河南省豫南九校2019-2020学年高二上学期理数第三次联考试卷

试卷更新日期：2020-09-22 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 已知 $a > b$ ，则下列各式一定正确的是（）

A、 $a lg x > b lg x$ B、 $a x^{2} > b x^{2}$ C、 $a^{2} > b^{2}$ D、 $a \cdot 2^{x} > b \cdot 2^{x}$

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2. 已知命题 $p$ ： $\forall x > 0$ ， $\lg x > 0$ ，则 $\neg p$ 是（）

A、 $\forall x > 0$ ， $\lg x \leq 0$ B、 $\exists x_{0} > 0$ ， $\lg x_{0} < 0$ C、 $\forall x > 0$ ， $\lg x < 0$ D、 $\exists x_{0} > 0$ ， $\lg x_{0} \leq 0$

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3. 方程 $m x^{2} + y^{2} = 1$ 表示焦点在 $y$ 轴上的椭圆，则 $m$ 的取值范围是（）

A、 $(1, + \infty)$ B、 $(0, + \infty)$ C、 $(0, 1)$ D、 $(0, 2)$

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4. 在 $△ A B C$ 中，若 $(\sin A + \sin B) (\sin A - \sin B) \leq \sin C (\sin C - \sin B)$ ，则 $A$ 的取值范围是（）

A、 $(0, \frac{π}{6}]$ B、 $[\frac{π}{6}, π]$ C、 $(0, \frac{π}{3}]$ D、 $[\frac{π}{3}, π)$

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5. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足递推关系： $a_{n + 1} = \frac{a_{n}}{a_{n} + 1}$ , $a_{1} = \frac{1}{2}$ ,则 $a_{2020} =$ （）

A、 $\frac{1}{2019}$ B、 $\frac{1}{2020}$ C、 $\frac{1}{2021}$ D、 $\frac{1}{2022}$

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6. 已知实数 $x ， y$ 满足 ${\begin{array}{l} x \leq 3 \\ x + y \geq 1 \\ y \leq 2 (x - 1) \end{array}$ ，则 $z = 2 x + y$ 的最大值为（）

A、11 B、10 C、6 D、4

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7. 命题“ $\forall x \in [1, 2]$ ， $2 x^{2} - a \geq 0$ ”为真命题的一个充分不必要条件是（）

A、 $a \leq 1$ B、 $a \leq 2$ C、 $a \leq 3$ D、 $a \leq 4$

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8. 曲线 $\frac{x^{2}}{16} + \frac{y^{2}}{9} = 1$ 与曲线 $\frac{x^{2}}{16} + \frac{y^{2}}{9} = k (k > 0)$ 的（）

A、长轴长相等 B、短轴长相等 C、焦距相等 D、离心率相等

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9. 如图所示的数阵称为杨辉三角.斜线 $A B$ 上方箭头所示的数组成一个锯齿形的数列： $1 ， 2 ， 3 ， 3 ， 6 ， 4 ， 10 ， \dots$ 记这个数列的前n项和为 $S_{n}$ ，则 $S_{16}$ 等于（）.

A、128 B、144 C、155 D、164

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10. 在 $Δ A B C$ 中，若 $A = \frac{π}{3}$ ， $5 \sin B = 3 \sin C$ ，且 $Δ A B C$ 的面积 $S = \frac{15 \sqrt{3}}{4}$ ，则 $Δ A B C$ 的边 $B C$ 的长为（）

A、 $\sqrt{17}$ B、 $\sqrt{19}$ C、 $3 \sqrt{2}$ D、4

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11. 已知各项都为正数的等比数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{7} = a_{6} + 2 a_{5}$ ，存在两项 $a_{m} ， a_{n}$ 使得 $\sqrt{a_{m} \cdot a_{n}} = 4 a_{1}$ ，则 $\frac{1}{m + 2} + \frac{n + 1}{n}$ 的最小值为（）

A、 $\frac{9}{8}$ B、 $\frac{3}{2}$ C、 $\frac{25}{6}$ D、 $\frac{4}{3}$

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12. 已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左、右焦点分别是 $F_{1} (- c, 0), F_{2} (c, 0)$ ，若离心率 $e = \frac{\sqrt{5} - 1}{2} (e \approx 0.618)$ ，则称椭圆 $C$ 为“黄金椭圆”.下列有三个命题：
①在黄金椭圆 $C$ 中， $a ， b ， c$ 成等比数列；②在黄金椭圆 $C$ 中，若上顶点、右顶点分别为 $E, B$ ，则 $∠ F_{1} E B = 90 °$ ；③在黄金椭圆 $C$ 中，以 $A (- a, 0) ， B (a, 0) ， D (0, - b) ， E (0, b)$ 为顶点的菱形 $A D B E$ 的内切圆经过焦点 $F_{1}, F_{2}$ .正确命题的个数是( )

A、0 B、1 C、2 D、3

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二、填空题

13. 等差数列 ${a_{n}}$ 的首项为 $23$ ，公差为 $- 2$ ，则数列 ${a_{n}}$ 前 $n$ 项和的最大值为.

