B C$ 的内角 $A ， B ， C$ 所对的边分别为 $a ， b ， c$ ，且 $3 a \cos C = 4 c s i n A$ ，已知 $Δ A B C$ 的面积等于 $10$ ， $b = 4$ ，则 $a$ 的值为（）

A、 $\frac{23}{3}$ B、 $\frac{28}{3}$ C、 $\frac{26}{3}$ D、 $\frac{25}{3}$

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9. 已知等差数列 ${a_{n}}$ 的公差不为零， $S_{n}$ 为其前 $n$ 项和， $S_{3} = 9$ ，且 $a_{2} - 1$ ， $a_{3} - 1$ ， $a_{5} - 1$ 构成等比数列，则 $S_{5} =$ （）

A、15 B、-15 C、30 D、25

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10. 在 $Δ A B C$ 中，角 $A ， B ， C$ 的对边分别是 $a ， b ， c$ ，若 $b \sin 2 A + \sqrt{2} a \sin B = 0 ， b = \sqrt{2} c$ ，则 $\frac{c}{a}$ 的值为（）

A、1 B、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ C、 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ D、 $\frac{\sqrt{7}}{7}$

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11. 我国古代的《洛书》中记载着世界上最古老的一个幻方：如图，将1，2，…，9填入 $3 \times 3$ 的方格内，使三行，三列和两条对角线上的三个数字之和都等于15.一般地，将连续的正整数 $1 ， 2 ， 3 ， \dots ， n^{2}$ 填入 $n \times n$ 个方格中，使得每行，每列和两条对角线上的数字之和都相等，这个正方形叫做 $n$ 阶幻方.记 $n$ 阶幻方的对角线上的数字之和为 ${\begin{cases} \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 \\ y = k x + m \end{cases}$ ，如图三阶幻方的 $(b^{2} + a^{2} k^{2}) x^{2} + 2 k m a^{2} x + a^{2} m^{2} - a^{2} b^{2} = 0$ ，那么 $N_{9}$ 的值为（）

A、41 B、45 C、369 D、321

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12. 在 $Δ A B C$ 中，已知角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，若 $a = n + 1$ ， $b = n$ ， $c = n - 1$ ， $n \in N_{+}$ ，且 $A = 2 C$ ，则 $Δ A B C$ 的最小角的余弦值为（）

A、 $\frac{2}{5}$ B、 $\frac{3}{5}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{3}{4}$

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二、填空题

13. 在数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{1} = 1$ ， $a_{2} = 5$ ， $a_{n + 2} = a_{n + 1} - a_{n} (n \in N^{*})$ ，则 $a_{2020} =$ ．

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14. 记 $S_{n}$ 为等差数列 ${a_{n}}$ 的前n项和，公差 $d = 2$ ， $a_{1}$ ， $a_{3}$ ， $a_{4}$ 成等比数列，则 $S_{8} =$ ．

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15. 在 $Δ A B C$ 中，内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对应的边长分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，且 $\cos C = \frac{2 \sqrt{2}}{3}$ ， $b \cos A + a \cos B = 2$ ，则 $Δ A B C$ 的外接圆面积为．

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16. 设锐角 $Δ A B C$ 三个内角 $A 、 B 、 C$ 所对的边分别为 $a 、 b 、 c$ ,若 $\sqrt{3} (a \cos B + b \cos A) = 2 c \sin C$ ， $b = 1$ ，则 $c$ 的取值范围为．

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三、解答题

17. 已知等差数列 ${a_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，且 $a_{2} + a_{4} = 6$ ， $a_{6} = S_{3}$ ．

(1)、求 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、若 $k \in N^{*}$ ，且 $a_{k}$ ， $a_{3 k}$ ， $S_{2 k}$ 成等比数列，求k的值．

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18. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{2} - a_{1} = 1$ ，其前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，当 $n ⩾ 2$ 时， $S_{n - 1} - 1$ ， $S_{n}$ ， $S_{n + 1}$ 成等差数列.

(1)、求证 ${a_{n}}$ 为等差数列；

(2)、若 $S_{n} = 0$ ， $S_{n + 1} = 4$ ，求 $n$ .

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19. 等差数列 ${a_{n}}$ 前n项和为 $S_{n}$ ，且 $S_{4} = 32$ ， $S_{13} = 221$ ．

(1)、求 ${a_{n}}$ 的通项公式 $a_{n}$ ；

(2)、数列 ${b_{n}}$ 满足 $b_{n + 1} - b_{n} = a_{n} (n \in N^{*})$ 且 $b_{1} = 3$ ，求 ${\frac{1}{b_{n}}}$ 的前n项和 $T_{n}$ ．

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20. 在 $Δ A B C$ 中,角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$ ,满足 $\cos C + \cos A \cos B = 2 \sqrt{2} \sin A \cos B$ ．

(1)、求 $\cos B$ 的值；

(2)、若 $a + c = 2$ ，求 $b$ 的取值范围

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21. 已知数列 ${a_{n}}$ 前n项和 $S_{n}$ ，点 $(n, S_{n}) (n \in N^{*})$ 在函数 $y = \frac{1}{2} x^{2} + \frac{1}{2} x$ 的图象上．

(1)、求 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、设数列 ${\frac{1}{a_{n} a_{n + 2}}}$ 的前n项和为 $T_{n}$ ，不等式 $T_{n} > \frac{1}{3} \log_{a} (1 - a)$ 对任意的正整数恒成立，求实数a的取值范围．

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22. 已知 $△ A B C$ 中 $∠ A C B = \frac{2 π}{3}$ ，角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ．

(1)、若 $a, b, c$ 依次成等差数列，且公差为2，求 $c$ 的值；

(2)、若 $△ A B C$ 的外接圆面积为 $π$ ，求 $△ A B C$ 周长的最大值．

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