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14. 在 $Δ A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，已知 $b = 6$ ， $A = \frac{π}{6}$ ，若该三角形有两解，则 $a$ 的取值范围是.

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15. 若∃ $x_{0} \in [\frac{1}{2}, 2]$ ，使得 $2 x_{0}^{2} － λ x_{0} + 1 < 0$ 成立是假命题，则实数λ的取值范围是．

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16. 已知中心在原点的椭圆 $C$ 的左焦点恰好为圆 $F : x^{2} + y^{2} + 2 x - 3 = 0$ 的圆心，有两顶点恰好是圆 $F$ 与 $y$ 轴的交点，若椭圆 $C$ 上恰好存在两点关于直线 $y = x + t$ 对称，则实数 $t$ 的取值范围是．

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三、解答题

17. 已知 $m \in R$ ，命题 $p$ ：对任意 $x \in [0, 1]$ ，不等式 $l o g_{2} (x + 1) - 2 \geq m^{2} - 3 m$ 恒成立；命题 $q$ ： “方程 $\frac{x^{2}}{m^{2}} + \frac{y^{2}}{2 m} = 1$ 表示焦点在 $y$ 轴上的椭圆”.

(1)、若 $p$ 为真命题，求 $m$ 的取值范围；

(2)、若 $p \land q$ 为假， $p \lor q$ 为真，求 $m$ 的取值范围.

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18. 设函数 $f (x) = m x^{2} - m x - 2$

(1)、若对于一切实数 $f (x) < 0$ 恒成立，求 $m$ 的取值范围；

(2)、若对于 $x \in [1, 3], f (x) > - m + 2 (x - 1)$ 恒成立，求 $m$ 的取值范围.

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19. 在 $Δ A B C$ 中，角 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 所对的边分别为 $a$ 、 $b$ 、 $c$ ，且满足 $\cos 2 C - \cos 2 A = 2 \sin (\frac{π}{3} + C) \cdot \sin (\frac{π}{3} - C)$ .

(1)、求角 $A$ 的值；

(2)、若 $a = \sqrt{3}$ 且 $b \geq a$ ，求 $b - \frac{1}{2} c$ 的取值范围.

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20. 设 $F_{1}, F_{2}$ 分别是椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左右焦点， $M$ 是 $C$ 上一点且 $M F_{2}$ 与 $x$ 轴垂直，直线 $M F_{1}$ 与 $C$ 的另一个交点为 $N$ ．

(1)、若直线 $M N$ 的斜率为 $\frac{3}{4}$ ，求 $C$ 的离心率；

(2)、若直线 $M N$ 在 $y$ 轴上的截距为 $2$ ，且 $| M N | = 5 | F_{1} N |$ ，求 $a, b$ ．

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21. 设数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $S_{n} = 1 - \frac{1}{2} a_{n}$ .

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式，若 $b_{n} = \frac{n}{2} a_{n}, T_{n}$ 为数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和，求 $T_{n}$ ；

(2)、在（1）的条件下，是否存在自然数 $m$ ，使得 $\frac{m - 2}{4} < T_{n} < \frac{m}{4}$ 对一切 $n \in N^{*}$ 恒成立？若存在，求出 $m$ 的值；若不存在，说明理由.

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22. 已知椭圆C: $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左,右焦点分别为 $F_{1}, F_{2}$ 且椭圆 $C$ 上的点 $P$ $(1, \frac{\sqrt{3}}{2})$ 到 $F_{1}, F_{2}$ 两点的距离之和为4

(1)、求椭圆 $C$ 的方程;

(2)、若直线 $y = k x + m$ 与椭圆 $C$ 交于 $M, N$ 两点, $O$ 为坐标原点直线 $O M, O N$ 的斜率之积等于 $- \frac{1}{4}$ ，试探求△OMN的面积是否为定值，并说明理由

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